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欧几里得距离（Euclidean Distance）也称L2距离（L2 Distance），是一种常用的几何距离度量方法，用来计算两个点之间的直线距离。在二维或更高维空间中，欧几里得距离可以看作是“最短路径”的概念。它在机器学习、图像处理、模式识别、聚类分析等领域有广泛的应用。
1. 欧几里得距离的定义
给定两个向量或点
A
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
\mathbf{A} = (x_1, x_2, \dots, x_n)
A=(x1,x2,…,xn) 和
B
=
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
)
\mathbf{B} = (y_1, y_2, \dots, y_n)
B=(y1,y2,…,yn)，欧几里得距离的公式为：
d
(
A
,
B
)
=
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
+
⋯
+
(
x
n
−
y
n
)
2
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \dots + (x_n - y_n)^2}
d(A,B)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2
或者更一般的形式是：
d
(
A
,
B
)
=
∥
A
−
B
∥
2
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \|\mathbf{A} - \mathbf{B}\|_2
d(A,B)=∥A−B∥2
其中，
∥
⋅
∥
2
\|\cdot\|_2
∥⋅∥2 是L2范数，表示向量之间的欧几里得距离。
二维空间中的欧几里得距离
给定两个点
A
=
(
x
1
,
y
1
)
\mathbf{A} = (x_1, y_1)
A=(x1,y1) 和
B
=
(
x
2
,
y
2
)
\mathbf{B} = (x_2, y_2)
B=(x2,y2) 在二维平面上，欧几里得距离可以通过勾股定理计算为这两个点之间的直线距离。公式为：
d
(
A
,
B
)
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2
这个公式表示两点在平面上形成的直角三角形的斜边长度。
三维空间中的欧几里得距离
如果是三维空间中的两个点
A
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
\mathbf{A} = (x_1, y_1, z_1)
A=(x1,y1,z1) 和
B
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
\mathbf{B} = (x_2, y_2, z_2)
B=(x2,y2,z2)，它们之间的欧几里得距离为：
d
(
A
,
B
)
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
z
2
−
z
1
)
2
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
更高维空间中的欧几里得距离
对于n维空间中的两个点
A
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
\mathbf{A} = (x_1, x_2, \dots, x_n)
A=(x1,x2,…,xn) 和
B
=
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
)
\mathbf{B} = (y_1, y_2, \dots, y_n)
B=(y1,y2,…,yn)，它们之间的欧几里得距离为：
d
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}
d(A,B)=i=1∑n(xi−yi)2
即在每个维度上计算两个点的差值的平方，取这些平方和的平方根。
2. 欧几里得距离的计算示例
示例1：二维空间中的欧几里得距离
假设有两个点
A
=
(
1
,
2
)
\mathbf{A} = (1, 2)
A=(1,2) 和
B
=
(
4
,
6
)
\mathbf{B} = (4, 6)
B=(4,6)，它们在二维平面上的欧几里得距离可以计算如下：
d
(
A
,
B
)
=
(
4
−
1
)
2
+
(
6
−
2
)
2
=
3
2
+
4
2
=
9
+
16
=
25
=
5
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
d(A,B)=(4−1)2+(6−2)2=32+42=9+16=25=5
因此，这两个点之间的欧几里得距离为5。
示例2：三维空间中的欧几里得距离
假设有两个点
A
=
(
1
,
2
,
3
)
\mathbf{A} = (1, 2, 3)
A=(1,2,3) 和
B
=
(
4
,
6
,
8
)
\mathbf{B} = (4, 6, 8)
B=(4,6,8)，它们在三维空间中的欧几里得距离为：
d
(
A
,
B
)
=
(
4
−
1
)
2
+
(
6
−
2
)
2
+
(
8
−
3
)
2
=
3
2
+
4
2
+
5
2
=
9
+
16
+
25
=
50
≈
7.07
d(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07
d(A,B)=(4−1)2+(6−2)2+(8−3)2=32+42+52=9+16+25=50≈7.07
因此，这两个点之间的距离约为7.07。
3. 欧几里得距离的直观理解
欧几里得距离可以直观地理解为平面或空间中的“直线距离”或“最短路径”。它基于勾股定理，计算两个点之间的直线距离。
例子：
在日常生活中，如果你在城市的一个街区（点A），想要到达另一条街（点B），欧几里得距离就是从A到B的直线距离。如果你可以无视街道和建筑物，直接穿越到目标点，所走的距离就是欧几里得距离。
在更高维的向量空间中，这一概念仍然适用：欧几里得距离是两个向量之间的直线距离，描述了它们在向量空间中的“最短”距离。
4. 欧几里得距离的应用场景
a. 聚类分析
在聚类分析中，欧几里得距离常用于衡量数据点之间的相似性。距离越小，表示两个数据点越相似。常见的聚类算法如K-means使用欧几里得距离来决定数据点和聚类中心之间的距离，并根据距离将数据点划分到最接近的簇中。
b. 图像处理
在图像处理任务中，欧几里得距离可以用于衡量图像特征之间的差异。图像可以通过特征向量表示，特征向量之间的欧几里得距离可以衡量图像的相似性。
c. 最近邻算法（K-NN）
在K近邻算法（K-NN）中，欧几里得距离用于衡量新样本和训练集中每个样本之间的距离。距离最近的K个点用于预测新样本的类别。
5. 欧几里得距离的优缺点
优点：
- 简单直观：欧几里得距离是最常用的距离度量之一，易于理解和计算。
- 几何解释：它具有直观的几何解释，代表了两个点之间的最短路径。
缺点：
- 维度灾难：在高维空间中，欧几里得距离的效果会受到“维度灾难”影响，即随着维度的增加，数据点之间的距离会趋于相似，从而使得距离度量失效。
- 对尺度敏感：欧几里得距离对不同特征的尺度非常敏感。如果不同特征的量纲（单位）不一致，欧几里得距离可能会被主导量纲较大的特征所主导。因此，在应用欧几里得距离之前，通常需要对数据进行归一化或标准化。
6. 欧几里得距离与其他距离度量的对比
a. L1距离（曼哈顿距离 Manhattan Distance）：
L2距离是两点之间的直线距离，而L1距离（曼哈顿距离）是两点在各个坐标轴上的绝对差值之和。L1距离不涉及平方操作，因此对噪声的鲁棒性较好，但有时在高维空间中可能表现不如L2距离。公式为：
d
Manhattan
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
∣
x
i
−
y
i
∣
d_{\text{Manhattan}}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|
dManhattan(A,B)=i=1∑n∣xi−yi∣
b. 余弦相似度（Cosine Similarity）：
余弦相似度用于衡量两个向量之间的方向相似性，而不是它们的距离。余弦相似度的值范围是
[
−
1
,
1
]
[-1, 1]
[−1,1]，用于表示两个向量的夹角余弦值。如果两个向量的夹角为0度，表示它们的方向相同，余弦相似度为1。而欧几里得距离关注的是向量之间的“物理距离”。
c. 马氏距离（Mahalanobis Distance）：
马氏距离是一种考虑数据分布的距离度量，特别适用于多元正态分布数据。它考虑了变量之间的协方差，因此在不规则数据分布的情况下，马氏距离比欧几里得距离更可靠。
7. 总结
欧几里得距离作为一种简单而有效的距离度量，仍然在机器学习和数据分析中占据着重要地位，尤其是在KNN、K-Means等核心算法中。尽管在高维空间中可能面临维度灾难，但通过适当的预处理、数据降维以及结合其他技术，欧几里得距离依然能够在实际应用中表现出色。
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