预测不确定性量化在数据驱动决策过程中具有关键作用。无论是评估医疗干预的风险概率还是预测金融市场的价格波动范围，我们常需要构建预测区间——即以特定置信度包含目标真值的概率区间。
**分位数回归(Quantile Regression, QR)**作为一种传统统计方法，长期以来被用于预测此类区间。与常规回归方法建模条件均值不同，QR直接对条件分位数进行建模，例如预测结果的第90百分位数。
然而单纯依赖QR在实践应用中存在显著局限性：其生成的区间在面对新数据时往往校准不足（区间过窄或过宽）。**Conformalized Quantile Regression (CQR)正是为解决这一问题而提出的创新方法，它将分位数回归与共形预测(Conformal Prediction)**技术相结合，生成既具有_自适应性_（区间宽度随输入特征动态变化，类似QR）又具有_严格统计保证_（能够达到预设的覆盖率目标）的预测区间。
本文将深入探讨CQR的理论基础、技术实现、与传统方法的比较，以及它在医疗、金融、能源和气候科学等多个领域的实际应用。
从分位数回归到共形预测
**分位数回归(QR)**是一种历史悠久的统计技术，可追溯至19世纪Galton的研究，并在1970年代得到形式化。QR方法直接估计目标变量的条件分位数，而非条件均值。例如在房地产市场分析中，QR不仅可预测给定特征下的平均房价，还能估计给定特征下房价的第90百分位值。
QR通过优化_尖点损失函数(pinball loss)_（亦称分位数损失）学习预测Y在X条件下的q分位数。QR的主要优势之一是能够自然处理**异方差性(heteroscedasticity)**问题——例如，第5百分位与第95百分位预测值之间的区间可根据数据局部噪声水平自动调整宽窄。
这种特性使QR能够生成局部自适应预测区间：在数据波动较大的区域产生更宽的区间，而在数据表现稳定的区域生成更窄的区间，从而更精确地反映预测的不确定性分布。
经典QR的关键限制在于校准问题。QR本身无法保证未来数据点有90%会落在所谓的"90%预测区间"内。理论上，QR区间的覆盖率仅在_渐近条件下_（样本趋于无穷且模型规范正确）才能达到预期水平。
在有限样本情况下，或当模型设定不完全正确时，实际覆盖率可能与名义覆盖率存在显著偏差。图1清晰地展示了这一问题：图中展示的分位数回归模型生成的90%预测区间（阴影区域）未能完全覆盖数据样本，部分观测点落在区间之外，表明该"90%"区间在实践中的覆盖率不足。
与此相对，归纳共形预测(Inductive Conformal Prediction, ICP)作为一种现代不确定性量化方法，将校准作为其核心目标。ICP构建的预测区间具有无分布假设的有限样本覆盖保证。本质上共形方法可以应用于_任意_点预测模型（通常是均值回归模型），然后利用单独的校准数据集调整预测结果，使预测区间_通过设计_达到目标覆盖率。
ICP的唯一假设是训练数据与未来数据点满足可交换性(exchangeability)（即广义上的独立同分布条件）。对于回归问题，一种简单的_分割共形(split-conformal)_方法操作如下：首先在一部分数据上训练回归模型，然后计算校准集上的预测残差，最后确定一个阈值使得(1–α)比例的残差落在该阈值范围内。这一过程产生的预测带将以约(1-α)的概率覆盖真实值y。
ICP方法的优势在于其统计保证：当声明95%置信度时，它确实能够平均覆盖95%的新数据点。当使用均值估计器时，这种方法的限制在于生成的区间往往是均匀宽度的，或者仅轻微依赖于输入特征X（本质上是在所有预测点应用相同的残差阈值）。在异方差数据环境中，这种方法效率不高——可能导致在某些实际不需要的区域使用过度保守的宽区间，仅仅因为其他区域的数据变异性较高。
