这篇文章将会详细介绍格拉姆角场 （Gramian Angular Field），并通过代码示例展示“如何将时间序列数据转换为图像”。
Gramian Angular Summation / Difference Fields (GASF / GADF)可以将时间序列转换成图像，这样我们就可以将卷积神经网络 (CNN) 用于时间序列数据
基本概念
在开始介绍之前，我认为首先我们应该熟悉一下 GASF / GADF 的基本概念。如果您已经知道，可以跳过本节。
笛卡尔坐标：笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates，法语：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系 。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。点（或其他几何形状）的位置由一个或多个数字确定。例如，如果我们采用二维坐标系，则位置由一对数字确定，例如 (2,3)。然后在距两条参考线（称为 x 轴和 y 轴）的距离上显示该位置。
极坐标：属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。想象一个以原点为中心的圆，它与点(2,3)相交。我们求这个圆的半径以及x轴与(0,0)和(2,3)连线的夹角。在极坐标中会被表示为（3.6，56.3），也就是说是一个距离极点3.6个单位和极轴夹角为56.3°的点
格拉姆矩阵：假设我们有一组向量V。格拉姆（Gram）矩阵是来自V的每一对向量的内积矩阵。如下图所示，矩阵中的每个元素< vi, vj> 是向量 vi 和 vj 之间的向量乘积。
以上图片和介绍来自维基和百度百科，以上就是基本概念的简单介绍，那么咱们开始进入正题。
格拉姆角场
现在我们将朝着这篇文章的主要目标前进，即理解在图像中表示时间序列的过程。简而言之，可以通过以下三个步骤来理解该过程。
- 通过取每个 M 点的平均值来聚合时间序列以减小大小。此步骤使用分段聚合近似 ( Piecewise Aggregation Approximation / PAA)。
- 区间[0,1]中的缩放值。
- 通过将时间戳作为半径和缩放值的反余弦（arccosine）来生成极坐标。这杨可以提供角度的值。
- 生成GASF / GADF。在这一步中，将每对值相加（相减），然后取余弦值后进行求和汇总。
语言描述可能不太准确，下面使用代码详细进行解释
Python 中的示例
我在这里提供了一个 Python 示例，以演示使用格拉姆角场将时间序列转换为图像的逐步过程的状态。
导入需要的包
from pyts.approximation import PiecewiseAggregateApproximation
from pyts.preprocessing import MinMaxScaler
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
生成一些demo数据
X = [[1,2,3,4,5,6,7,8],[23,56,52,46,34,67,70,60]]
plt.plot(X[0],X[1])
plt.title(‘Time series’)
plt.xlabel(‘timestamp’)
plt.ylabel(‘value’)
plt.show()
分段聚合逼近和缩放
# PAA
transformer = PiecewiseAggregateApproximation(window_size=2)
result = transformer.transform(X)
# Scaling in interval [0,1]
scaler = MinMaxScaler()
scaled_X = scaler.transform(result)
plt.plot(scaled_X[0,:],scaled_X[1,:])
plt.title(‘After scaling’)
plt.xlabel(‘timestamp’)
plt.ylabel(‘value’)
plt.show()
转换成极坐标
arccos_X = np.arccos(scaled_X[1,:])
fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={‘projection’: ‘polar’})
ax.plot(result[0,:], arccos_X)
ax.set_rmax(2)
ax.set_rticks([0.5, 1, 1.5, 2]) # Less radial ticks
ax.set_rlabel_position(-22.5) # Move radial labels away from plotted line
ax.grid(True)
ax.set_title(“Polar coordinates”, va=’bottom’)
plt.show()
Gramian angular summation fields
field = [a+b for a in arccos_X for b in arccos_X]
gram = np.cos(field).reshape(-1,4)
plt.imshow(gram)
最后补充
上述步骤用于说明使用 Gramian Angular Summation / Difference Field 将时间序列转换为图像的过程。在实际使用时中可以不需要计算极坐标，这是因为以下的三角函数规则：
为了在 Gramian Angular Field 计算中计算 Cos (A + B)，我们将其扩展如下
因为我们通过取时间序列值的余弦倒数来计算 A 和 B（实际上是在 PAA 和缩放之后的值上）。其他的说明可以参考pyts库关于GramianAngularField的说明。
引用
- Wang, Z., & Oates, T. (2015). Imaging time-series to improve classification and imputation. IJCAI International Joint Conference on Artificial Intelligence, 2015-January, 3939–3945.
- Eamonn J Keogh and Michael J Paz- zani. Scaling up dynamic time warping for datamining applications. In Proceedings ofthe sixth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining, pages 285– 289. ACM, 2000.
- https://pyts.readthedocs.io/en/stable/_modules/pyts/image/gaf.html#GramianAngularField
作者：Pankaj Chejara