高级人工智能之群体智能：蚁群算法

群体智能

鸟群：

鱼群：

1.基本介绍

蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）是一种模拟自然界蚂蚁觅食行为的优化算法。它通常用于解决路径优化问题，如旅行商问题（TSP）。

蚁群算法的基本步骤

初始化：设置蚂蚁数量、信息素重要程度、启发因子重要程度、信息素的挥发速率和信息素的初始量。

构建解：每只蚂蚁根据概率选择下一个城市，直到完成一次完整的路径。

更新信息素：在每条路径上更新信息素，通常新的信息素量与路径的质量成正比。

迭代：重复构建解和更新信息素的步骤，直到达到预设的迭代次数。

2.公式化蚁群算法

1. 转移概率 P i j k P_{ij}^k Pijk​ 表示蚂蚁 k k k从城市 i i i转移到城市 j j j的概率。它是基于信息素强度 τ i j \tau_{ij} τij​（信息素重要程度为 α \alpha α和启发式信息 η i j \eta_{ij} ηij​)（启发式信息重要程度为 β \beta β ）计算的： P i j k = [ τ i j ] α ⋅ [ η i j ] β ∑ l ∈ allowed k [ τ i l ] α ⋅ [ η i l ] β P_{ij}^k = \frac{[\tau_{ij}]^\alpha \cdot [\eta_{ij}]^\beta}{\sum_{l \in \text{allowed}k} [\tau{il}]^\alpha \cdot [\eta_{il}]^\beta} Pijk​=∑l∈allowedk​​[τil​]α⋅[ηil​]β[τij​]α⋅[ηij​]β​其中， allowed k \text{allowed}_k allowedk​ 是蚂蚁 k k k 可以选择的下一个城市集合。
2. 信息素更新规则。在每次迭代结束后，所有路径上的信息素会更新。更新规则通常包括信息素的挥发和信息素的沉积： τ i j ← ( 1 − ρ ) ⋅ τ i j + Δ τ i j \tau_{ij} \leftarrow (1 - \rho) \cdot \tau_{ij} + \Delta \tau_{ij} τij​←(1−ρ)⋅τij​+Δτij​其中，( ρ \rho ρ ) 是信息素的挥发率，( Δ τ i j \Delta \tau_{ij} Δτij​ ) 是本次迭代中所有蚂蚁在路径 ( i , j ) (i, j) (i,j) 上留下的信息素总量，通常计算方式为_ Δ τ i j = ∑ k = 1 m Δ τ i j k \Delta \tau_{ij} = \sum_{k=1}^{m} \Delta \tau_{ij}^k Δτij​=∑k=1m​Δτijk​而对于每只蚂蚁 k k k ，在路径 ( i , j ) (i, j) (i,j) 上留下的信息素量 Δ τ i j k \Delta \tau_{ij}^k Δτijk​ 通常与其走过的路径长度成反比： Δ τ i j k = { Q L k , if ant k travels on edge ( i , j ) 0 , otherwise \Delta \tau_{ij}^k= \begin{cases} \frac{Q}{L_k}, & \text{if ant } k \text{ travels on edge } (i, j) \ 0, & \text{otherwise} \end{cases} Δτijk​={Lk​Q​,0,​if ant k travels on edge (i,j)otherwise​这里， Q Q Q是一个常数， L k L_k Lk​是蚂蚁 k k k的路径长度。
3. 启发式信息 ( η i j \eta_{ij} ηij​ ) 通常是目标函数的倒数，例如在TSP问题中，它可以是两城市间距离的倒数： η i j = 1 d i j \eta_{ij} = \frac{1}{d_{ij}} ηij​=dij​1​其中， d i j d_{ij} dij​ 是城市 i i i和 j j j 之间的距离。

这些公式构成了蚁群算法的数学基础。通过调整参数

     α 
    
   
  
    \alpha 
   
  
α ,  
 
  
   
   
     β 
    
   
  
    \beta 
   
  
β, 和  
 
  
   
   
     ρ 
    
   
  
