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【C++数据结构】B树概念及其实现（详解）

B树学习正式开始~~

前言

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适合外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树。

外查找即在不在内存当中查找，通常是在磁盘，磁盘数据通常挨着挨着存，所以只能通过建立索引的方式去找到对应的数据地址。由于AVL，红黑树的高度过高，采用这类数据结构会导致IO次数过多，所以我们通常选择层数更低的B树或者B+树。

原理即是让每一层更多。并且B树天然平衡，呈现向右向上增长的趋势。

B树的规则

  1. 根节点至少有两个孩子
  2. 每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m ceil是向上取整函数
  3. 每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m
  4. 所有的叶子节点都在同一层
  5. 每个节点中的关键字从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分
  6. 每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。 n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。

m为3为例子，我们每一个节点可以保存2个key值与3个子节点的指针，但是每个数组多开一个好处的就是便于分散。
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
如下图当我们要插入key值为5或者是-1，我们如果不开这个长度的数组，就需要插入前做判断，但是开了数组我们可以先插入，再去分裂。
在这里插入图片描述
根节点最少有两孩子，可以都为NULL。
在这里插入图片描述

当我们多开辟一个key值与一个child指针，每次分裂恰好能满足两边的满足k-1个关键字与k个孩子。既保持孩子比关键字多一个。如m为10，则最少关键字为4，最少5个孩子，最多9个关键字，10个孩子。

注意：

同时，为了便于分裂时插入父节点，我们使用一个指针记录父节点。

节点结构设计

每一个节点会记录一组有效元素keys，包含着最多M-1个key值，通常这个M可以设计的比较大，如1024。还有至多M个孩子节点。一个父亲指针，以及有效元素的标识_size 

因为这里的每一个节点的有效元素不同哦。

。

实现当中，查找也可以采用二分查找的方式定位key值。

//K表示key值，M表示多少叉的一棵树template<classK,size_t M>structBTreeNode{BTreeNode(){//初始化for(int i =0; i < M;++i){
            _keys[i]=K();
            _subs[i]=nullptr;}
        _parent =nullptr;//孩子比关键字多一个
        _subs[M]=nullptr;}//每一个节点掌管M个元素的数组
    K _keys[M];//有M+1个孩子，这里我们多开一个是为了方便进行分裂
    BTreeNode<K, M>* _subs[M+1];
    BTreeNode<K, M>* _parent;

    size_t _n =0;// 记录实际存储多个关键字 };template<classK,size_t M>classBTree{typedef BTreeNode<K, M> Node;private:
        Node* _root =nullptr;};

**以插入 

53,139,75,49,145,36,50,47,101

为例子**

第一次插入

插入53的时候
在这里插入图片描述

if(!_root){//一开始创建节点
    _root =newNode();

    _root->_keys[0]= key;
    _root->_n++;returntrue;}

查找函数

由于插入的时候我们需要先判断是否B树已经存在该键值，我们实现的是不允许键值冗余的版本，FindKey函数提供两个功能，查找到了返回该节点和对应的下标，查找不到返回插入的位置以及-1位置。

//FindKey，找不到下标返回-1，返回可以插入的数组//找到了返回对应的数组和下标
pair<Node*,int>FindKey(const K& key){
    Node* cur = _root;
    Node* parent =nullptr;//现在第一行寻找while(cur){int i =0;for(; i < cur->_n;++i){if(key < cur->_keys[i]){//此时去他的左孩子当中寻找
                parent = cur;
                cur = cur->_subs[i];break;}elseif(key > cur->_keys[i]){continue;}else{//表示该元素出现在了cur这个节点，cur->_keys[i]当中。return std::make_pair(cur,i);}}//当key是当前数组的最大值if(cur && i == cur->_n){//表示去最后一个节点的右孩子
            parent = cur;
            cur = cur->_subs[cur->_n];}}//走到这个位置，说明走到结尾都没有找到return std::make_pair(parent,-1);}

分裂插入举例

依次插入到79为分裂

我们首先通过FindKey函数进行查找，通过pair的second得知没有在B树中存在，然后在pair的first当中插入key值。
在这里插入图片描述
此时需要进行分裂，第一步就是将

int mid = M/2保证了双边都是M-1，将[mid,cur->_n]这键值key给到brother，以及将对应key值的左右孩子指针拷贝（这里为NULL先不关心），然后将_keys[mid]也就是中间节点给到father（若不存在，则需要new一个，然后设置father的左右孩子节点，以及左右孩子节点的父亲节点都需要设置）。

在这里插入图片描述

  • 逻辑为先挪动键值key与孩子节点，让我们的key有位置可以插入，此时注意还需要将最后一个右孩子也给挪走
  • cur->_n ！= M标识插入结束
  • 若cur->_n == M则需要做以下步骤：创建兄弟节点brother，分一半的键值和孩子指针给兄弟。然后需要考虑是否已经有父亲节点（若存在，则问题转化为往父亲插入一个key值）。若不存在则只需要新创建插入key，然后将cur和brother与父亲链接起来即可。

