0
0

SI，SIS，SIR，SEIRD模型

SI，SIS，SIR，SEIRD模型

因为个人工作需要系统地整理SI，SIR以及SEIR模型，故对三个模型进行原理介绍以及对比。文中关于SI，SIS，SIR的所有的截图都来自西工大肖华勇老师在慕课上的分享，原视频戳 这里。SEIRD模型则来自发表在SCI上的paper，想看原文戳这里。

SI model

作为比较古早的传染病模型（不对指数模型进行介绍），SI model在假设人口总数不变（不发生迁移，出生及死亡）的情况下，将人群分为易感人群S（suspectible）和病人I（Infective），在时刻 

  1.      t 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     t 
  6.    
  7.   
  8. t下，这两类人群的占比分别为 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      s 
  14.     
  15.    
  16.      ( 
  17.     
  18.    
  19.      t 
  20.     
  21.    
  22.      ) 
  23.     
  24.    
  25.   
  26.     s(t) 
  27.    
  28.   
  29. s(t)和 
  30.  
  31.   
  32.    
  33.    
  34.      i 
  35.     
  36.    
  37.      ( 
  38.     
  39.    
  40.      t 
  41.     
  42.    
  43.      ) 
  44.     
  45.    
  46.   
  47.     i(t) 
  48.    
  49.   
  50. i(t)，并假设病人每天有效接触的平均人数为 
  51.  
  52.   
  53.    
  54.    
  55.      λ 
  56.     
  57.    
  58.   
  59.     \lambda 
  60.    
  61.   
  62. λ。当I类人群与S类人群进行接触，S被感染，转为I类人群。

So，每个病人每天可以感染的人数为 

  1.      λ 
  2.     
  3.    
  4.      ⋅ 
  5.     
  6.    
  7.      s 
  8.     
  9.    
  10.      ( 
  11.     
  12.    
  13.      t 
  14.     
  15.    
  16.      ) 
  17.     
  18.    
  19.   
  20.     \lambda \cdot s(t) 
  21.    
  22.   
  23. λ⋅s(t)，共有 
  24.  
  25.   
  26.    
  27.    
  28.      N 
  29.     
  30.    
  31.      ⋅ 
  32.     
  33.    
  34.      i 
  35.     
  36.    
  37.      ( 
  38.     
  39.    
  40.      t 
  41.     
  42.    
  43.      ) 
  44.     
  45.    
  46.   
  47.     N \cdot i(t) 
  48.    
  49.   
  50. N⋅i(t)个病人，故每天总感染人数为 
  51.  
  52.   
  53.    
  54.    
  55.      λ 
  56.     
  57.    
  58.      ⋅ 
  59.     
  60.    
  61.      s 
  62.     
  63.    
  64.      ( 
  65.     
  66.    
  67.      t 
  68.     
  69.    
  70.      ) 
  71.     
  72.    
  73.      N 
  74.     
  75.    
  76.      ⋅ 
  77.     
  78.    
  79.      i 
  80.     
  81.    
  82.      ( 
  83.     
  84.    
  85.      t 
  86.     
  87.    
  88.      ) 
  89.     
  90.    
  91.   
  92.     \lambda \cdot s(t) N \cdot i(t) 
  93.    
  94.   
  95. λ⋅s(t)N⋅i(t)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
由图3可得，SI模型中新增病人数量在 

  1.      i 
  2.     
  3.    
  4.      = 
  5.     
  6.    
  7.      1 
  8.     
  9.    
  10.      / 
  11.     
  12.    
  13.      2 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     i=1/2 
  18.    
  19.   
  20. i=1/2时增速最大，带入公式（6）可得 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       t 
  27.      
  28.     
  29.       m 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     t_m 
  35.    
  36.   
  37. tm​为![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/f46d84c549fe4e0289dbaa337b987366.jpeg#pic_center)该模型适用于不可治愈传染病。

SIS model

和SI模型不同，SIS模型假设病人治好后变成健康者，健康者可以再次被感染成为病人。相比与SI模型， SIS模型增加条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为一个常数 

  1.      μ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \mu 
  6.    
  7.   
  8. μ，称 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      μ 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     \mu 
  18.    
  19.   
  20. μ为**日治愈率**，病人治愈后仍可被感染。 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       1 
  27.      
  28.     
  29.       μ 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     \frac{1}{\mu} 
  35.    
  36.   
  37. μ1​为平均感染期。如 
  38.  
  39.   
  40.    
  41.    
  42.      μ 
  43.     
  44.    
  45.      = 
  46.     
  47.    
  48.      0.2 
  49.     
  50.    
  51.   
  52.     \mu = 0.2 
  53.    
  54.   
  55. μ=0.2时，该疾病的日治愈率为 
  56.  
  57.   
  58.    
  59.    
  60.      20 
  61.     
  62.    
  63.      % 
  64.     
  65.    
  66.   
  67.     20 \% 
  68.    
  69.   
  70. 20%，平均感染期为5天。

