人工智能数据基础之线性代数入门-学习篇

目录

1. 基本概念
2. 矩阵基础运算
3. 解方程组
4. 特征向量与特征值

一、基本概念

标量定义：
标量是只有大小没有方向的量。在数学中，它通常是一个实数或复数。
通俗理解：
想象你有5个苹果。这个数字"5"就是一个标量。它只告诉你有多少苹果，但不告诉你这些苹果放在哪里
向量定义：
向量是具有大小和方向的量。在数学中，它通常表示为一个有序的数字列表，如二维或三维空间中的点
通俗理解：想象你在一个大房间里，你想告诉你的朋友一个宝藏的位置。你可以说：“从门口开始，走5步向前，然后走3步向右。这个“5步向前3步向右”就像一个向量，它有方向和距离
矩阵定义：
矩阵是一个二维数组，其中的每个元素都是一个标量。它可以表示线性变换
通俗理解：想象你有一个秘密地图，上面有很多宝藏的位置。为了整齐地记录所有的位置，你决定用一个网格或表格来写下所有的“向前和向右”的步数。这个表格就像一个矩阵，它帮助你整齐地记录信息
张量定义：
张量是一个可以在多个方向上有分量的数学对象。标量是零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。更高阶的张量可以看作是多维数组
通俗理解：想象你不仅在一个房间里找宝藏，而且在一个大楼里。这时，你不仅要告诉你的朋友向前走多少步、向右走多少步，还要告诉他上或下走多少楼梯。如果你用一个更大的表格来记录这些信息，其中包括向前、向右和上下的步数，这就像一个张量。张量就是一个更高级的表格，可以记录更多的信息

二、概念 Python案例实战

1. 创建向量、矩阵、张量

import numpy as np
#创建向量(一维)
vactor = np.array([1,2,3,4,5])#np.linalg.norm()计算的是该向量的范数  计算向量的长度或者矩阵的某种“大小”
vactor_norm = np.linalg.norm(vactor)print(vactor_norm)print(vactor)#创建矩阵(二维)
matrix = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
matrix_norm = np.linalg.norm(matrix)print(matrix_norm)print(matrix)#创建张量(三维)#如果读取一张图片，如果该图片有rgb三个通道，就会属于张量，如果就一个通道(黑白灰度图像)，，可以转为矩阵格式
tensor = np.array([[[1,2],[3,4]],[[5,6],[7,8]],[[9,10],[12,13]]])
tensor_norm = np.linalg.norm(tensor)print(tensor_norm)print(tensor)

1. 将Numpy矩阵保存成本地图像

#将矩阵保存成本地图像#创建一个大小为224x224的二维矩阵，值为0-255之间
two_d_matrix = np.random.randint(0,256,(224,224),dtype=np.uint8)#创建一个大小为3x224x224的三维矩阵，值为0-255之间
three_d_matrix = np.random.randint(0,256,(3,224,224),dtype=np.uint8)#在OpenCV中，图像的通道顺序为高x 宽x 通道数
three_d_matrix_transposed = three_d_matrix.transpose(1,2,0)#将画面显示出来
cv2.imshow("two_d_matrix",two_d_matrix)
cv2.imshow("three_d_matrix",three_d_matrix_transposed)
cv2.waitKey(0)#使用OpenCV将图片保存在本地
cv2.imwrite("three_d_matrix.png",three_d_matrix_transposed)
cv2.imwrite("two_d_matrix.png",two_d_matrix)

运行如图：

##三、矩阵基础运算

1. 标量与矩阵的乘法 案例实战,使用标量和矩阵相乘来调整画面的对比度实现图像增强：

import cv2
import numpy as np
#读取图像
image= cv2.imread("./11.jpg")#增加对比度
increased_contrast = cv2.convertScaleAbs(image,alpha=1.5)#减少对比度
decreased_contrast = cv2.convertScaleAbs(image,alpha=0.5)#将图像进行横向拼接
combined_image = cv2.hconcat([image,increased_contrast,decreased_contrast])#显示图片
cv2.imshow("Originaal - increased_contrast - decreased_contrast",combined_image)
cv2.waitKey(0)

结果为：

案例实战，使用python代码实现以下计算：

#定义矩阵A和B
A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])#定义标量C
C =3#标量与矩阵的乘法
scalar_matrix_multiplication = C*A
#矩阵的加法
matrix_addition = A+B
print(scalar_matrix_multiplication,'\n',matrix_addition)

三、解方程组

使用python解以下方程组：

import numpy as np

#创建系数矩阵
A = np.array([[1,2,3],[1,6,7],[1,10,6]])#创建常数向量
B = np.array([5,9,8])#解方程
x = np.linalg.solve(A,B)#打印结果print("解：",x)

四、特征向量与特征值

特征值定义：
与特征向量相对应的标量λ称为特征值。 它表示在特定的特征向量方向上，变换的缩放比例。
想象一个拉伸机，你放入一根箭头，拉伸机的作用下，这根箭头可能会被拉长、缩短或者保持原长，但方向不变。这个“拉伸”或者“缩短”的倍数，就是特征值。特征值反映了这个变换增强或减弱了向量的程度
特征向量定义：
如果一个非零向量v在一个线性变换下的效果仅仅是被伸缩（缩放或拉伸），而方向不变，那么这个向量被称为特征向量。
那根被拉伸后方向不变的箭头，就是特征向量。它是一个特殊的向量，它在矩阵变换下只是被伸缩，但不改变其方向。可以指明变换的主要方向

求特征值与特征向量

求解以下矩阵的特征值与特征向量：

使用Python算出结果：

import numpy as np

#定义矩阵
A = np.array([[4,1],[2,3]])#使用Numpy求特征值和特征向量
eigenvalues,eigenvectors = np.linalg.eig(A)print("特征值：",eigenvalues)print("特征向量：",eigenvectors)

结果为：

特征向量与特征值的应用案例

图像的 SVD分解

对一幅图像的SVD分解为三个部分：
U 矩阵：包含了“左奇异向量”，可以想象成是一组基础的图像模式。
Σ矩阵：包含了“奇异值”，表明了每个图像模式的重要性或权重。较大的奇
异值对应于图像中更重要的特征。
V 矩阵：包含了“右奇异向量”，它与U矩阵类似，但从不同的角度描述了图
像的特征。
通过这种分解，图像转化成一系列的模式和对应的权重。可通过用较少的数据
来描述一幅图像，同时保留其关键特征

使用Python代码实现：

import cv2
import numpy as np

#读取图像
image = cv2.imread("./11.jpg",0)#对图像进行svd分解  astype转成浮点数再进行分解
U,S,V = np.linalg.svd(image.astype(np.float64),full_matrices=False)#定义要保留的奇异值数量
k =10
s_k = np.diag(S[:k])#重构图像
compressed_image = np.dot(U[:,:k],np.dot(s_k,V[:k,:]))
compressed_image = np.clip(compressed_image,0,255).astype(np.uint8)#clip限制像素范围#显示图像
cv2.imshow("Original image",image)
cv2.imshow("compressed image",compressed_image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

运行结果：

使用的特征值越多，图像就会越清晰

.