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一、线性回归模型分类
1.多元线性回归
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。
2.Lasson回归
lasso回归只起到一个筛选变量得作用，用完之后还得使用原来的线性回归。
3.岭回归
岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。
二、多元线性回归模型
1.预测函数
模型表现为以下预测函数(是各特征的线性加权组合)：
2.预测值向量
给定n个特征、m条训练数据，得到预测值向量：
3.残差平方和RSS
在sklearn中损失函数定义为残差平方和RSS：
4.损失函数
在损失函数中，自变量为待定参数，而是已知量。
参数求解表达为无约束优化问题：
5.最小二乘解
若方阵可逆，则可得到最小二乘解
行列式在经过初等行/列变换后，其值保持不变。可以先变换成上或下三角形状，再求对角线元素之积。若一个矩阵变换为上(下)三角矩阵后，对角线元素全都不为零，则称为满秩矩阵，此时对应行列式值不为零，故可逆。
6.数据多线性
矩阵A和B第1行和第3行分别出现精确(完全)相关、高度相关的情况
（1）矩阵中某些行出现精确相关时，行列式值等于0，最小二乘法无法使用，无法求出线性回归结果。
（2）矩阵中某些行出现高度相关时，上三角变换后出现值非常接近0的对角线元素，使得行列式值接近0，最小二乘法求得的参数将会很大，影响建模结果，导致模型偏差过大，或不可用。
（3）上述精确相关和高度相关并称为多重共线性(multicolinearity)
7.多元线性回归正则化
（1）在线性回归算法基础上进行修改，使其能容忍特征列存在多重共线性的情况，并且能顺利建模，且尽可能保证RSS最小。
（2）岭(ridge)回归、Lasso(最小绝对收缩和选择算子：least absolute shrinkage and selection operator)回归、弹性网(elastic net)回归在线性回归损失函数的基础上分别添加一个L2范数正则项、 L1范数正则项、 混合正则项。
（3）这些算法实际使用时，模型效果往往反倒会下降一些，可能是因为这些算法不是为了提升模型表现，而是为了修复线性回归不能处理多种共线性这一漏洞而设计的，而且它们还挤占了原本参数估计的信息空间。由于线性回归模型偏向于欠拟合，因而很少需要考虑过拟合问题，反倒L1正则化更多地用于进行特征选择。
（4）正则化(Regularization)：带正则项和带约束条件是等价的。
（5）正则化不仅仅适用于线性回归算法。原理上说，L1范数代表了向量中各元素绝对值之和，可以实现稀疏和特征选择；L2范数可看成是向量的模，能避免过拟合。
三、多项式回归分析
** 线性回归模型的特点是自变量(特征)都是一次项，适合用来拟合线性数据(即标签与特征之间呈近似线性关系)，而且具有计算速度快的明显优势。
使线性回归在非线性数据上表现提升的一个重要方法就是使用多项式转换升维(增加特征数)来改进线性回归：**
** 多项式转换通过对自变量(特征)进行幂次运算并进行组合，产生大量组合特征，从而将数据映射到高维空间。**
** 从两个角度评价回归效果：预测数值的准确度（MSE和MAE）；对数据提供的信息和内在规律的拟合程度（R2）。**
1.均方误差
衡量预测值和真实值的差异：均方误差(Mean Squared Error)和平均绝对误差(Mean Absolute Error)
2.决定系数
**决定系数(coefficient of determination)R2**
R2表示模型捕获到的信息量占真实标签中所带信息量的比例，因此越接近1越好。
四、模型评估方法
1.模型选择
模型选择：确定学习算法及其最优参数(调参)，标准是选择泛化误差最小的那个模型。
2.调参
对于给定数据集D，首先划分成两部分，其中一部分为测试集，测试集上的性能用于估计模型在实际使用时的泛化能力；另一部分再次划分成训练集和验证集，验证集上的性能用于模型选择和调参。
3.训练集和测试集
从数据集产生训练集和测试集(验证集)的常见做法是：留出法、交叉验证法、自助法。
4.提交用户模型
在模型选择完成后，学习算法和参数配置已经选定，应该使用给定数据集D的全部样本重新训练，得到的模型才是最终提交给用户的模型。
五、实操
1.准备数据
2.测试代码
#%%1.读入数据并划分训练集和测试集
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
data = pd.read_csv("ex4_bostonHousing.csv")
X = data.iloc[:,0:13]
y = data.iloc[:,13]
Xtrain,Xtest,ytrain,ytest = train_test_split(
X,y,test_size=0.2,random_state=520)
#%%2.在训练集上，对线性回归、岭回归、Lasso回归、弹性网回归四种算法进行交叉验证评估，指标是MSE和R2。
from sklearn.linear_model import LinearRegression as LR
from sklearn.linear_model import Ridge,Lasso,ElasticNet
models={}
models['LR'] = LR()
models['Ridge'] = Ridge()
models['Lasso'] = Lasso()
models['EN'] = ElasticNet()
results = {}
from sklearn.model_selection import cross_val_score
for key in models:
mse_cv = cross_val_score(models[key],
Xtrain,ytrain,cv=5,scoring="neg_mean_squared_error").mean()
r2_cv = cross_val_score(models[key],
Xtrain,ytrain,cv=5,scoring="r2").mean()
results[key] = [-1*mse_cv,r2_cv]
print(pd.DataFrame(results,index=["mse_cv","r2_cv"]))
#%%在训练集上建模并在测试集上比较多元线性回归和多项式回归的R2评分，然后进行预测结果可视化。
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures as PF
from sklearn.metrics import r2_score
reg = LR()
reg.fit(Xtrain,ytrain)
yhat = reg.predict(Xtest)
r2 = r2_score(ytest,yhat)
##多项式回归建模
poly = PF(degree = 2,include_bias=False)
Xtrain_ = poly.fit_transform(Xtrain)
Xtest_ = poly.fit_transform(Xtest)
reg_ = LR().fit(Xtrain_,ytrain)
yhat_ = reg_.predict(Xtest_)
r2_ = r2_score(ytest,yhat_)
print("二次多项式回归模型在测试集上的R2的评分",r2)
#%%4.进行预测可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(len(ytest)),sorted(yhat),linewidth=2,color='green'
,label = "ploy regression")
plt.plot(range(len(ytest)),sorted(yhat_),linewidth=2,color='red'
,label = "ploy regression")
plt.plot(range(len(ytest)),sorted(ytest),linewidth=2,color='blue'
,label = "ploy regression")
plt.legend()
plt.show()
3.测试结果
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