    \rho 
   
  
ρ，可以控制算法的搜索行为，从而适应不同的优化问题。

3.代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

classAntColonyOptimizer:def__init__(self, distances, n_ants, n_best, n_iterations, decay, alpha=1, beta=1):# 初始化参数
        self.distances = distances  # 城市间的距离矩阵
        self.pheromone = np.ones(self.distances.shape)/len(distances)# 初始化信息素矩阵
        self.all_inds =range(len(distances))# 所有城市的索引
        self.n_ants = n_ants  # 蚂蚁数量
        self.n_best = n_best  # 每轮保留的最佳路径数
        self.n_iterations = n_iterations  # 迭代次数
        self.decay = decay  # 信息素的挥发率
        self.alpha = alpha  # 信息素重要程度
        self.beta = beta  # 启发因子的重要程度defrun(self):# 运行算法
        shortest_path =None
        shortest_path_length =float('inf')for iteration inrange(self.n_iterations):# 对每次迭代
            all_paths = self.gen_all_paths()# 生成所有蚂蚁的路径
            self.spread_pheromone(all_paths, self.n_best, shortest_path_length)# 更新信息素
            shortest_path, shortest_path_length = self.find_shortest_path(all_paths)# 找到最短路径
            self.plot_paths(shortest_path, iteration, shortest_path_length)# 绘制路径return shortest_path, shortest_path_length

    defgen_path_dist(self, path):# 计算路径长度
        total_dist =0for i inrange(len(path)-1):
            total_dist += self.distances[path[i], path[i+1]]return total_dist

    defgen_all_paths(self):# 生成所有蚂蚁的路径
        all_paths =[]for _ inrange(self.n_ants):
            path =[np.random.randint(len(self.distances))]# 选择一个随机起点whilelen(path)<len(self.distances):
                move_probs = self.gen_move_probs(path)# 生成移动概率
                next_city = np_choice(self.all_inds,1, p=move_probs)[0]# 选择下一个城市
                path.append(next_city)
            all_paths.append((path, self.gen_path_dist(path)))# 添加路径和长度return all_paths

    defspread_pheromone(self, all_paths, n_best, shortest_path_length):# 更新信息素
        sorted_paths =sorted(all_paths, key=lambda x: x[1])# 按路径长度排序for path, dist in sorted_paths[:n_best]:# 只取最好的n_best条路径for i inrange(len(path)-1):
                self.pheromone[path[i], path[i+1]]+=1.0/ self.distances[path[i], path[i+1]]deffind_shortest_path(self, all_paths):# 寻找最短路径
        shortest_path =min(all_paths, key=lambda x: x[1])# 根据路径长度找到最短的那条return shortest_path[0], shortest_path[1]defgen_move_probs(self, path):# 生成移动概率
        last_city = path[-1]
        probs = np.zeros(len(self.distances))for i in self.all_inds:if i notin path:
                pheromone = self.pheromone[last_city, i]** self.alpha
                heuristic =(1.0/ self.distances[last_city, i])** self.beta
                probs[i]= pheromone * heuristic
        return probs / probs.sum()defplot_paths(self, best_path, iteration, path_length):# 绘制路径
        plt.figure(figsize=(10,6))for i inrange(len(coords)):# 绘制所有可能的路径for j inrange(i+1,len(coords)):
                plt.plot([coords[i][0], coords[j][0]],[coords[i][1], coords[j][1]],'k:', alpha=0.5)for i inrange(len(best_path)-1):# 绘制最短路径
            start_city = best_path[i]
            end_city = best_path[i+1]
            plt.plot([coords[start_city][0], coords[end_city][0]],[coords[start_city][1], coords[end_city][1]],'b-', linewidth=2)
        plt.scatter(*zip(*coords), color='red')# 标记城市位置for i, coord inenumerate(coords):# 添加城市标签
            plt.text(coord[0], coord[1],str(i), color='green')
        plt.title(f'Iteration: {iteration}, Shortest Path Length: {round(path_length,2)}')
        plt.xlabel('X Coordinate')
        plt.ylabel('Y Coordinate')
        plt.show()defnp_choice(a, size, replace=True, p=None):# numpy的随机选择函数return np.array(np.random.choice(a, size=size, replace=replace, p=p))# 城市坐标
coords = np.random.rand(10,2)# 假设有10个城市# 计算距离矩阵
distances = np.zeros((10,10))for i inrange(10):for j inrange(10):
        distances[i, j]= np.linalg.norm(coords[i]- coords[j])# 使用欧几里得距离# 运行蚁群算法
aco = AntColonyOptimizer(distances, n_ants=10, n_best=5, n_iterations=100, decay=0.5, alpha=1, beta=2)
path, dist = aco.run()

执行结果：

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