【时间序列数据挖掘】ARIMA模型

0、前言

传统时间序列分析模型：

ARIMA模型是一个非常灵活的模型，对于时间序列的好多特征都能够进行描述，比如说平稳性特征，季节性特征，趋势性特征。

ARIMA模型可以通过非常成熟的统计方法，比如说极大似然估计，矩估计，贝叶斯估计或者其他一些估计方法得到估计，所以是一个非常好用的工具。

ARIMA模型分成了三部分：AR，I，MA，相当于三个模块的组合。

大家比如说，如果拿到一个时间序列，最想干什么。

如果是一个股票数据，最关心的当然是需要能够知道时刻t~t+h的收益是什么样子的，即期望，。

还有方差，作为一个投资者，比如预期我能赚1000万。如果方差是500，那我应该要好好考虑一下我有没有足够的把握能够控制住这个方差，赚到这个1000万。方差不确定性，就能够帮我们甄别做一件事情的风险有多大，计算公式如下：

平稳时间序列：一个随机现象的统计特征不随时间变化而改变的随机过程。

非平稳时间序列：时间序列自身的随机过程的统计特征随时间改变。

一、移动平均模型MA

MA(q)：假设一个时间序列由噪音（误差项）以及这些噪音的滞后阶按照不同权重组合起来。计算公式如下：

MA(q)是说，yt是和误差项以及误差项的历史阶受影响的。移动平均模型关注的是自回归模型中的误差项的累加。

二、自回归模型AR

一般的P阶自回归模型 AR：

如果随机扰动项是一个白噪声（ ut=εt ），则称为一个纯AR（p）过程，记为：

自回归模型AR(p)：假设今天的股票收益仅依赖于前天的股票收益，或者是依赖于前p天的股票收益，除此之外不依赖。那么前p天影响到了今天的股票收益。计算公式如下：

自回归模型首先需要确定一个阶数p，表示用几期的历史值来预测当前值。

但是，自回归模型有很多的限制：

（1）自回归模型是用自身的数据进行预测；自回归模型描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测。

（2）时间序列数据必须具有平稳性；

（3）自回归只适用于预测与自身前期相关的现象（时间序列的自相关性）；

三、自回归移动平均模型ARMA

可以这样理解，如果你经营一个餐馆，今天餐馆的收益和昨天的收益有关系，同时还受市场上发售的消费券的影响（假设消费券是一个随机数的话）。因为我不知道市场发了多少消费券，所以假定消费券是一个随机数。

那么你会发现，那么餐馆的经营既和过去一段时间的业绩有关系，又和消费券的随机数有关系。

那么这两个东西全部综合起来，我们把它叫做自回归移动平均模型ARMA，既有自回归模型AR，又有移动平均模型MA。计算公式如下：

ARMA本质上是一个线性模型，但是它非常灵活，它能够帮助我们描述很多不同的场景。由于它是一个递归的形式，可以通过递归的形式来预测yt-1，yt-2，yt-3，所以ARMA模型是一个非常非常有效的基准的时间序列检测工具。

四、自回归移动平均模型ARIMA

现在，我们想想这个“I”是什么东西，“I”是一个差分项。

也就是说任何一个时间序列，你拿到之后，你需要想一想它是不是平稳的。如果不是平稳的，那么我们需要进行差分，即d=1，yt-yt-1就是差分之后的形式。

这里的p是自回归模型AR的参数，q是移动平均模型MA的参数，d是指d阶差分。

因为差分后的时间序列往往有更好的平稳性，那么差分后的时间序列就可以更好的用ARMA模型来建模。

**ARIMA(p,d,q)**：假设今天的股票收益不仅依赖于前p天的股票收益，同时还与消费券有关。

除了差分，比如说还有Box-Jenkins方法，是一个比较主观的工具。但是它对于较长的时间序列不是很好用，然后呢还有一些检验上的问题都很难被处理。

差分：将不平稳的时间序列变平稳。

Box-Jenkins方法：通过查看acf和pcf来识别这个时间序列是不是平稳的。

样本****自相关函数（autocorrelation function，ACF）：展现t时刻和t-k时刻时间序列的关联性，描述的是时间序列观测值与其过去的观测值之间的线性相关性。

样本****偏自相关函数（partial autocorrelation function，PACF）：在给定了的条件下， 𝑦t与滞后 𝑘 期时间序列之间的条件相关。

PACF描述的是在给定中间观测值的条件下，时间序列观测值预期过去的观测值之间的线性相关性。