与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所
有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）
最小二乘法拟合算法及其MATLAB实现
【插值和拟合的区别】
插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。
尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。**(拟合的结果是得到一个确定的曲线，而插值可以得到很多曲线，只不过是预测精度不大一样)**
【结合MATLAB演示最小二乘法拟合】
给定一些数据点：
xy4.28.45.911.72.74.23.86.13.87.95.610.26.913.23.56.63.662.94.64.28.46.1125.510.36.613.32.94.63.36.75.910.8611.55.69.9
设这些样本点为
(
x
i
,
y
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
…
…
,
n
(x_i,y_i),i=1,2,3,……,n
(xi,yi),i=1,2,3,……,n
我们设置的拟合曲线为
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y=kx+b.
问题在于，当
k
k
k和
b
b
b取何值时，使得样本点和拟合曲线更接近？
我们使用MATLAB先将这些点画在图中：
在MATLAb的变量存储区新建x和y变量，然后把我们的数据复制进去：
新建好这两个变量之后，可以把两个变量选中，然后保存在和代码同一个目录的文件夹下，保存为mat文件：
这样我们如果删除了这两个变量，仍然可以通过
load demo
来加重新加载这两个变量。
通过plot命令可以绘制出这个散点图：
那么如何确定拟合曲线呢？这里我们使用最小二乘法。
1.最小二乘法的几何解释：
第一种定义有绝对值，不容易求导，因此计算比较复杂。
所以我们往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想。
2.为什么不用四次方？
- 避免极端数据对拟合曲线的影响。
- 最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致。
- 不用奇数次方的原因：误差会正负相抵。
求解最小二乘法：
详细证明可以看我写的超级好的手写版【doge】😎
3.MATLAB求解最小二乘：
对应的求
k
^
\hat{k}
k^和
b
^
\hat{b}
b^的MATLAb
代码是：
k =(n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b =(sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
求出
k
^
\hat{k}
k^和
b
^
\hat{b}
b^之后就可以画出这个拟合函数
y
=
k
^
x
+
b
^
y=\hat{k}x+\hat{b}
y=k^x+b^了：
%% 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)%% 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx =2.5:0.1:7% 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b % k和b都是已知值
%plot(xx,yy,'-')
画图还有一个方法：用匿名函数
% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
% z=@(x,y) x^2+y^2;%z(1,2)%% ans =5% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
%fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =[xmin xmax] 表示定义域的范围
在此处就可以这样写来画出这个函数：
f=@(x) k*x+b;fplot(f,[2.5,7]);legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')
那么有了拟合函数我们如何判断拟合的好不好呢？
4. 如何评价拟合的好坏（拟合优度）
拟合优度（可决系数）
R
2
R^2
R2
- 总体平方和 S S T SST SST： Total sum of squares : S S T = ∑ i = 1 n ( y i − y i ‾ ) 2 \text{Total sum of squares}:SST=\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y_i})^2 Total sum of squares:SST=∑i=1n(yi−yi)2
- 误差平方和 S S E SSE SSE： The sum of squares due to error : S S E = ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 \text{The sum of squares due to error}:SSE=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2 The sum of squares due to error:SSE=∑i=1n(yi−yi^)2
- 回归平方和 S S R SSR SSR： Sum of squares of the regression: : S S R = ∑ i = 1 n ( y i ^ − y i ‾ ) 2 \text{Sum of squares of the regression:}:SSR=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y_i})^2 Sum of squares of the regression::SSR=∑i=1n(yi^−yi)2
可以证明：
S
S
T
=
S
S
R
+
S
S
E
SST=SSR+SSE
SST=SSR+SSE（要用到我们求导得到的两个等式）
**拟合优度：
0
<
=
R
2
=
S
S
R
S
S
T
=
S
S
T
−
S
S
E
S
S
T
=
1
−
S
S
E
S
S
T
<
=
1
0<=R^2= \frac{SSR}{SST}= \frac{SST-SSE}{SST}=1- \frac{SSE}{SST}<=1
0<=R2=SSTSSR=SSTSST−SSE=1−SSTSSE<=1**
**
R
2
R^2
R2越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小说明拟合的越好。**
注：
R 2 R^2 R2只能用于拟合函数是线性函数时拟合结果的评价，因为 S S T = S S R + S S E SST=SSR+SSE SST=SSR+SSE这个等式只有在拟合函数是线性的时候才成立，其证明如下图- 线性函数和其他函数（例如复杂的指数函数）比较拟合的好坏，直接看 S S E SSE SSE即可。
- 拟合的函数越复杂（比如说次数越高），最后得出的拟合优度肯定是越小，SSE也越小（因为次数越高，到最后可能拟合函数穿过了所有的数据点，SSE就为0了），但是这与拟合的初衷相矛盾了，我们希望用一个简单的函数去打到一个相对很好的拟合效果。所以不要过度追求高阶次，复杂的拟合函数，而是要在简单拟合函数与 R 2 R^2 R2越小之间找到一个平衡点。
证明SST=SSE+SSR:
5.线性函数的定义与介绍
上面谈到了
R
2
R^2
R2只能用于拟合函数是线性函数时拟合结果的评价，那么什么是线性函数呢？只有一次函数是线性函数吗？其实不是的。
思考：
y
=
a
+
b
x
2
y=a+bx^2
y=a+bx2是线性函数吗？
是的。因为我们这里说的线性函数是指对参数为线性（线性于参数）。
如何判断线性于参数的函数？
在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式。
比如下面的三种函数都是线性于参数的函数：
而
y
=
a
(
x
−
b
)
2
,
y
=
a
s
i
n
(
b
+
c
x
)
y=\frac{a}{(x-b)^2},y=asin(b+cx)
y=(x−b)2a,y=asin(b+cx)等都不是线性于参数的函数，不能使用
R
2
R^2
R2。
6.用MATLAB计算拟合优度
S S T = ∑ i = 1 n ( y i − y i ‾ ) 2 SST=\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y_i})^2 SST=∑i=1n(yi−yi)2S S E = ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 SSE=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2 SSE=∑i=1n(yi−yi^)2S S R = ∑ i = 1 n ( y i ^ − y i ‾ ) 2 SSR=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y_i})^2 SSR=∑i=1n(yi^−yi)2
y_hat = k*x+b;% y的拟合值
SSR =sum((y_hat-mean(y)).^2)% 回归平方和
SSE =sum((y_hat-y).^2)% 误差平方和
SST =sum((y-mean(y)).^2)% 总体平方和
SST-SSE-SSR %5.6843e-14=5.6843*10^-14 matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST
本篇文章就到这里啦，下一篇文章继续讲解MATLAB中拟合函数工具箱的使用。
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