一、初识线性模型
在上一篇的Task1中，我们最后谈到了梯度下降在一维和二维情况下的过程，现在让我们进一步地讨论机器学习这个话题。Task1里，我们举了用今天的数值预测明天的观看量的例子，下面是根据真实数据所做的图，预测时所用到的模型函数是贴合现实的。
从图中，我们可以清晰地看到红线与蓝线是几乎重合的，仿佛只需把红线往右移动一点就重合了。这是正常现象，因为w=0.97，b=100，这对参数对于x的改动较小，前后两天的数值只是上下浮动下罢了。
同时，我们发现图中的曲线是大概每7天一个周期，7天内数据的趋势是先升再降。所以我们就想到，趋势是相似的，那为什么不用前7天的数据来预测明天的数据呢。于是我们对数据进行了改动，详见如下。
偏置没有改动，我们把7天的不同x值分别乘上一个不同的权重w，再求和，就得到了新公式。使用该模型进行训练后，训练集上的损失从480变为380，而在测试集上的损失从580变为490，可见使用7天的数据预测更加准确。同理，我们可以将7天一循环改变成28天，56天，即一个月，两个月。这样操作的话，数据会越来越好，但天数再增大也无太大用途，可以理解为达到瓶颈了。想要继续减小损失，需要进一步思考，更改模型。
以上的模型公式，其实就是把输入的特征 x 乘上一个权重w，再加上一个偏置b就得到预测的结果y，这样的模型称为线性模型（linear model），下面让我们接着看如何将线性模型变复杂，进一步减小损失。
二、分段线性曲线
模型函数的改变
首先我们要明确一点，仅仅依靠上述的线性模型，复杂度是不够的，结果也不够准确，所以我们要试图做出改变。
从上图中，我们可以看到蓝线就是最基本的线性模型，可以理解为一次函数，数值只能递增或递减。而红线，可以看作是分段函数，数值有升也有降，显然更符合实际情况。
于是，我们给红线取个名字，叫做分段线性曲线(piecewise linear curve)。其可以看作是一个常数再加上一组蓝线，其中蓝线（Hard Sigmoid）是单调的。合成的案例可以参照下图。
进一步地，我们思考，既然有分段线性曲线，那是否有连贯的曲线呢，这自然是有的。我们可以利用数学上的思想，在绿色曲线上去多个小点，把每两个相邻的小点相连，即用多个连续的分段线性曲线去逼近绿色曲线，详见下图。
所以理论上，我们可以用蓝色的单调函数去组成红色的分段线性曲线，再用红色分段线性曲线去逼近绿色的曲线。也就是说，只要有足够多的蓝色单调函数，我们就能得到任一连续曲线。
但有个问题，就是蓝色函数想要表达出来，只用一个式子，不用分段函数表示十分困难，所以我们用S型的(Sigmoid)曲线来逼近原函数，两者在外观上几乎相似，因为Sigmoid函数容易写出，所以可以用Sigmoid的表达式来表达Hard Sigmoid函数，如图。
Sigmoid函数的表达式如图所示 。
式子中的w,b,c都是可以改动的参数。所以只要改动参数，就可以制造出不同的 Sigmoid 函数，把不同的Sigmoid 函数逼近Hard Sigmoid函数，再叠起来以后就可以去逼近各种不同的分段线性函数；分段线性函数可以拿来近似各种不同的连续的函数。
也就是说，现在的蓝线表达式都可以用公式来表示，总模型函数表达式为每个蓝线函数相加，再加上一个常数，详见以下两图。
此外，正如在第一小节里说的，特征值x可以代入7天，28天或更多天数的数据，我们可以将不同的x值代入不同的w,b,c，从而得到更有**灵活性(flexibility)**的函数，总模型函数的变形如下图所示，其实就是把不同的x乘上不同的权重w再加起来，其它并无什么改变。
下面让我们举个例子，将三天的数据x1,x2,x3作为特征值代入上述的表达式，并一步步观察其过程。
1、第一步
将x1,x2,x3分别乘以权重w11,w12,w13，求和再加上偏置b1得到r1，r1=b1+w11x1+w12x2+w13x3
同理可得r2=b2+w21x1+w22x2+w23x3,r3=b3+w31x1+w32x2+w33x3，其中每一个权重w都是不同的，偏置b也是不同的，现在模型函数就变成了这样：。
2、第二步
接下来，我们进行第二步。将在第一步中得到的r1，r2，r3经过sigmoid处理得到a1，a2，a3，我们可以将sigmoid看作是一种加工处理手段，即将不同的r代入公式中得到相应的a，公式中的c就用c1，c2，c3代入就可，最后再加上一个偏置b就得到了最后的结果。
3、优化模型
同时我们为了将模型更加复杂化，也可以将上述的第一，第二步操作反复进行，如下图所示。
即在得到a之后不直接相加，而是重复第一和第二步的操作，再次输出。其实就是把公式中的后一半操作了两次，就能够优化模型，其原理是Sigmoid 越多可以产生有越多段线的分段线性函数，可以逼近越复杂的函数。
将模型函数变复杂之后，我们来计算损失值。
这里还要补充一点，就是我们要知道当参数较少时，使用穷举法将特征值一个个代入，找到最好的参数是可以的。但当参数较多时，使用穷举法是很低效的，用梯度下降的算法可以减少计算量，高效地找到最好的一组参数。所以，接下来就让我们用梯度下降的方法来计算损失值。
