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【AI知识点】置信区间（Confidence Interval）

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置信区间（Confidence Interval, CI） 是统计学中用于估计总体参数的范围。它给出了一个区间，并且这个区间包含总体参数的概率等于某个指定的置信水平（通常是 90%、95% 或 99%）。与点估计不同，置信区间通过区间估计给出了参数的可能范围，从而提供了更可靠的信息。

1. 定义

置信区间是用于估计总体参数（如均值、比例等）的一个区间。与点估计（即单个估计值）不同，置信区间提供了一系列可能包含总体参数的值，并伴随着一定的置信水平。

置信区间可以看作是一个范围，表示我们对这个范围包含真实参数值的信心程度。例如，给定 95% 的置信水平，置信区间表示我们有 95% 的信心认为该区间包含总体参数。

2. 置信水平

置信水平（Confidence Level） 表示区间包含总体参数的概率。通常使用的置信水平有 90%、95%、99% 等。置信水平越高，置信区间越宽，表示我们更有把握认为总体参数落在该区间内。

3. 置信区间的计算

对于总体均值 

  1.      μ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \mu 
  6.    
  7.   
  8. μ，当样本量较大且样本均值服从正态分布时，置信区间可以通过以下公式计算：
  11.   
  12.    
  13.     
  14.     
  15.       置信区间 
  16.      
  17.     
  18.       = 
  19.      
  20.      
  21.      
  22.        ( 
  23.       
  24.       
  25.       
  26.         X 
  27.        
  28.       
  29.         ‾ 
  30.        
  31.       
  32.      
  33.        − 
  34.       
  35.       
  36.       
  37.         z 
  38.        
  39.        
  40.        
  41.          α 
  42.         
  43.        
  44.          / 
  45.         
  46.        
  47.          2 
  48.         
  49.        
  50.       
  51.      
  52.        ⋅ 
  53.       
  54.       
  55.       
  56.         σ 
  57.        
  58.        
  59.        
  60.          n 
  61.         
  62.        
  63.       
  64.      
  65.        , 
  66.       
  67.       
  68.       
  69.         X 
  70.        
  71.       
  72.         ‾ 
  73.        
  74.       
  75.      
  76.        + 
  77.       
  78.       
  79.       
  80.         z 
  81.        
  82.        
  83.        
  84.          α 
  85.         
  86.        
  87.          / 
  88.         
  89.        
  90.          2 
  91.         
  92.        
  93.       
  94.      
  95.        ⋅ 
  96.       
  97.       
  98.       
  99.         σ 
  100.        
  101.        
  102.        
  103.          n 
  104.         
  105.        
  106.       
  107.      
  108.        ) 
  109.       
  110.      
  111.     
  112.    
  113.      \text{置信区间} = \left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) 
  114.     
  115.    
  116.  置信区间=(X−zα/2​⋅n​σ​,X+zα/2​⋅n​σ​)

其中：

    1.                                                X                               ‾                                            \overline{X}                     X 是样本均值。
    1.                                     σ                                  \sigma                     σ 是总体的标准差，若不知道                                         σ                                  \sigma                     σ，可以用样本标准差                                         s                                  s                     s 代替。
    1.                                     n                                  n                     n 是样本量。
    1.                                                z                                           α                                  /                                  2                                                       z_{\alpha/2}                     zα/2​ 是对应置信水平的标准正态分布的**临界值**。例如，对于 95% 置信水平，                                                   z                                           α                                  /                                  2                                                 =                            1.96                                  z_{\alpha/2} = 1.96                     zα/2​=1.96。   - **临界值**：在标准正态分布中，临界值是位于分布尾部的那个点，使得在该点外的面积（即尾部面积）等于                                                   (                                  1                                  −                                  置信水平                                  )                                  /                                  2                                          (1 - \text{置信水平}) / 2                           (1−置信水平)/2。例如，在 95% 的置信水平下，左右两侧各留出 2.5% 的尾部面积，因此 95% 的置信区间在                                                   z                                          z                           z 轴上对应的临界值是 1.96。1.96 是标准正态分布                                                   x                                          x                           x 轴上的一个点，它表示距离均值 1.96 个标准差的位置。

