机器学习中的数学——距离定义（一）：欧几里得距离（Euclidean Distance）

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欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间的即直线距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间，相关联的范数称为欧几里得范数。

    n
   
  
  
   n
  
 
n维空间中的欧几里得距离：
 
  
   
    
     d
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     ,
    
    
     y
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       
        ∑
       
       
        
         i
        
        
         =
        
        
         1
        
       
       
        n
       
      
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        i
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        i
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
     
    
    
     =
    
    
     
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        1
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        1
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
      
       +
      
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        2
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        2
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
      
       +
      
      
       ⋯
      
      
       +
      
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        n
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        n
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
     
    
   
   
    d(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}
   
  
 d(x,y)=i=1∑n​(xi​−yi​)2​=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2+⋯+(xn​−yn​)2​
 
  
   
    2
   
  
  
   2
  
 
2维空间中的欧几里得距离：
 
  
   
    
     d
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     ,
    
    
     y
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        1
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        1
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
      
       +
      
      
       (
      
      
       
        x
       
       
        2
       
      
      
       −
      
      
       
        y
       
       
        2
       
      
      
       
        )
       
       
        2
       
      
     
    
   
   
    d(x, y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}
   
  
 d(x,y)=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2​

下面我们来看一下欧几里得距离的Python实现：

defEuclideanDistance(x, y):import numpy as np
    x = np.array(x)
    y = np.array(y)return np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))