损失值的计算
由于经过了上述的一系列操作之后，模型函数已经变得较为复杂了，在一个公式中含有多个不同的参数，所以此时我们把所有的参数统一称作为θ。其实整个计算过程与Task1中的过程没有很大的差别。
首先我们随机选取一组θ，现在每一个参数都有了初始值。再将x作为特征值代入函数中，得到预测值y，计算y与真实值间的误差，把误差都加起来，就得到了损失函数。
其次，我们给定θ一组初始值θ0，即每个参数都有个初始值。将损失函数对每一个参数做偏导数，得到梯度g，随后运用公式θ1=θ0-g（
代表学习率，我们在Task1中提到过），就可算出新的一组参数θ1，这也代表着参数成功更新了一次。
接下来就以此类推，重复θ0到θ1的过程，让θ一直更新，到θ2，θ3，θ4......，直到梯度为0或者我们人为的想要停止这个过程，其实大多情况下，我们都是人为地停止，因为梯度不太可能计算得到0。过程可参考下图。
批量计算
在梯度下降的计算过程中，我们还有一个常用手段，就是将N笔数据进行随机分组，形成一个个的**批量(batch)**，每个批量里面有B（批量的大小）笔数据。举个例子，假设有1000(N)笔数据，现在分为10个批量，那么每个批量里就有100(B)笔数据。
把所有的批量都看过一遍，叫做一个**回合(epoch)，而每一次更新参数叫做一次更新。举例来说，现有10000个数据，即10000个样本(example)**，现在我们人为地决定批量的大小为1000，注意批量大小是超参数，是人为给定的。那么我们就得到了10个批量，每个批量中我们会更新一次参数，所以一共更新10次参数，这10000个样本机器都看过，计算过一遍，就叫一个回合。
用批量进行梯度下降的具体过程是首先，给θ一组初值θ0，然后在第一个批量中，我们利用其中的数据算出一个损失函数L1，并将L1对θ0做偏导数，运用公式θ1=θ0-g进行一次数据的更新，得到新的参数θ1。随后，我们用第二个批量中的数据进行计算，得到了损失函数L2，将L2对在上个批量中所求得的θ1进行求偏导数，运用公式θ2=θ1-
g得到了新的参数θ2，以此类推，不断算出θ3，θ4，θ5......这样我们就完成了分批量的梯度下降。过程可参考下图。
此外，使用批量计算有许多好处，它的稳定性高，计算效率较好，能够充分利用内存空间。
三、Relu函数
在模型变形，即模型优化的过程中，我们不仅可用在分段线性章节提过的S型曲线来逼近Hard Sigmoid，也可以用两个修正线性单元(Rectified Linear Unit,Relu)的加总来表示Hard Sigmoid。Relu的图像有一个水平的线，走到某个地方有一个转折的点，变成一个斜坡，其对应的公式为
公式的意思是，如果b+wx>0，则输出b+wx；如果b+wx<0,则输出0。在公式中如果使用Relu函数的话，只需要在原本的分段线性曲线函数公式中做出一些改变，见下图。
同时，我们需要通过2个Relu才能够合成一个Hard Sigmoid，如下图所示。
在机器学习里，Sigmoid和Relu函数都被称作激活函数(activation function),他们都是用来合成分段线性曲线的。
据实际实验所显示，Relu函数作为模型所得到的结果比单调线性模型所得到的结果更好。这是因为1、在神经网络中，线性模型的表达能力有限，很多问题无法被线性模型解决，因此引入非线性因素至关重要。
2、ReLU通过其简单的形式f(x) = max(0, x)，为网络提供了必要的非线性变换能力。而ReLU函数在输入大于0时梯度始终为1，这有助于保持梯度在网络中的流动，缓解了梯度消失问题，使得网络更容易训练。
3、ReLU函数的形式非常简单，计算时只需要判断输入是否大于0，然后进行相应的操作即可。加快了机器学习的训练过程。
四、初识神经网络
其实在第二章分段线性模型中，我们就已经涉及到神经网络的内容，当时我们是按照构造模型的思路去推进的。
如图所示，Sigmoid或Relu称为神经元(neuron)，很多的神经元称为神经网络(neural network)。 人脑中就是有很多神经元，很多神经元串起来就是一个神经网络，跟人脑是一样的。人工智能就是在模拟人脑。神经网络不是新的技术，80、90 年代就已经用过了，后来为了要重振神经网络的雄风，所以需要新的名字。每一排称为一层，称为隐藏层(hidden layer)，很多的隐藏层就“深”，这套技术称为深度学习。
五、机器学习框架总结
首先，我们要有训练集和测试集两个部分的数据。其中测试集的数据含有真实值。
第二步，构造出一个带有参数θ的模型函数。
第三步，定义损失函数，构造损失函数。
第四步，找到一组能使预测结果最好的θ。
最后一步，将这一组θ代入模型函数中，并将测试集中的数据作为特征值输入，得到预测结果后保存，并上传到Kaggle上。
好了今天就说到这吧，我们下次再见。
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