这篇文章的目的是详细的解释Flash Attention，为什么要解释FlashAttention呢？因为FlashAttention 是一种重新排序注意力计算的算法，它无需任何近似即可加速注意力计算并减少内存占用。所以作为目前LLM的模型加速它是一个非常好的解决方案，本文介绍经典的V1版本，最新的V2做了其他优化我们这里暂时不介绍。因为V1版的FlashAttention号称可以提速5-10倍，所以我们来研究一下它到底是怎么实现的。
介绍
论文的标题是：
“FlashAttention: Fast and Memory-Efficient Exact Attention with IO-Awareness”
内存的效率与普通注意力相比（序列长度是二次的，O(N²)），FlashAttention是次二次的/线性的N (O(N))。并且它不是注意力机制的近似值(例如，稀疏或低秩矩阵近似值方法)-它的输出与“传统”注意力机制相同。与普通的注意力相比，FlashAttention的注意力是”有感知“的。
它利用底层硬件的内存层次知识(例如gpu，但其他AI加速器也应该工作，我这里使用gpu作为示例)。一些[近似]方法在序列长度上将计算要求降低到线性或近线性，但其中许多方法专注于减少FLOP，而忽略内存访问(IO)的开销。
经过多年的发展gpu的FLOPS的增长速度一直在以比内存吞吐量(TB/s)更快。内存的瓶颈应该引起重视。FLOPS和内存吞吐量需要紧密结合，由于硬件上的差距，我们就需要软件层面上的工作进行平衡。
根据计算和内存访问之间的比率，操作可以分为以下两种:
- 计算约束 ：矩阵乘法
- 内存约束:元素操作(激活，dropout，masking)，归并操作(softmax， layer norm，sum等)
在当前的AI加速器（GPU）上是受内存大小限制的。因为它“主要由元素操作组成”，或者更准确地说，注意力的算术密度不是很高。
我们看看这个图:
可以看到，masking，softmax和dropout是占用大量时间的操作，而不是矩阵乘法(即使大部分FLOPS是在matmul中)。内存不是一个单一的工件，它在本质上是分层的，一般的规则是:内存越快，越昂贵，容量越小。
我们在上面说的，FlashAttention的注意力是”有感知“的可以归结为利用SRAM比HBM(高带宽内存)快得多来确保减少两者之间的通信。
以A100为例：
A100 GPU有40-80GB的高带宽内存(HBM)，带宽为1.5-2.0 TB/s，而每108个流处理器有192KB的SRAM，带宽估计在19TB/s左右。
可以看到大小小了很多，但是速度却提升了10倍，所以如何高效的利用SRAM是提速的关键，让我们看看标准注意力实现背后的计算:
标准实现如何显示对HW操作方式不大尊重。它基本上将HBM加载/存储操作视为0成本(它不是“io感知”)。
我们首先考虑如何使这个实现更有效(时间和内存方面)。最简单的方法是删除冗余的HBM读/写。
如何把S写回HBM只是为了(重新)加载它来计算softmax，那么我们可以将其保存在SRAM中，执行所有中间步骤，然后将最终结果写回HBM。
内核基本上是“GPU操作”的一种奇特的说法（参考我们以前发布的CUDA入门，往简单了说就是一个函数）。融合则可以将多个操作融合在一起。所以只从HBM加载一次，执行融合的op，然后将结果写回来。这样做可以减少通信开销。
这里还有一个专业名词术语是“materialization”（物化/实体化）。它指的是，在上面的标准注意力实现中，已经分配了完整的NxN矩阵(S, P)。下面我们将看到如何直接将内存复杂度从O(N²)降低到O(N)。
Flash attention基本上可以归结为两个主要观点:
Tiling (在向前和向后传递时使用)-基本上将NxN softmax/scores矩阵分块成块。
Recomputation (仅在向后传递中使用)
算法如下:
上面我们提到了很多名词，你可能还不了解。没关系下面我们开始逐行解释算法。
FlashAttention算法
让Tiling方法的主要障碍是softmax。因为softmax需要将所有的分数列耦合在一起。
看到分母了吗?这就是问题所在。
要计算输入序列中的特定第i个标记对序列中其他标记的关注程度，需要在SRAM中随时可用所有这些分数(这里用z_j表示)。
但是SRAM的容量是有限的。N(序列长度)可以是1000甚至100000个令牌。所以N²爆炸得很快。所以论文使用了一个技巧：把softmax的计算分成更小的块，最终仍然得到完全相同的结果。
我们可以只获取前一个B分数(x_1到x_B)并为它们计算softmax。然后通过迭代，“收敛”到正确的结果。以一种聪明的方式组合这些每块部分softmax的数字，这样最终的结果实际上是正确的。方法如下:
基本上，为了计算属于前2个块(大小为B)的分数的softmax，必须要跟踪每个块的2个统计数据:m(x)(最大分数)和l(x) (exp分数总和)。然后就可以用归一化系数将它们无缝地融合在一起。
这里主要是一些基本的代数运算，通过展开f(x)和l(x)项并与e^x相乘一些项会相互抵消，这里就不写了。这个逻辑递归地一直持续到最后一个(N/B)块，这样就得到了N维正确的softmax输出!