注意：

cur->_subs[i]->_parent = brother;

表示需要将分裂给brother的孩子节点重新父亲链接到brother（若存在），否则插入最后一个101的时候会观察到右子树当中的叶子节点链接不正确的情况。

voidInsertKeyToNode(const K& key, Node* cur,Node* brother){//将节点往后挪，知道该位置的值小于keyint end = cur->_n -1;while(end >=0&& cur->_keys[end]> key){//父亲指针和数值都需要移动
        cur->_keys[end +1]= cur->_keys[end];
        cur->_subs[end +2]= cur->_subs[end +1];
        end--;}//插入节点
    cur->_keys[end +1]= key;if(brother)
    cur->_subs[end +2]= brother;
    cur->_n++;if(cur->_n == M){//说明此时需要分裂
        Node* brother =new Node;//中间节点需要往父亲提上去int mid = M /2;
        K midKey = cur->_keys[mid];int j =0;// 给bro用//tmp用于清空，便于观察
        K tmp =K();
        cur->_keys[mid]= tmp;for(int i = mid +1; i < cur->_n;++i){//这部分数据需要移动给bro
            brother->_keys[j]= cur->_keys[i];//孩子需要给
            brother->_subs[j]= cur->_subs[i];if(cur->_subs[i])
            cur->_subs[i]->_parent = brother;//清空操作
            cur->_keys[i]= tmp;
            cur->_subs[i]=nullptr;

            j++;}
        brother->_parent = cur->_parent;//brother需要给最后一个
        brother->_n = cur->_n - mid -1;
        cur->_n = mid;
        brother->_subs[j]= cur->_subs[cur->_n +2];
        cur->_subs[cur->_n +1]=nullptr;

        
        Node* parent = cur->_parent;//若头节点存在if(parent){//问题转化为像头节点插入midKey,此时需要把brother也设置好InsertKeyToNode(midKey, parent,brother);}//若头节点不存在else{//中间节点提上去//初始化新头节点
            Node* newRoot =new Node;//由于是新增节点，所以需要设置他的cur和brother的父亲节点
            cur->_parent = newRoot;
            brother->_parent = newRoot;
            
            newRoot->_keys[0]= midKey;
            newRoot->_subs[0]= cur;
            newRoot->_subs[1]= brother;
            newRoot->_n++;

            _root = newRoot;}}}

注意：插入101是一个很好的检验，通过观察就可以发现满足以下三部，先叶子节点分裂，再到_root节点的分裂产生新的根。建议根据代码调试

1.在这里插入图片描述
2.在这里插入图片描述
3.在这里插入图片描述

附上每一步的插入图片

插入53：
在这里插入图片描述
插入139：
在这里插入图片描述

插入75：
在这里插入图片描述

插入49：
在这里插入图片描述
插入145：
在这里插入图片描述
插入36：
在这里插入图片描述

插入50：
在这里插入图片描述

插入47：
在这里插入图片描述
插入101分为3步骤：

1.在这里插入图片描述
2.在这里插入图片描述
3.在这里插入图片描述

B树效率分析

m为4的情况： 从下面二图分别有最少存放数的四层和最多存放数，可以看到第四层可以存2.5亿数据，1万亿数据。
其中每个节点的关键字按最低的算即可，算最低的时候是511，最多的时候是1023。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

h为高度层，N为总结点数，M为每个节点的孩子数量。

M+M^2+M^3+....M^h = N

h = logmN

中序遍历~~

中序遍历

在这里插入图片描述

voidInorder(){returnInorder(_root);}voidInorder(Node* root){if(root ==nullptr)return;for(int i =0; i < root->_n;++i){Inorder(root->_subs[i]);
        cout << root->_keys[i]<<" ";}Inorder(root->_subs[root->_n]);}

结果：
在这里插入图片描述

B+树 与 B*树

简单了解下~~

B+树

B+树对比B树在分支节点不存实际数据，将数据都放在叶子节点，并且将叶子节点用链表链接起来，方便遍历。每个分支节点不存数据会让每个分支节点能够存储更多的key值，保证了树能够进一步的压缩。

B+树添加/更新的规则：

  1. 分支节点的子树指针与关键字个数相同
  2. 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间(相当于取消最左边的孩子)
  3. 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
  4. 所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现

在这里插入图片描述

B+树的特性：

  1. 所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。
  2. 不可能在分支节点中命中。
  3. 分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层。

B+树的分裂：
当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

B* 树啦~~

B*树

B*树创建的时候是想让每个节点浪费的空间更小，由于上述的

B+

或者

B*

可能导致大量节点只用了一半的空间，导致空间浪费严重。

B*树的分裂：
当当前节点数据满了，先给部分数据给兄弟，只有兄弟也满了，才会创建新节点，两个节点都给1/3给父亲，这样就保证了每个节点空间都使用了2/3。

在这里插入图片描述

到此为止啦~

在这里插入图片描述
详细代码–》码云

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标签： b树 数据结构 c++
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_52344401/article/details/125898517
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