使用统计学分析《鱿鱼游戏》中“玻璃垫脚石”的生存概率

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如果你要在鱿鱼游戏中玩玻璃垫脚石，你的会选择那个数字？

《鱿鱼游戏》是最近很火的电影，在阅读本篇文章之前，我假设你已经看过这部剧集了。比赛中需要使用不同的策略才能获胜，比如第7集中的“玻璃垫脚石”引起了我的注意。这是一场至关重要的比赛，16 名玩家中只有 3 名幸存者。我认为这款游戏与其他游戏不同，因为从统计的角度来看，这是一款赌博游戏，玩家的行为并不能帮助他们获胜。现在让我们来使用数据来证明这一点。

不管你信不信其实每个玩家的命运几乎在他们选号时就已经确定了，而他们在游戏中的表现并没有多大关系。拥有运气也是一种超能力（例如海贼王中的巴基大神，一拳超人中的King）。但是对于我们普通人来说，了解一些统计知识就可以让我们在这样的游戏中生存。

在这篇文章中，我将讨论以下问题：

只有3名幸存者活下来了。如果再次玩游戏，是否有可能有更多（或更少的幸存者）？出现其他结果的概率是多少？
这个游戏的生存概率是3/16吗？生存概率与游戏顺序有什么关系？
如何根据猜对了多少玻璃来判断玩家是否是骗子？
如何在这场比赛中生存？

来自平行宇宙的游戏的其他结果

为了回答这些问题，我使用“生存分析”的思想进行了模拟。它是一种广泛用于分析死亡、疾病发生、康复等事件的统计分析[1]，以计算受试者存活的概率。进行生存分析的一种方法是通过模拟运行数千或数百万次实验，然后计算你感兴趣的生存概率。因为运行一个实验就像是在观察平行宇宙中会发生什么，您甚至可以从一个先知(如果存在先知)的视角来阅读从模拟结果中得到的悲伤或快乐的故事!

让我们先回顾游戏规则:所有玩家选择1到16之间的数字，然后他们将在限定时间内按照这个顺序过桥。桥牌上有18排玻璃，玩家需要从每排中挑选左边或右边的玻璃。如果他们选对了就可以继续走下去，否则就会从桥上掉下来死去。

为了简化模拟的问题，我需要做一些假设:

如果玩家没有死，他们会继续行走。

玩家随机选择玻璃(即猜对每一行的概率是0.5)-不允许作弊。

在模拟游戏中并不考虑时间效应(通过取消模拟中的时间限制对玩家表示一些怜悯，其实是简化了我们的计算)。

现在我们可以用Python建立的平行世界，给玩家另一个玩游戏的机会。我创建了一个Python函数来模拟游戏过程，计算生还者的数量，以及他们猜对了多少次。让我们看看运行游戏后得到的一些有趣结果:

平行宇宙A得到了类似结果

我们有 3 个幸存者但是与节目不同的是，玻璃专家（节目第14位玩家）初试失败！大部分玩家一试就没有猜对。

平行宇宙B是一个快乐故事

13名玩家在这个宇宙中幸存下来，玩家4猜对了9次！团队的英雄！但是猜对 9 次的概率是多少？这个玩家是作弊了吗？还是霸王色运气？我们稍后会在文中讨论这个问题。

平行宇宙C是悲伤的故事

这对于拥有 9 名幸存者的团队来说还不错。我说这很可悲是因为玩家4 猜对了 6 次，然后他就死了。4号玩家R.I.P。对团队贡献最大，但是还没没能活下来。

最有可能发生什么？

上面的结果告诉我们，每次运行结果都可能大不相同。我们可以根据幸存者的数量来计算每个不同结果的概率吗？当然可以！我们只需要多次运行实验（我在分析中运行了 100,000 次），然后我们可以根据模拟计算概率。

让我们看看这些概率：

正如我们从上面看到的（正态分布对吧），这场比赛最有可能在最后有 7 名幸存者。几乎不可能没有幸存者（概率为 0.1%），或者整个团队的都是幸存者（概率为 0）。也就是说这个游戏注定有人要死去

但是，我们也应该注意到，节目中的游戏比我们在这里模拟的要困难得多。比如：有时间限制。可以把人推到前面，试图改变游戏顺序，甚至作弊。但多亏了这些“人为因素”，这部剧看起来更精彩，也更关键，只有3名幸存者。

哪些玩家真的很幸运？

正如我在开头提到的，这是一个依赖顺序来玩的游戏。那么他们的生存机会如何随着顺序的的变化而变化吗？这是模拟输出：

前 6 名玩家的生存机会不到 5%。而对于最后4名玩家（13-16号），他们可以在这场比赛中放松身心，生存机会超过95%。但是即使曹尚佑（№218）学了统计学，知道自己和前面的人都有可能活下来，我想他还是会选择当杀手，推那个可怜的家伙，因为是导演让推的。

如何判断玩家是否作弊?

“Everyone Is Equal While They Play This Game. Here, The Players Get To Play A Fair Game Under The Same Conditions. Those People Suffered From Inequality And Discrimination Out In The World, And We’re Giving Them The Last Chance To Fight Fair And Win.” — The Front Man[2]

如果一男（图片中的老家伙，No.001）参加了这场比赛并且他知道所有正确的步骤，你能说他知道一些事情而不是仅仅依靠运气吗？

我们可以使用一些基本的贝叶斯统计来解决这个问题。假设我们有：

赛前对一男的了解：我们相信他是真实玩家，有99%的几率，而他作弊的几率只有1%。

问题：在我们确信他作弊之前，他需要猜对多少次？

贝叶斯统计的解决方案：

1.让我们先假设他猜对了 5 次：

先验比率：作弊与非作弊是 1/99

问题：不作弊的概率为1/(2⁵)=1/32，作弊猜对5次的概率为1，所以似然比为1/(1/32)=32

后验比率 = 先验比率 * 似然比率 = 1/99 * 32 = 32/99

后验：作弊概率 = 32/(32+99) = ~24%。

2.现在假设他猜对了 10 次：

先验比率：作弊与非作弊是 1/99

问题。不作弊的概率为1/(2¹⁰)=1/1024，作弊者猜对10次的概率为1，所以似然比为1/(1/1024)=1024

后验比率 = 先验比率 * 似然比率 = 1/99 * 1024 = 1024/99

后验：作弊概率 = 1024/(1024+99) = ~91.2%。

正如我们从计算中看到的，如果玩家猜对了 10 次，我们将非常确定他是一个作弊者。概率为：91.2%。

作为玩家如何在这款游戏中生存？

最终解决方案：将您的幸运数字更改为更大的数字。

这是肯定的，从上面我们了解到生存的最好方法是获得最后一个数字：13-16 都是不错的选择（假设您不会被身后的玩家杀死）。

如果你运气不好，得到了 1-8 的数字，那么最好的生存机会就是说服其他 1-9 的玩家退出（根据规则，如果一半以上的人同意，游戏就可以停止）。那么如何说服他们放弃？说服前8名玩家并不难，因为最大的生存机会只有0.41。但是要说服机会为0.6的第9位玩家就很难了！我不知道节目的导演是否计算过这个数字（我个人觉得应该是算过了），但我想在这种情况下，9号玩家不会轻易被说服（假设他们都知道统计数据）。

最后本文的代码在这里：https://github.com/mingjiezhao/squid_game_survival_analysis