为了详细的介绍这个算法，假设有一个大小为1的批处理(即单个序列)和单个注意力头，稍后会扩展它(通过简单地跨GPU的并行化-稍后会详细介绍)。我们暂时忽略了dropout和masking，因为稍后再添加。
我们开始计算：
初始化:HBM的容量以GB为单位测量(例如RTX 3090有24 GB的VRAM/HBM, A100有40-80 GB等)，因此分配Q, K和V不是问题。
第1步
计算行/列块大小。为什么ceil(M / 4 d) ?因为查询、键和值向量是d维的，所以我们还需要将它们组合成输出的d维向量。所以这个大小基本上允许我们用q k v和0个向量最大化SRAM的容量。
比如说，假设M = 1000, d = 5。那么块大小为(1000/4*5)= 50。所以一次加载50个q, k, v, o个向量的块，这样可以减少HBM/SRAM之间的读/写次数。
对于B_r，我也不太确定他们为什么要用d执行最小运算?如果有人知道，请评论指教!
第2步：
用全0初始化输出矩阵O。它将作为一个累加器，l也类似它的目的是保存softmax的累积分母——exp分数的总和)。M(保存逐行最大分数)初始化为-inf，因为我们将对其进行Max运算符，因此无论第一个块的Max是什么-它肯定大于-inf 。
第3步：
步骤1中的块大小将Q, K和V分成块。
第4步：
将O, l, m分割成块(与Q的块大小相同)。
第5步：
开始跨列循环，即跨键/值向量(上图中的外部循环)。
第6步：
将K_j和V_j块从HBM加载到SRAM。在这个时间点上我们仍然有50%的SRAM未被占用(专用于Q和O)。所以SRAM是这样的：
第7步：
开始跨行内部循环，即跨查询向量。
第8步：
将Q_i (B_r x d)和O_i (B_r x d)块以及l_i (B_r)和m_i (B_r)加载到SRAM中。
这里需要保证l_i和m_i能够载入SRAM(包括所有中间变量)，这块可能是CUDA的知识，我不太确定如何计算，所以如果你有相关的信息，请留言
第9步：
计算Q_i (B_r x d)和K_j转置(d x B_c)之间的点积，得到分数(B_r x B_c)。并没有将整个nxns(分数)矩阵“物化”。
假设外部循环索引为j (j=3)，内部循环索引为i (i=2)， N为25，块大小为5，下面就是刚刚计算的结果(假设以1为基础的索引):
也就是输入序列中标记11-15的标记6-10的注意力得分。这里的一个要点是，这些都是精确的分数，它们永远不会改变。
第10步：
使用上一步计算的分数计算m_i_j、l*i_j和P~*i_j。M ~_i_j是按行计算的，找到上面每一行的最大元素。
然后通过应用元素运算得到P~_i_j:
归一化-取行最大值并从行分数中减去它，然后EXP
l~_i_j是矩阵P的逐行和。
第11步：
计算m_new_i和l_new_i。同样非常简单，可以重复使用上面的图表:
M_i包含之前所有块的逐行最大值(j=1 & j=2，用绿色表示)。M _i_j包含当前块的逐行最大值(用黄色表示)。为了得到m_new_i我们只需要在m_i_j和m_i之间取一个最大值，l_new_i也类似。
第12步(最重要):
这是算法中最难的部分。
它允许我们用矩阵的形式做逐行标量乘法。如果你有一列标量s (N)和一个矩阵a (NxN)如果你做diag(s)* a你基本上是在用这些标量做a行的元素乘法。
公式1(为了方便再次粘贴在这里):
第12步的第一项所做的(用绿色下划线)是:更新了在同一行块中当前块之前的块的当前softmax估计。如果j=1(这是这一行的第一个块。
第一项乘以diag(l_i)是为了抵消之前迭代中除以的相同常数(这个常数隐藏在O_i中)。
表达式的第二项(黄色下划线)是不需要消去的，因为可以看到我们直接将P~_i_j矩阵与V向量块(V_j)相乘。
e^x项是用来修改矩阵P~_i_j & O_i的，方法是消去前一次迭代中的m，用最新的估计(m_new_i)来更新它，该估计包含到目前为止逐行最大值。
以下是我的逐步分析(实际上只需要5分钟，希望能有所帮助!)
