冲激阶跃与卷积

冲激阶跃与卷积

冲激响应与阶跃响应（差分方程不赘述）

冲激响应：系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。



阶跃响应：系统在单位阶跃信号u（t）作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。

卷积积分

卷积定义：已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分：
于是，任意信号的零状态响应即为：
卷积的计算步骤可分解为四步：

1）换元：t换为τ→得f1(τ)、f2(τ)；

2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)；

3）乘积：f1(τ)*f2(t-τ)；

4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。






卷积的性质

交换律：ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ2(t)*ƒ1(t)；

分配律：ƒ1(t)*[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)*ƒ2(t)+ƒ1(t)*ƒ3(t)；

结合律：[ƒ1(t)*ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)*ƒ3(t)]；

微分性质：

积分性质：

微积分性质：

应用微积分性质的条件是
必须成立，即必须有

f(t)与冲激函数的卷积：ƒ(t)*δ(t)=f(t)；

ƒ(t)*δ(t-t0)=ƒ(t-t0)；

ƒ(t-t1)*δ(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)；

δ(t-t1)*δ(t-t2)=δ(t-t1-t2)。

f(t)与冲激偶函数的卷积：ƒ(t)*δ’(t)=f’(t)*δ(t)=ƒ’(t)；

ƒ(t)*δ’'(t)=ƒ"(t)。

f(t)与阶跃函数的卷积：

时移性质：若ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ(t)，则有ƒ1(t-t1)*ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)。

利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化。