【2022高教社杯数学建模】C题：古代玻璃制品的成分分析与鉴别方案及代码实现
1 题目
丝绸之路是古代中西方文化交流的通道，其中玻璃是早期贸易往来的宝贵物证。早期的玻璃在西亚和埃及地区常被制作成珠形饰品传入我国，我国古代玻璃吸收其技术后在本土就地取材制作，因此与外来的玻璃制品外观相似，但化学成分却不相同。
玻璃的主要原料是石英砂，主要化学成分是二氧化硅（SiO2）。由于纯石英砂的熔点较高， 为了降低熔化温度，在炼制时需要添加助熔剂。古代常用的助熔剂有草木灰、天然泡碱、硝石和铅矿石等，并添加石灰石作为稳定剂，石灰石煅烧以后转化为氧化钙（CaO）。添加的助熔剂不同，其主要化学成分也不同。例如，铅钡玻璃在烧制过程中加入铅矿石作为助熔剂，其氧化铅（PbO）、氧化钡（BaO）的含量较高，通常被认为是我国自己发明的玻璃品种，楚文化的玻璃就是以铅钡玻璃为主。钾玻璃是以含钾量高的物质如草木灰作为助熔剂烧制而成的，主要流行于我国岭南以及东南亚和印度等区域。
古代玻璃极易受埋藏环境的影响而风化。在风化过程中，内部元素与环境元素进行大量交换，导致其成分比例发生变化，从而影响对其类别的正确判断。如图 1 的文物标记为表面无风
化，表面能明显看出文物的颜色、纹饰，但不排除局部有较浅的风化；图 2 的文物标记为表面风化，表面大面积灰黄色区域为风化层，是明显风化区域，紫色部分是一般风化表面。在部分风化的文物中，其表面也有未风化的区域。
图 1 未风化的蜻蜓眼玻璃珠样品 图 2 风化的玻璃棋子样品
现有一批我国古代玻璃制品的相关数据，考古工作者依据这些文物样品的化学成分和其他检测手段已将其分为高钾玻璃和铅钡玻璃两种类型。附件表单 1 给出了这些文物的分类信息，
附件表单 2 给出了相应的主要成分所占比例（空白处表示未检测到该成分）。这些数据的特点是成分性，即各成分比例的累加和应为 100%，但因检测手段等原因可能导致其成分比例的累加和非 100%的情况。本题中将成分比例累加和介于 85%~105%之间的数据视为有效数据。
请你们团队依据附件中的相关数据进行分析建模，解决以下问题：
问题 1
对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析；结合玻璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预测其风化前的化学成分含量。
问题 2
依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化
学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性进行分析。
问题 3
对附件表单 3 中未知类别玻璃文物的化学成分进行分析，鉴别其所属类型，并对
分类结果的敏感性进行分析。
问题 4
针对不同类别的玻璃文物样品，分析其化学成分之间的关联关系，并比较不同类别之间的化学成分关联关系的差异性。
附件
表单 1 玻璃文物的基本信息
表单 2 已分类玻璃文物的化学成分比例，其中
(1)文物采样点为该编号文物表面某部位的随机采样，其风化属性与附件表单 1 中相应文物一致。
(2)部位 1 和部位 2 是文物造型上不同的两个部位，其成分与含量可能存在差异。
(3)未风化点是风化文物表面未风化区域内的点。
(4)严重风化点取自风化层。
表单 3 未分类玻璃文物的化学成分比例
2 问题分析
问题一
（1）对表1中，统计风化程度与玻璃类型、纹饰、颜色的关系，作出柱状图可视化或者饼状图
（2）利用文物采样点结合表1和表2，对不同玻璃类型，再划分有无风化，对化学成分统计，即四种情况求均值
- （高钾玻璃，风化）
- （高钾玻璃，无风化）
- （铅钡玻璃，风化）
- （铅钡玻璃，无风化）
求出风化前后的差值
（3）求风化前的化学成分=风化后+风化前后差值
根据以上求出的差值计算加上风化后的数据，得到风化前的数据
问题二
（1）结合表1和2 ，对高钾玻璃数进行聚类，对铅钡玻璃进行聚类，并可视化聚类效果，并统计分析两种玻璃分别在这几种亚类别在成分上的区别。
问题三
（1）结合表1和2，建立一个以玻璃种类划分的决策树。
（2）利用以上建立的决策树首先对表3的数据进行一级划分，划分为两种玻璃。
再利用问题二的聚类重心对表3继续进行亚类划分。
问题四
（1）对高钾玻璃的化学成分相关性，对铅钡玻璃的化学成分相关性分析
（2）比较这两个关联性的差异性
3 代码实现
（1）问题一
（2）问题二
（3）问题三
（4）问题四
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