重点是这些外面的e项和P/O矩阵里面的e项消掉了，所以总是得到最新的m_new_1估计!
第三次迭代也是类似的，得到了正确的最终结果!
回想一下:这只是对最终O_i的当前估计。只有在我们遍历上图中的所有红色块之后，我们才能最终得到确切的结果。
第13步
将最新的累加到统计数据(l_i & m_i)写回HBM。注意它们的维数是B_r。
第13、14、15、1步
嵌套的for循环结束，O (Nxd)将包含最终结果:每个输入令牌的注意力加权值向量!
简单汇总
算法可以很容易地扩展到“block-sparse FlashAttention”，这是一种比FlashAttention快2-4的稀疏注意力算法，扩展到64k的序列长度!通过使用一个块形式的掩码矩阵，可以跳过上面嵌套的for循环中的某些加载/存储，这样我们可以按比例节省稀疏系数，比如下图
现在让我们简单地讨论一下复杂性。
复杂度分析
空间:在HBM中分配了Q, K, V, O (Nxd)， l和m (N)。等于4Nd + 2*N。去掉常量，并且知道d也是一个常量并且通常比N小得多(例如d={32,64,128}， N={1024，…，100k})，可以得到O(N)的空间，这有助于扩展到64k序列长度(再加上一些其他“技巧”，比如ALiBi)。
时间:这里不会严格地进行时间复杂度分析，但是我们将使用一个好的指标:HBM访问的数量。
论文的解释如下：
他们是怎么得到这个数字的?让我们来分析嵌套的for循环:
我们的块大小是M/4d。这意味着向量被分割成N/(M/4d)块。取它的2次方(因为要遍历行/列块)得到O(N²d²/ M²)
我们不能一次获取整个块，如果做一个大O分析，可能会让我们认为这并不比标准注意力好多少，但对于典型的数字，这导致访问次数减少了9倍(根据上面的论文截图)。
我们的伪算法集中在一个单头注意力，假设批处理大小为1。下面我们就开始进行扩展了
多头注意力
要扩展到batch_size > 1和num_heads > 1实际上并不难。
算法基本上是由单个线程块(CUDA编程术语)处理的。这个线程块在单个流多处理器(SM)上执行(例如，A100上有108个这样的处理器)。为了并行化计算，只需要在不同的SMs上并行运行batch_size * num_heads线程块。该数字与系统上可用的SMs数量越接近，利用率就越高(理想情况下是多个，因为每个SM可以运行多个线程块)。
反向传播
对于GPU内存的占用，另外一个大头就是反向传播，通过存储输出O (Nxd)和softmax归一化统计数据(N)，我们可以直接从SRAM中的Q, K和V (Nxd)块中反向计算注意力矩阵S (NxN)和P (NxN) !从而使内存保持在O (N)。这个比较专业了，我们了解以下就可以了，所以需要详细的内容请看原论文。
代码实现
最后，让我们看看在使用flash attention时可能出现的一些问题。因为涉及到显存的操作，所以我们只能深入CUDA，但是CUDA又比较复杂。
这就是OpenAI的Triton等项目的优势(参见他们的FlashAttention实现)。Triton基本上是一种DSL(领域特定语言)，介于CUDA和其他领域特定语言(例如TVM)之间的抽象级别。可以编写超级优化的Python代码(一旦编译)，而不必直接处理CUDA。这样Python代码可以部署在任意的加速器上(这是Triton任务)。
另外一个好消息是Triton最近已经与PyTorch 2.0集成了。
另外对于某些用例，比如对于超过1K的序列长度，一些近似注意方法(如Linformer)开始变得更快。但是flash attention的块稀疏实现优于所有其他方法。
总结
你有没有想过，对于这种底层优化的算法为什么是一个斯坦福大学的学生发布，而不是NVIDIA的工程师?
我认为有2种可能的解释:
1、FlashAttention更容易/只能在最新的gpu上实现(原始代码库不支持V100)。
2、通常“局外人”是那些以初学者的眼光看待问题，能够看到问题的根源并从基本原则出发解决问题
最后我们还是要进行个总结
FlashAttention能够让BERT-large训练中节省15%，将GPT训练速度提高2/3，并且是在不需要修改代码的情况下，这是一个非常重要的进步，它为LLM的研究又提出了一个新的方向。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2205.14135
作者：Aleksa Gordić