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前言
今天给大家带来的主要内容包括：高斯分布，高斯混合模型，EM算法。废话不多说，下面就是本文的全部内容了！
一、高斯分布
小明是一所大学的老师，一次考试结束后，小明在统计两个班级同学的成绩：
图1：两个班级同学的成绩
其中，橙色的是一班的成绩，蓝色的是二班的成绩。但是，这次同学们非常调皮，都没有写上自己的名字和班级，这下给小明整不会了。他想：我能不能去猜一猜这些成绩里面，哪些是一班的，而哪些是二班的呢？
图2：两个班级同学没有在试卷上写自己的名字和班级
根据以往的经验，大多同学的成绩都分布在平均值左右，只有少数的同学考的非常好或者是非常不好，我们把这种概率分布叫做高斯分布：
图3：高斯分布
描述高斯分布需要使用到两个参数：
μ \mu μ：描述数据的平均值，也被称为均值σ 2 \sigma^{2} σ2：描述数据的离散程度，也被称为方差
图4：高斯分布的两个参数
高斯分布的概率密度公式为：
P
(
x
;
μ
,
σ
2
)
=
1
2
π
σ
exp
(
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
P(x;\mu,\sigma^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})
P(x;μ,σ2)=2πσ1exp(−2σ2(x−μ)2)
二、高斯混合模型
现在我们已经清楚了什么是高斯分布，那让我们再回到小明的例子：
图5：两个班级同学没有在试卷上写自己的名字和班级
因为这是两个班级的成绩，所以小明尝试使用两个高斯分布来拟合：
P
(
x
∣
γ
1
)
=
1
2
π
σ
1
exp
(
−
(
x
−
μ
1
)
2
2
σ
1
2
)
P
(
x
∣
γ
2
)
=
1
2
π
σ
2
exp
(
−
(
x
−
μ
2
)
2
2
σ
2
2
)
\begin{array}{c}P(x|\gamma_{1})=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp(-\dfrac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2})\\ P(x|\gamma_{2})=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp(-\dfrac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2})\end{array}
P(x∣γ1)=2πσ11exp(−2σ12(x−μ1)2)P(x∣γ2)=2πσ21exp(−2σ22(x−μ2)2)
这样的模型也被称为高斯混合模型。 在这个模型里面：
如果我们知道哪些点来自一班或者是来自二班，那么我们就可以计算出来各自班级成绩的平均值和方差
如果我们知道各自班级成绩的平均值和方差，我们也可以大概猜出来哪些点是来自一班的，哪些点是来自二班的
这其实是一个鸡生蛋，蛋生鸡的问题：
图6：数据与分布的关系
如果我们有数据就可以来拟合分布，如果我们有了概率分布，就可以来判断数据的类别。但是，问题是我们现在什么都没有，应该怎么办呢？
三、EM算法
根据以上分析，我们现在什么数据都没有，还想对成绩进行分类，显然是有难度的。我们应该怎么办呢？既然我们没有数据，不如先做一个合适的假设来确定一部分的值。现在我们假设两个分布是这样的：
图7：假设的两个班级的成绩分布
而且两个类别的先验概率是相等的。需要注意的是，以上这些都是假设，但是由于这些假设的存在，所以下式的值就是已知的量：
P
(
γ
1
)
=
P
(
γ
2
)
=
0.5
P(\gamma_{1})=P(\gamma_{2})=0.5
P(γ1)=P(γ2)=0.5
3.1 E步骤（Expectation）
现在我们来评估一下每个成绩点是属于哪个班级的，对于第
i
i
i个数据
x
i
x_{i}
xi来说：
图8：许多成绩点中的某一个成绩点
根据贝叶斯定理，
x
i
x_{i}
xi属于一班的概率是这样求的：
γ
i
1
=
P
(
γ
i
∣
x
i
)
=
P
(
x
i
∣
γ
1
)
P
(
γ
1
)
P
(
x
i
∣
γ
1
)
P
(
γ
1
)
+
P
(
x
i
∣
γ
2
)
P
(
γ
2
)
\gamma_{i1}=P(\gamma_i|x_i)=\dfrac{P(x_i|\gamma_1)P(\gamma_1)}{P(x_i|\gamma_1)P(\gamma_1)+P(x_i|\gamma_2)P(\gamma_2)}
γi1=P(γi∣xi)=P(xi∣γ1)P(γ1)+P(xi∣γ2)P(γ2)P(xi∣γ1)P(γ1)