图示如下：

在这里插入图片描述
图片来源：https://analystprep.com/cfa-level-1-exam/quantitative-methods/confidence-intervals-2/

4. 置信区间的例子

假设我们从某个城市中抽取了 100 人的样本，测量他们的年收入，计算出样本均值为 

  1.       X 
  2.      
  3.     
  4.       ‾ 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.      = 
  9.     
  10.    
  11.      50 
  12.     
  13.    
  14.      , 
  15.     
  16.    
  17.      000 
  18.     
  19.    
  20.   
  21.     \overline{X} = 50,000 
  22.    
  23.   
  24. X=50,000 美元，样本标准差为  
  25.  
  26.   
  27.    
  28.    
  29.      s 
  30.     
  31.    
  32.      = 
  33.     
  34.    
  35.      10 
  36.     
  37.    
  38.      , 
  39.     
  40.    
  41.      000 
  42.     
  43.    
  44.   
  45.     s = 10,000 
  46.    
  47.   
  48. s=10,000 美元。我们希望以 95% 的置信水平来估计该城市居民的平均年收入。

根据 95% 置信水平，对应的 

  1.       z 
  2.      
  3.      
  4.      
  5.        α 
  6.       
  7.      
  8.        / 
  9.       
  10.      
  11.        2 
  12.       
  13.      
  14.     
  15.    
  16.      = 
  17.     
  18.    
  19.      1.96 
  20.     
  21.    
  22.   
  23.     z_{\alpha/2} = 1.96 
  24.    
  25.   
  26. zα/2​=1.96，样本量  
  27.  
  28.   
  29.    
  30.    
  31.      n 
  32.     
  33.    
  34.      = 
  35.     
  36.    
  37.      100 
  38.     
  39.    
  40.   
  41.     n = 100 
  42.    
  43.   
  44. n=100，置信区间为：
  47.   
  48.    
  49.     
  50.     
  51.       置信区间 
  52.      
  53.     
  54.       = 
  55.      
  56.      
  57.      
  58.        ( 
  59.       
  60.      
  61.        50 
  62.       
  63.      
  64.        , 
  65.       
  66.      
  67.        000 
  68.       
  69.      
  70.        − 
  71.       
  72.      
  73.        1.96 
  74.       
  75.      
  76.        ⋅ 
  77.       
  78.       
  79.        
  80.        
  81.          10 
  82.         
  83.        
  84.          , 
  85.         
  86.        
  87.          000 
  88.         
  89.        
  90.        
  91.        
  92.          100 
  93.         
  94.        
  95.       
  96.      
  97.        , 
  98.       
  99.      
  100.        50 
  101.       
  102.      
  103.        , 
  104.       
  105.      
  106.        000 
  107.       
  108.      
  109.        + 
  110.       
  111.      
  112.        1.96 
  113.       
  114.      
  115.        ⋅ 
  116.       
  117.       
  118.        
  119.        
  120.          10 
  121.         
  122.        
  123.          , 
  124.         
  125.        
  126.          000 
  127.         
  128.        
  129.        
  130.        
  131.          100 
  132.         
  133.        
  134.       
  135.      
  136.        ) 
  137.       
  138.      
  139.     
  140.    
  141.      \text{置信区间} = \left( 50,000 - 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}}, 50,000 + 1.96 \cdot \frac{10,000}{\sqrt{100}} \right) 
  142.     
  143.    
  144.  置信区间=(50,000−1.96⋅100​10,000​,50,000+1.96⋅100​10,000​)
  147.   
  148.    
  149.     
  150.     
  151.       = 
  152.      
  153.     
  154.       ( 
  155.      
  156.     
  157.       50 
  158.      
  159.     
  160.       , 
  161.      
  162.     
  163.       000 
  164.      
  165.     
  166.       − 
  167.      
  168.     
  169.       1 
  170.      
  171.     
  172.       , 
  173.      
  174.     
  175.       960 
  176.      
  177.     
  178.       , 
  179.      
  180.     
  181.       50 
  182.      
  183.     
  184.       , 
  185.      
  186.     
  187.       000 
  188.      
  189.     
  190.       + 
  191.      
  192.     
  193.       1 
  194.      
  195.     
  196.       , 
  197.      
  198.     
  199.       960 
  200.      
  201.     
  202.       ) 
  203.      
  204.     
  205.    
  206.      = (50,000 - 1,960, 50,000 + 1,960) 
  207.     
  208.    
  209.  =(50,000−1,960,50,000+1,960)
  212.   
  213.    
  214.     
  215.     
  216.       = 
  217.      
  218.     
  219.       ( 
  220.      
  221.     
  222.       48 
  223.      
  224.     
  225.       , 
  226.      
  227.     
  228.       040 
  229.      
  230.     
  231.       , 
  232.      
  233.     
  234.       51 
  235.      
  236.     
  237.       , 
  238.      
  239.     
  240.       960 
  241.      
  242.     
  243.       ) 
  244.      
  245.     
  246.    
  247.      = (48,040, 51,960) 
  248.     
  249.    
  250.  =(48,040,51,960)

