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参考论文：A Survey on Generative Diffusion Model
github：https://github.com/chq1155/A-Survey-on-Generative-Diffusion-Model
一、什么是扩散模型
1.1 现有生成模型简介
已经有大量的方法证明深度生成模型能够模拟人类的想象思维，生成人类难以分辨真伪的内容，主要方法如下：
- VAE：比 GAN 要学习的东西更加明确，即使用 Encoder 学习数据的分布（均值和方差），使用 Decoder 基于学习到的分布训练生成器。VAE 的 Encoder 本质上就是对真实数据进行加噪，Decoder 就是在加了高斯噪声的数据上解码，相当于去掉噪声来恢复真实数据。VAE 其实结构和扩散模型很像，且有较好的理论可解释性，但 Encoder 使用很大的步长来学习数据分布并进行加噪，Decoder 也使用很大的步长来去噪，导致学习的不够细致，很粗糙。
- Flow-based
- GAN：用神经网络训练生成器和判别器，可解释性较差，训练时容易出现不稳定的问题
- diffusion model：和 VAE 的结构类似，不过是前向使用很小的步长来一步步进行加噪，逆向使用很小的步长一步步的进行去噪，比 VAE 学习的更细致
1.2 扩散模型的理论来源
我们主要介绍扩散模型，扩散模型背后的直觉来源于物理学：
- 在物理学中，气体分子从高浓度区域扩散到低浓度区域
- 这与由于噪声的干扰而导致的信息丢失是相似的
- 通过引入噪声，然后尝试去噪来生成图像，模型每次在给定一些噪声输入的情况下学习生成新图像。
1.3 扩散模型的使用场景
扩散模型可以用到哪些任务上：
- 计算机视觉
- 语言模型
- 声音模型
- AI for science
扩散模型的应用场景：
- 图文生成
- 视频生成
- 分子结构生成
- AI 绘画
- AI 制药
- …
1.4 扩散模型的基本结构
扩散模型的工作原理：
- 学习由于噪声引起的信息衰减，然后使用学习到的模式来生成图像
扩散模型的结构：
- 扩散模型定义了一个扩散步骤的马尔可夫链，慢慢地向数据中添加随机噪声，也就是熵增的过程，然后学习逆向扩散过程，从噪声中构建所需的数据样本
- 前向扩散过程 q q q：为输入图像 x 0 x_0 x0 引入一系列的随机噪声，也就是对样本点分 T 步添加高斯噪声，随着噪声的引入， x 0 x_0 x0 最终会失去区分特性
- 逆向恢复过程 p p p：从高斯先验出发，从有大量随机噪声的图中学习恢复原图
扩散模型相比 GAN 或 VAE 的缺点：
- 速度慢：扩散模型是基于马尔科夫过程来实现的，在训练和推理的时候都需要很多步骤
1.5 马尔可夫过程
马尔可夫模型有两个假设：
- 系统在 t t t 时刻的状态只与 t − 1 t-1 t−1 时刻的状态有关，也称无后效性
- 状态转移概率与时间 t t t 无关，只与前驱和后继的状态有关，也称齐次性或时齐性
1、无后效性
具有马尔科夫性质的状态满足下面公式：
P
(
S
t
+
1
∣
S
t
)
=
P
(
S
t
+
1
∣
S
1
,
.
.
.
,
S
t
)
P(S_{t+1}|S_t)=P(S_{t+1}|S_1,...,S_t)
P(St+1∣St)=P(St+1∣S1,...,St)
上述公式的意义：
- 给定当前状态 S t S_t St，将来的状态 S t + 1 S_{t+1} St+1 和 t t t 时刻之前的状态 { S 1 , . . . , S t − 1 } {S_1, ..., S_{t-1} } {S1,...,St−1} 已经没有关系，只和当前的状态 S t S_t St 有关系。
- 当前的状态 S t S_t St 中已经包括了历史的相关信息，所以之前的状态可以忽略
2、齐次性
对状态
s
s
s 和后继状态
s
′
s'
s′，状态转移概率定义为：
P
s
s
′
=
P
[
S
t
+
1
=
s
′
∣
S
t
=
s
]
P_{ss'}=P[S_{t+1}=s'|S_t=s]
Pss′=P[St+1=s′∣St=s]
状态转移矩阵 P 定义了从
s
s
s 转移到后继状态
s
′
s'
s′ 的概率：
其中的每行和为1：
- 比如掷骰子游戏，当前的点数为1
- 再一次掷骰子得到的点数的概率，即使我们不知道下一个具体点数的概率，但是我们知道下一个点数是1，2，3，4，5，6中的某一点，那么就会有：
马尔可夫过程：
马尔科夫过程一个无记忆的随机过程，是一些具有马尔科夫性质的随机状态序列构成，可以用一个元组 <S,P> 表示：
- S 是有限数量的状态集合
- P 是状态转移概率矩阵， P s s ′ = P [ S t + 1 = s ′ ∣ S t = s ] P_{ss'}=P[S_{t+1}=s'|S_t=s] Pss′=P[St+1=s′∣St=s]
二、扩散模型相关定义
2.1 符号和定义
1、State：状态
State 是能够描述整个扩散模型过程的一系列数据：
- 初始状态：starting state x 0 x_0 x0
- prior state：离散时为 x T x_T xT，连续时为 x 1 x_1 x1