综上所述，分位数回归提供了自适应的预测区间但缺乏覆盖保证，而共形预测提供了覆盖保证但缺乏强自适应性。这自然引出了一个问题：能否将两种方法的优势结合起来？
Conformalized Quantile Regression (CQR)的工作原理
**Conformalized Quantile Regression (CQR)**正是融合上述两种方法优势的技术解决方案，它实现了"QR与CP优势的有效结合"。
由Romano、Patterson和Candès(2019)提出的CQR方法能够生成既能适应局部不确定性（如分位数回归）_又_保持严格覆盖保证（如共形预测）的预测区间。换言之，CQR"通过合并分位数回归和共形预测，产生同时适应数据底层分布特性并维持严格覆盖保证的预测区间"，从而实现双重目标：_每个预测点处的区间尽可能窄，同时确保整体覆盖率的正确性_。
CQR的实现流程可以概括为以下关键步骤：
训练分位数模型：首先将数据集划分为训练集和校准集（类似于分割共形法）。使用训练集拟合两个分位数回归模型：一个预测下界分位数（如第5百分位），另一个预测上界分位数（如第95百分位），这两个模型共同界定目标预测区间。这些模型可以是任何能够预测特定分位数的回归算法，包括优化用于分位数损失的梯度提升树、随机森林或神经网络。
计算校准残差：接下来，将训练好的分位数模型应用于_校准_数据集。对于每个校准样本点(x_i, y_i)，评估真实值y_i相对于分位数模型预测区间的位置关系。为每个点计算**非一致性得分(nonconformity score)**，该得分实质上度量了当y_i落在预测区间外时，其偏离预测区间的距离。
确定校正量：然后，计算校准集上所有非一致性得分的(1-alpha)分位数值。这给出了一个值qCQR，使得90%的校准残差小于或等于该值。简言之qCQR是需要添加到或从原始分位数模型区间中减去的最小额外边际量，以确保90%的校准点被覆盖。
生成最终预测区间：最后，对于任何新输入x，CQR输出区间：[q^lower(xnew)−qCQR, q^upper(xnew)+qCQR]。此区间实质上是原始QR预测区间在每侧按常数qCQR进行扩展或收缩的结果。通过构造，这种调整后的区间将覆盖约(1-α)比例的未来数据点，_即使在有限样本情况下且不依赖分布假设_。CQR利用分位数回归作为智能起点，然后通过一个统一的微调缓冲区确保覆盖保证。若分位数估计接近完美，则缓冲区qCQR将非常小（理想情况下甚至为零）。若分位数模型低估了实际分布的扩散程度，qCQR将提供必要的补偿调整。
这一方法继承了两种组成技术的核心优势：区间长度可以随输入特征x变化（因为分位数回归预测会根据特征调整），从而像QR一样捕捉异方差模式；同时，由于共形校准步骤的作用，该区间具有(1-α)的有限样本覆盖保证。从理论角度看，CQR是_分布无关的_（无需参数模型假设）并且在可交换性条件下有效——若数据点满足独立同分布假设，则可以高置信度获得≥(1-α)的覆盖率（在X和Y的联合分布上）。
下面直接比较CQR与传统分位数回归的关键差异，以突显CQR的技术优势：
可以说CQR是分位数回归的即插即用增强版，它能够"每次都有效"，默认情况下交付预期的覆盖保证。当QR模型声称某一预测为"第95百分位"时，CQR确保实际上确有约95%的结果落在该预测值之下——正如一位实践者所强调："95%意味着真正的95%"。这种可靠性在高风险应用场景中尤为重要。
可视化比较：QR与CQR的差异
