点到直线垂足坐标的计算

    假设空间某点O的坐标为（Xo, Yo, Zo）,空间某条直线上两点A和B的坐标为：(X1, Y1, Z1),(X2, Y2, Z2),设点O在直线AB上的垂足为点N，坐标为(Xn, Yn, Zn)。点N坐标解算过程如下：

首先求出下列向量：

由向量垂直关系，两个向量如果垂直，那么两个向量的点积（点乘，向量积）则为0，可得出。

(1)

点N在直线AB上，根据向量共线定理：

(2)

k理解为垂足点相对起点的距离占比，也就是一个比例系数。

由（2）得

(3)

把（3）式代入（1）式，式中只有一个未知数k，整理化简解出k：

把（4）式代入（3）式即得到垂足N的坐标。

下面是C的实现方式：

// 二维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
    const Point &pt,     // 直线外一点
    const Point &begin,  // 直线开始点
    const Point &end)   // 直线结束点
{
    Point retVal;
 
    double dx = begin.x - end.x;
    double dy = begin.y - end.y;
    if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 )
    {
        retVal = begin;
        return retVal;
    }
 
    double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
        (pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y);
    u = u/((dx*dx)+(dy*dy));
 
    retVal.x = begin.x + u*dx;
    retVal.y = begin.y + u*dy;
 
    return retVal;
}

// 三维空间点到直线的垂足
struct Point
{
　　double x,y,z;
}
Point GetFootOfPerpendicular(
    const Point &pt,     // 直线外一点
    const Point &begin,  // 直线开始点
    const Point &end)   // 直线结束点
{
    Point retVal;
 
    double dx = begin.x - end.x;
    double dy = begin.y - end.y;
　　double dz = begin.z - end.z;
    if(abs(dx) < 0.00000001 && abs(dy) < 0.00000001 && abs(dz) < 0.00000001 )
    {
        retVal = begin;
        return retVal;
    }
 
    double u = (pt.x - begin.x)*(begin.x - end.x) +
        (pt.y - begin.y)*(begin.y - end.y) + (pt.z - begin.z)*(begin.z - end.z);
    u = u/((dx*dx)+(dy*dy)+(dz*dz));
 
    retVal.x = begin.x + u*dx;
    retVal.y = begin.y + u*dy;
　　retVal.y = begin.z + u*dz;
　　
    return retVal;
}