- 中间状态：intermediate state x t x_t xt
2、Process 和 Transition Kernel
- Forward/Diffusion 过程 F F F：将初始状态转换到有噪声的状态
- Reverse/Denoised 过程 R R R：和前向过程方向相反，从有噪声的图像中逐步复原原图的过程
- Transition Kernel：在上面的两个过程中，每两个 state 的变换都是通过 transition kernel 来实现的，
前向和逆向的过程如下所示：
对于非离散情况，任何时间
0
<
=
t
<
s
<
1
0<=t<s<1
0<=t<s<1 的前向过程如下：
F t F_t Ft 和 R t R_t Rt 分别是 t t t 时刻从状态 x t − 1 x_{t-1} xt−1 转换成状态 x t x_t xt 的前向 transition kernel 和逆向 transition kernelσ t \sigma_t σt 是噪声尺度- 最常用的 transition kernel 是 Markov kernel，因为其具有较好的任意性和可控性
3、Pipeline：
假设定义 sampled data 为
x
~
0
\widetilde{x}_0
x0，则整个过程可以描述如下：
4、离散和连续过程
与离散过程相比，连续过程能够从任何时间状态中提取任何信息
如果扰动核的变化足够小，则连续过程有更好的理论支撑
5、训练目标
扩散模型是生成模型的一个子类，和 VAE 的目标函数类似，目标是让初始分布
x
0
x_0
x0 和采样分布
x
~
0
\widetilde{x}_0
x0 尽可能的接近。
通过最大化如下 log-likelihood 公式来实现，其中
σ
~
\widetilde{\sigma}
σ 在前向和逆向过程中是不同的：
2.2 问题规范化
1、Denoised Diffusion Probabilistic Model（DDPM）：去噪扩散概率模型
NIPS 2021 的论文 ‘Denoising diffusion probabilistic models’ 中对扩散概率模型进行了改进，提出了 DDPM：
- 使用固定的方差回归均值
- 用和噪声表示，通过均值预测网络重参数化，将关于均值的差改写为噪声预测网络与噪声的差，将目标函数改写为噪声预测的方式
- 对高斯噪声进行回归预测
- 对扩散模型的架构也进行了相应的改进，使用 U-Net 形式的架构，引入了跳跃连接，更适合于像素级别的预测任务
DDPM Forward Process：
- DDPM 使用一系列的噪声系数 β 1 \beta_1 β1、 β 2 \beta_2 β2 … β T \beta_T βT 作为不同时刻的 Markov trasition kernel。
- 一般都使用常数、线性规则、cosine 规则 来选择噪声系数，而且 [68] 中也证明了不同的噪声系数在实验中也没有明显的影响
- DDPM 的前向过程定义如下：
- 根据从 x 0 x_0 x0 到 x T x_T xT 的扩散步骤， Forward Diffusion Process 如下：
DDPM Reverse Process：
- 逆向过程使用可学习的 Gaussian trasition 参数 θ \theta θ 来定义如下：
- 逐步从 x T x_T xT 复原到 x 0 x_0 x0 的过程如下，假设过程为 p ( x T ) = N ( x T ; 0 , I ) p(x_T) = N(x_T;\ 0, I) p(xT)=N(xT; 0,I)：
- 所以， p θ ( x 0 ) = ∫ p θ ( x 0 : T ) d x 1 : T p_{\theta}(x_0)=\int p_{\theta}(x_{0:T})dx_{1:T} pθ(x0)=∫pθ(x0:T)dx1:T 的分布就是 x ~ 0 \widetilde{x}_0 x0 的分布
Diffusion Training Objective：为了最小化 negative log-likelihood (NLL)，则最小化问题转换为：
L T L_T LT：prior lossL 0 L_0 L0：reconstruction lossL 1 ： T − 1 L_{1：T-1} L1：T−1：consistent loss
下图是 PPDM 的 pipeline：
2、Score Matching Formulation
score matching 模型是为了解决原始数据分布的估计问题，通过近似数据的梯度
∇
x
l
o
g
p
(
x
)
\nabla_xlogp(x)
∇xlogp(x) 来实现，这也称为 score。
两个相邻状态的 transition kernel 为：
Score matching 过程：
score matching 的核心是训练一个得分估计网络
s
θ
(
x
,
σ
)
s_{\theta}(x, \sigma)
sθ(x,σ) 来预测得分。
DSM：
三、可以提升的点
尽管扩散模型目前取得了很好的生成效果，到其逐步去噪的过程涉及非常多的迭代步骤，故此扩散模型的加速是很重要的研究课题。
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