上面的式子看似复杂，但是其中的每一项现在都是已知的，直接计算就可以了。现在已经得到了
x
i
x_{i}
xi属于一班的概率，那么
x
i
x_{i}
xi属于二班的概率就是1减去
x
i
x_{i}
xi属于一班的概率：
γ
i
2
=
P
(
γ
2
∣
x
i
)
=
1
−
γ
i
1
\gamma_{i2}=P(\gamma_{2}|x_{i})=1-\gamma_{i1}
γi2=P(γ2∣xi)=1−γi1
这样我们就可以给每一个点涂上对应的颜色，来表示它们可能属于的班级：
图9：对于任意一个成绩点的可能属于的班级
这一步被称为E步骤（Expectation），可以理解为求每一个点属于每个类别的期望值。
3.2 M步骤（Maximization）
此时，我们已经得到了每一个点属于每个班级的可能性，我们就可以重新校准两个班级的高斯分布了，也就是重新计算两个班级的平均值和方差：
一班： μ 1 = γ 11 x 1 + γ 21 x 1 + … + γ N 1 x N γ 11 + γ 21 + … + γ N 1 σ 1 2 = γ 11 ( x 1 − μ 1 ) 2 + … + γ N 1 ( x N − μ 1 ) 2 γ 11 + … + γ N 1 \begin{array}{l}\mu_1=\frac{\gamma_{11}x_1+\gamma_{21}x_1+\ldots+\gamma_{N1}x_N}{\gamma_{11}+\gamma_{21}+\ldots+\gamma_{N1}}\ \sigma_1^2=\frac{\gamma_{11}(x_1-\mu_1)^2+\ldots+\gamma_{N1}(x_N-\mu_1)^2}{\gamma_{11}+\ldots+\gamma_{N1}}\end{array} μ1=γ11+γ21+…+γN1γ11x1+γ21x1+…+γN1xNσ12=γ11+…+γN1γ11(x1−μ1)2+…+γN1(xN−μ1)2
二班： μ 2 = γ 12 x 1 + γ 22 x 1 + … + γ N 2 x N γ 12 + γ 22 + … + γ N 2 σ 2 2 = γ 12 ( x 1 − μ 2 ) 2 + … + γ N 2 ( x N − μ 2 ) 2 γ 12 + … + γ N 2 \begin{array}{l}\mu_2=\frac{\gamma_{12}x_1+\gamma_{22}x_1+\ldots+\gamma_{N2}x_N}{\gamma_{12}+\gamma_{22}+\ldots+\gamma_{N2}}\ \sigma_2^2=\frac{\gamma_{12}(x_1-\mu_2)^2+\ldots+\gamma_{N2}(x_N-\mu_2)^2}{\gamma_{12}+\ldots+\gamma_{N2}}\end{array} μ2=γ12+γ22+…+γN2γ12x1+γ22x1+…+γN2xNσ22=γ12+…+γN2γ12(x1−μ2)2+…+γN2(xN−μ2)2
同时，也可以更新两个班级的先验概率：
一班： P ( γ 1 ) = γ 11 + … + γ N 1 N P(\gamma_1)=\frac{\gamma_{11}+\ldots+\gamma_{N1}}{N} P(γ1)=Nγ11+…+γN1
二班： P ( γ 2 ) = γ 12 + … + γ N 2 N P(\gamma_2)=\frac{\gamma_{12}+\ldots+\gamma_{N2}}{N} P(γ2)=Nγ12+…+γN2
这一步被称为M步骤（Maximization），可以理解为，通过当前的数据求出最可能的分布参数。
3.3 EM算法
以上两个步骤合起来就是EM算法。当然，算法还没有结束，我们现在只是通过E和M两个步骤求出了两个班级的成绩分布的新的平均值和方差：
图10：两个班级新的成绩分布图像
后面的工作就是重复E和M两个步骤：
E步骤：根据两个班级的成绩分布更新点属于两个班级的可能性
M步骤：更新两个班级的成绩分布的平均值和方差
一直重复以上两个步骤，直到两个成绩分布收敛不再被更新：
图11：收敛后的两个班级的成绩分布图像
这样我们就得到了一个还不错的分类效果：
图12：通过EM算法得到的分类结果
虽然和真实数据相比仍然有误差，不过也可以猜的八九不离十了：
图13：真实的分类情况
这样，通过EM算法，小明的问题就可以被解决了。
总结
以上就是本文的全部内容了，学习EM算法还需要一些概率论与数理统计和高等数学的相关知识，所以读者最好提前温习一下。学习机器学习避免不了学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计和矩阵论，所以读者一定要好好学习这几门课程！
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