为了建立直观理解，我们回顾图1所示的场景。在该图中，分位数回归生成的预测区间未能覆盖部分数据点。若应用CQR方法，我们会使用校准集上的这些"未覆盖点"来适当扩展预测区间，直至覆盖所需比例的点。结果是所有（或几乎所有）数据点都将落入修正后的区间内，可能仅需在问题区域小幅增加区间宽度。换言之，CQR可能会在图1中的蓝色曲线上添加一个小的均匀缓冲区，略微提高上界并降低下界，直至_95%的点被包含其中_。在QR模型已经表现良好的区域，区间保持窄小，仅在必要处（如较高X值区域，QR模型原本低估了真实分布扩散）适度增宽。
实证研究证实了这一优势。例如，在一项包含29,993笔奥斯陆房屋销售数据的房价预测研究中，将CQR应用于随机森林模型后，生成的预测带宽度显著小于标准共形方法，同时仍然达到了90%的目标覆盖率。另一个医学领域的案例（从表观遗传数据预测生物年龄）发现，CQR生成的预测区间比共形均值回归方法更窄且个体间变异更大——表明CQR能更好地反映数据中的异质性，而基于均值的区间则过于保守且宽度几乎恒定。简言之，CQR通常提供两全其美的解决方案：精确、上下文敏感且可靠的预测区间。
总结
CQR（及共形预测）的应用正在迅速扩展。在机器学习研究中，CQR已被应用于时间序列预测（例如，流行的NeuralProphet库将CQR作为生成预测区间的选项）、时空数据分析（确保不同区域的预测覆盖率）以及算法公平性（一项工作引入"公平"CQR变体，确保跨不同子群体的均等覆盖率）。任何需要可靠不确定性量化的回归问题均可考虑CQR作为首选方法。其模型无关性意味着它可以包装任何前沿模型（梯度提升机、随机森林、神经网络等），使其预测具有可靠的概率特性。随着学术界和产业界对可信AI与机器学习的日益重视，CQR提供了一种相对简单却能显著提升预测模型可信度的技术增强方案。
Conformalized Quantile Regression (CQR)代表了预测建模领域的重要技术进步，它有效地结合了两个方向的优势：_灵活、数据驱动的分位数估计_与_严格的不确定性校准_。对数据科学家、分析师和研究人员而言，采用CQR能带来更为可靠的分析洞见：
CQR提供可靠的置信保证：当模型声明90%预测区间时，它确实能在实际应用中覆盖约90%的新数据结果。这种可靠性在医疗、金融等高风险决策领域尤为重要，它将预测模型转变为决策者可以真正信赖的工具。
CQR生成的自适应且信息丰富的预测区间区别于简单的不确定性带。这些区间能根据数据的局部不确定性动态调整形态。使用者能够准确识别模型不确定性较高的区域（较宽的区间表明该区域波动性更大或数据覆盖不足）与模型确定性较高的区域（较窄的区间）。这提供了更深入的分析视角，例如识别"模型对中等范围的案例预测较为确定，但对极端案例预测不确定"的模式——这类信息本身可以指导进一步行动，如针对极端案例收集更多数据。
CQR具有对分布异常的稳健性：由于其共形特性，即使数据具有异常误差分布、重尾特征或模型规范略有不准确，CQR方法也不会失效。该方法基于最少的假设，利用数据本身进行校准。这种稳健性使CQR能够跨多种应用场景部署，无需为每种情况专门调整——这是实际应用中的重要优势。
CQR提供实用的可获取性：实现CQR不再仅是理论练习——它已通过如MAPIE（面向scikit-learn用户）等库实现，并已集成到多个领域特定工具中。这降低了采用门槛。如果能训练回归模型，则只需几行额外代码即可应用CQR并获得更为丰富的预测输出。
如果你一直依赖传统分位数回归构建预测区间，现在或许是时候考虑"告别传统分位数回归，拥抱CQR"。通过对分位数预测进行共形化处理，您能确保模型不仅针对正确的分位数，还能以统计保证的方式达成预定目标。这将带来更精确、更可靠的预测洞见，支持在不确定环境中做出更明智的决策。
作者：Valeriy Manokhin