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冲激阶跃与卷积

冲激阶跃与卷积

冲激响应与阶跃响应(差分方程不赘述)

冲激响应:系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应,称为单位冲激响应,简称冲激响应,一般用h(t)表示。
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阶跃响应:系统在单位阶跃信号u(t)作用下的零状态响应,称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,一般用g(t)表示。
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卷积积分

卷积定义:已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t),则定义积分:在这里插入图片描述
于是,任意信号的零状态响应即为:在这里插入图片描述
卷积的计算步骤可分解为四步:

1)换元:t换为τ→得f1(τ)、f2(τ);

2)反转平移:由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ);

3)乘积:f1(τ)*f2(t-τ);

4)积分:τ从–∞到∞对乘积项积分。
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卷积的性质

交换律:ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ2(t)*ƒ1(t);

分配律:ƒ1(t)*[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)*ƒ2(t)+ƒ1(t)*ƒ3(t);

结合律:[ƒ1(t)*ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)*ƒ3(t)];

微分性质:在这里插入图片描述

积分性质:在这里插入图片描述

微积分性质:在这里插入图片描述
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应用微积分性质的条件是在这里插入图片描述
必须成立,即必须有在这里插入图片描述

f(t)与冲激函数的卷积:ƒ(t)*δ(t)=f(t);

ƒ(t)*δ(t-t0)=ƒ(t-t0);

ƒ(t-t1)*δ(t-t2)=ƒ(t-t1-t2);

δ(t-t1)*δ(t-t2)=δ(t-t1-t2)。

f(t)与冲激偶函数的卷积:ƒ(t)*δ’(t)=f’(t)*δ(t)=ƒ’(t);

ƒ(t)*δ’'(t)=ƒ"(t)。

f(t)与阶跃函数的卷积:在这里插入图片描述

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时移性质:若ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ(t),则有ƒ1(t-t1)*ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)。

利用卷积积分的性质来计算卷积积分,可使卷积积分的计算大大简化。
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本文转载自: https://blog.csdn.net/qq_52526676/article/details/126895980
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