【MPC】①二次规划问题MATLAB求解器quadprog

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一、概述

二次规划是指约束为线性的二次优化问题。在Matlab中，quadprog是具有线性约束的二次目标函数求解器。

（一）二次规划标准形式

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        ⁡ 
       
      
     
       x 
      
     
     
     
       1 
      
     
       2 
      
     
     
     
       x 
      
     
       T 
      
     
     
     
       H 
      
     
       x 
      
     
    
      + 
     
     
     
       f 
      
     
       T 
      
     
    
      x 
     
    
   
     \mathop {\min }\limits_x \frac{1}{2}{{\bf{x}}^{\bf{T}}}{\bf{Hx}} + {{\bf{f}}^{\bf{T}}}{\bf{x}} 
    
   
 xmin​21​xTHx+fTx

其实H是Hessian 阵，是n乘n的对称阵。

1、海森矩阵的正定性与函数最优性

• 如果 Hessian 矩阵是半正定的，则我们说该式是一个凸二次规划，在这种情况下该问题的困难程度类似于线性规划。如果有至少一个向量满足约束并且在 可行域 有下界，则凸二次规划问题就有一个全局最小值。
• 如果是正定的，则这类二次规划为严格的凸二次规划，那么全局最小值就是唯一的。
• 如果是一个 不定矩阵 ，则为非凸二次规划，这类二次规划更有挑战性，因为它们有多个平稳点和局部极小值点。

2、基本数学概念

• 基础概念：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523
• 凸 严格凸，举例：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399549564

3、对称阵的正定性判断

• 正定矩阵：矩阵的所有特征值均大于0
• 半正定矩阵：矩阵的所有特征值均非负
• 负定矩阵：矩阵所有特征值均小于0

https://blog.csdn.net/Infinity_07/article/details/109569450

4、matlab正、半正、负定阵生成，与quadprog验证
（1）matlab判断正定性：

% 判断矩阵m是正定、半正定还是负定
m =[2-1;-12];if issymmetric(m)% 检查矩阵是否对称
    % disp('矩阵对称');
    d = eig(m);% 计算矩阵特征值
    ifall(d >0)
        disp('矩阵正定');
    elseif all(d >=0)
        disp('矩阵半正定');else
        disp('矩阵负定');
    end
else
    disp('矩阵不对称');
end

（2）matlab产生正定阵的操作

https://blog.csdn.net/zhao523520704/article/details/52918376/

H_posi=diag([1,2,3]);
H_semi=diag([0,2,3]);
H_nega=diag([-1,-2,-3]);

（二）输入参数

符号参数含义H二次目标矩阵f线性目标向量A线性不等式矩阵b线性不等式向量Aeq线性等式约束矩阵beq线性等式约束向量lb下界ub上界

（三）输出参数

符号参数含义x解，以实数向量形式返回wsout解的热启动对象fval再解处的目标函数值exitflagquadprog停止的原因output有关优化过程的信息，以结构体形式返回lambda解处的拉格朗日乘数

二、MATLAB基础语法

x = quadprog(H,f)
x = quadprog(H,f,A,b)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
x = quadprog(problem)[x,fval]= quadprog(___)[x,fval,exitflag,output]= quadprog(___)[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(___)[wsout,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

三、MATLAB典型求解样例

（一）具有线性不等式约束的二次规划

H =[1-1;-12]; 
f =[-2;-6];
A =[11;-12;21];
b =[2;2;3];[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(H,f,A,b);

x =
0.6667
1.3333
fval = -8.2222
exitflag =
1

（二）具有线性等式约束的二次规划

H =[1-1;-12]; 
f =[-2;-6];
Aeq =[11];
beq =0;[x,fval,exitflag,output,lambda]=...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq)

x = -0.8000
0.8000
fval = -1.6000
exitflag =
1

（三）具有线性约束和边界的二次规划

H =[1,-1,1-1,2,-21,-2,4];
f =[2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq =1/2;
x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)；