在这里插入图片描述
得其增速曲线和函数曲线分别为
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

  1.      σ 
  2.     
  3.    
  4.      > 
  5.     
  6.    
  7.      1 
  8.     
  9.    
  10.   
  11.     \sigma>1 
  12.    
  13.   
  14. σ>1代表每天传染的人数大于治愈的人数， 
  15.  
  16.   
  17.    
  18.    
  19.      σ 
  20.     
  21.    
  22.      ≤ 
  23.     
  24.    
  25.      1 
  26.     
  27.    
  28.   
  29.     \sigma \leq 1 
  30.    
  31.   
  32. σ≤1则相反。SIS的模型曲线表明，当每天传染的人数大于治愈人数时（ 
  33.  
  34.   
  35.    
  36.    
  37.      σ 
  38.     
  39.    
  40.      > 
  41.     
  42.    
  43.      1 
  44.     
  45.    
  46.   
  47.     \sigma>1 
  48.    
  49.   
  50. σ>1），不论初始状态下病人的人数是否大于 
  51.  
  52.   
  53.    
  54.    
  55.      1 
  56.     
  57.    
  58.      − 
  59.     
  60.     
  61.     
  62.       1 
  63.      
  64.     
  65.       σ 
  66.      
  67.     
  68.    
  69.   
  70.     1-\frac{1}{\sigma} 
  71.    
  72.   
  73. 1−σ1​，最终感染的人数都趋于定值；当 
  74.  
  75.   
  76.    
  77.    
  78.      σ 
  79.     
  80.    
  81.      ≤ 
  82.     
  83.    
  84.      1 
  85.     
  86.    
  87.   
  88.     \sigma \leq 1 
  89.    
  90.   
  91. σ≤1时，所有人都会被治愈。显而易见， 
  92.  
  93.   
  94.    
  95.    
  96.      σ 
  97.     
  98.    
  99.   
  100.     \sigma 
  101.    
  102.   
  103. σ在其中起关键作用。

SIR model

SIR考虑三种人群状态：S 类人群，易感人群；I 类人群，感染者；R 类人群，康复者，指的是感染者成功治愈，有免疫力的健康者。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
由该图可得，SIR模型中病人最终全被治愈/移除，健康的易感者保持大于 

  1.      5 
  2.     
  3.    
  4.      % 
  5.     
  6.    
  7.   
  8.     5\% 
  9.    
  10.   
  11. 5%的比例。该图由matlab绘制，具体参数如下：

在这里插入图片描述
其中病人初始占比为0.1，易感者为0.9。
在这里要说明的是，大部分论文在使用SIR模型时，传染率和治愈率是呈1.5倍的关系，即传染率比治愈率等于1.5，而治愈率由图中的拓扑结构决定，与肖老师在PPT中所展示的图有所不同。所以大部分论文在使用SIR模型时，得出的结论是图中感染者的数量最终会达到一个稳定状态（如下图所示），即趋于定值。
在这里插入图片描述

SEIRD model

受新冠疫情的启发，相对于SIR模型，该模型多了潜伏期（E），死亡（D）。
在这里插入图片描述
参数 

  1.      γ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \gamma 
  6.    
  7.   
  8. γ反映了估计的病程时间, 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      γ 
  14.     
  15.    
  16.      ∈ 
  17.     
  18.    
  19.      [ 
  20.     
  21.     
  22.     
  23.       1 
  24.      
  25.     
  26.       18 
  27.      
  28.     
  29.    
  30.      , 
  31.     
  32.     
  33.     
  34.       1 
  35.      
  36.     
  37.       5 
  38.      
  39.     
  40.    
  41.      ] 
  42.     
  43.    
  44.   
  45.     \gamma \in [\frac{1}{18},\frac{1}{5}] 
  46.    
  47.   
  48. γ∈[181​,51​]。

参数 

  1.      σ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \sigma 
  6.    
  7.   
  8. σ反映了该疾病的估计潜伏期,  
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      σ 
  14.     
  15.    
  16.      ∈ 
  17.     
  18.    
  19.      [ 
  20.     
  21.     
  22.     
  23.       1 
  24.      
  25.     
  26.       5 
  27.      
  28.     
  29.    
  30.      , 
  31.     
  32.     
  33.     
  34.       1 
  35.      
  36.     
  37.       3 
  38.      
  39.     
  40.    
  41.      ] 
  42.     
  43.    
  44.   
  45.     \sigma\in[\frac{1}{5},\frac{1}{3}] 
  46.    
  47.   
  48. σ∈[51​,31​].

