delta method 介绍

一、什么是delta方法

众所周知，当一个变量 X X X服从正态分布时，其线性变换也服从正态分布。那么非线性变换呢？

delta方法提出，其经过可导函数变换后得到的 g ( X ) g(X) g(X)仍然概率趋向正态分布，并且提供了期望、方差的计算公式。

单变量 X X X 变换为 g ( X ) g(X) g(X)，对 g ( X ) g(X) g(X)泰勒展开：
g ( X ) ≈ g ( θ ) + g ′ ( θ ) ( X − θ ) g(X) \approx g(\theta) + g'(\theta)(X - \theta) g(X)≈g(θ)+g′(θ)(X−θ)
g ( X ) − g ( θ ) ≈ g ′ ( θ ) ( X − θ ) → ν N ( 0 , σ 2 ∗ [ g ’ ( θ ) ] 2 ) g(X) - g(\theta) \approx g'(\theta)(X - \theta) \overset{\nu }{\rightarrow} N(0, \sigma^2 * [g’(\theta)]^2) g(X)−g(θ)≈g