因此，我们可以说我们有 95% 的信心认为该城市的平均年收入在 

  1.      48 
  2.     
  3.    
  4.      , 
  5.     
  6.    
  7.      040 
  8.     
  9.    
  10.   
  11.     48,040 
  12.    
  13.   
  14. 48,040 美元到  
  15.  
  16.   
  17.    
  18.    
  19.      51 
  20.     
  21.    
  22.      , 
  23.     
  24.    
  25.      960 
  26.     
  27.    
  28.   
  29.     51,960 
  30.    
  31.   
  32. 51,960 美元之间。

5. 不同类型的置信区间

a. 总体均值的置信区间

适用于推断总体均值时的置信区间，通常使用 

  1.      z 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     z 
  6.    
  7.   
  8. z 检验（样本量较大）或  
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      t 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     t 
  18.    
  19.   
  20. t 检验（样本量较小，且总体方差未知）。

b. 总体比例的置信区间

当研究总体的某种比例（如支持率）时，可以用置信区间来推断总体比例的范围。

c. 差异的置信区间

用于比较两个总体均值或比例的差异时，可以计算差异的置信区间来确定总体间差异的可能范围。

6. 置信区间的应用

a. 医学研究

在临床试验中，置信区间常用于估计治疗效果的大小。例如，研究某种药物的疗效是否显著，置信区间可以帮助研究者判断药物的有效性。

b. 市场调研

在市场调研中，置信区间可以用于估计市场份额、顾客满意度等参数的范围。例如，估计某品牌在市场中的份额，置信区间可以帮助估计该份额的上限和下限。

c. 质量控制

在制造业中，置信区间常用于监控产品质量，估计产品在某个规格范围内的比例。

7. 置信区间与假设检验的关系

置信区间和假设检验都是用于统计推断的工具，但它们在使用方式和目标上有所不同：

  • 置信区间：用于估计总体参数的范围。它告诉我们总体参数落在某个区间内的可能性。
  • 假设检验：用于判断某一特定假设是否成立。它告诉我们是否可以拒绝某个假设。

假设检验的结果与置信区间的一致性：

  • 如果我们通过假设检验拒绝了某个值作为总体参数，那么这个值通常不会出现在相应的置信区间内。
  • 反之，如果某个值落在置信区间之外，那么我们会拒绝这个值作为总体参数，在对应的假设检验中也会拒绝零假设。

8. 总结

置信区间是统计推断中的重要工具，它提供了总体参数的一个估计范围，并通过置信水平反映了对该估计范围的信心程度。置信区间结合了样本数据和统计理论，帮助我们在不确定性中做出更有依据的推断和决策。

标签： 人工智能 机器学习 统计学
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_43221845/article/details/142718817
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