参数 

  1.      β 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \beta 
  6.    
  7.   
  8. β反映了感染者与他人互动的速率。它通常被写成 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      β 
  14.     
  15.    
  16.      = 
  17.     
  18.     
  19.     
  20.       R 
  21.      
  22.     
  23.       0 
  24.      
  25.     
  26.    
  27.      γ 
  28.     
  29.    
  30.   
  31.     \beta =R_0 \gamma 
  32.    
  33.   
  34. β=R0​γ，其中 
  35.  
  36.   
  37.    
  38.     
  39.     
  40.       R 
  41.      
  42.     
  43.       0 
  44.      
  45.     
  46.    
  47.   
  48.     R_0 
  49.    
  50.   
  51. R0​称为基本复制数，表示疾病的传染速度。Liu等人（2020）回顾了关于covid-19r0估计的文献，得出结论，文献中的平均和中位数估计约为3，但 在最新的文献中，有人认为5.7更合理。

参数 

  1.      α 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \alpha 
  6.    
  7.   
  8. α为infection fatality rate（IFR）死亡率，一般情况下 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      α 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     \alpha 
  18.    
  19.   
  20. α是变化的，在本文中作者认为 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.    
  25.      α 
  26.     
  27.    
  28.   
  29.     \alpha 
  30.    
  31.   
  32. α为定值。

参数 

  1.      λ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \lambda 
  6.    
  7.   
  8. λ为真实报道中感染新冠病毒的人数占比，为定值。

模型初始化阶段为 

  1.      D 
  2.     
  3.    
  4.      ( 
  5.     
  6.    
  7.      0 
  8.     
  9.    
  10.      ) 
  11.     
  12.    
  13.      = 
  14.     
  15.    
  16.      0 
  17.     
  18.    
  19.      , 
  20.     
  21.    
  22.      R 
  23.     
  24.    
  25.      ( 
  26.     
  27.    
  28.      0 
  29.     
  30.    
  31.      ) 
  32.     
  33.    
  34.      = 
  35.     
  36.    
  37.      0 
  38.     
  39.    
  40.      , 
  41.     
  42.    
  43.      C 
  44.     
  45.    
  46.      ( 
  47.     
  48.    
  49.      0 
  50.     
  51.    
  52.      ) 
  53.     
  54.    
  55.      = 
  56.     
  57.    
  58.      0 
  59.     
  60.    
  61.      , 
  62.     
  63.    
  64.      S 
  65.     
  66.    
  67.      ( 
  68.     
  69.    
  70.      0 
  71.     
  72.    
  73.      ) 
  74.     
  75.    
  76.      = 
  77.     
  78.    
  79.      N 
  80.     
  81.    
  82.      − 
  83.     
  84.    
  85.      E 
  86.     
  87.    
  88.      ( 
  89.     
  90.    
  91.      0 
  92.     
  93.    
  94.      ) 
  95.     
  96.    
  97.      − 
  98.     
  99.    
  100.      I 
  101.     
  102.    
  103.      ( 
  104.     
  105.    
  106.      0 
  107.     
  108.    
  109.      ) 
  110.     
  111.    
  112.      − 
  113.     
  114.    
  115.      R 
  116.     
  117.    
  118.      ( 
  119.     
  120.    
  121.      0 
  122.     
  123.    
  124.      ) 
  125.     
  126.    
  127.      − 
  128.     
  129.    
  130.      D 
  131.     
  132.    
  133.      ( 
  134.     
  135.    
  136.      0 
  137.     
  138.    
  139.      ) 
  140.     
  141.    
  142.      = 
  143.     
  144.    
  145.      N 
  146.     
  147.    
  148.      − 
  149.     
  150.    
  151.      E 
  152.     
  153.    
  154.      ( 
  155.     
  156.    
  157.      0 
  158.     
  159.    
  160.      ) 
  161.     
  162.    
  163.      − 
  164.     
  165.    
  166.      I 
  167.     
  168.    
  169.      ( 
  170.     
  171.    
  172.      0 
  173.     
  174.    
  175.      ) 
  176.     
  177.    
  178.   
  179.     D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N-E(0)-I(0)-R(0)-D(0)=N-E(0)-I(0) 
  180.    
  181.   
  182. D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N−E(0)−I(0)−R(0)−D(0)=N−E(0)−I(0)。
标签： 算法 机器学习 人工智能
本文转载自: https://blog.csdn.net/qq_37730871/article/details/126532308
版权归原作者 7:45am 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
登录后发布评论

“SI，SIS，SIR，SEIRD模型”的评论:

还没有评论
关于作者
...
overfit同步小助手
文章同步
相关阅读

网络安全法-网络运行安全

使用selenium/drissionpage时如何阻止chrome自动跳转http到https

docker desktop 里部署的Open WebUI 管理员密码忘记了的处理方法

在ubuntu20.04中搭建onsite比赛运行环境

利用开源的低代码表单设计器FcDesigner高效管理和渲染复杂表单结构

Kafka学习笔记

【前端】浏览器输入url到页面呈现发生了什么？