一维热传导方程的推导
模型建立
考虑一根具有定横截面积
A
A
A的杆，其方向为
x
x
x轴的方向（由
x
=
0
x=0
x=0至
x
=
L
x=L
x=L），如图1所示。
设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度：
e
(
x
,
t
)
e(x,t)
e(x,t)。
假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。
对
x
x
x和
t
t
t的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。
热能守恒
考察杆介于
x
x
x和
x
+
Δ
x
x+\Delta x
x+Δx之间的薄片，如图1所示。若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积（即横截面积乘以长度）的乘积：
E
(
x
,
t
)
=
e
(
x
,
t
)
A
Δ
x
E(x,t)=e(x,t)A\Delta x
E(x,t)=e(x,t)AΔx
如果我们想知道薄片内部温度随时间变化多快，我们需要知道有多少热量进入或离开该区域。根据傅里叶定律（Fourier’s law），通过单位时间、单位面积、单位温差流动出去或流入进来（取决于温差符号） 的热量为常数
k
k
k。因此，在时刻
t
t
t时，在位置$x+\Delta x $处流出去或流入进来（取决于温差符号） 的总热量为：
Q
o
u
t
(
x
+
Δ
x
,
t
)
=
−
k
A
∂
u
∂
x
(
x
+
Δ
x
,
t
)
Q_{out}(x+\Delta x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)
Qout(x+Δx,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)
其中
∂
u
∂
x
\frac{\partial u}{\partial x}
∂x∂u表示温度关于位置$x $ 的变化率。
类似地，在位置$x $处流入或流出（取决于温差符号） 的总热量为：
Q
i
n
(
x
,
t
)
=
k
A
∂
u
∂
x
(
x
,
t
)
Q_{in}(x,t)=kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)
Qin(x,t)=kA∂x∂u(x,t)
注意负号表示如果
∂
u
∂
x
\frac{\partial u}{\partial x}
∂x∂u为正，则表示从高温区域向低温区域传递；反之亦然。
根据能量守恒原理，我们可以得到以下等式：
E
(
x
,
t
+
Δ
t
)
−
E
(
x
,
t
)
=
Q
i
n
(
x
,
t
)
−
Q
o
u
t
(
x
+
Δ
x
,
t
)
E(x,t+\Delta t)-E(x,t)=Q_{in}(x,t)-Q_{out}(x+\Delta x,t)
E(x,t+Δt)−E(x,t)=Qin(x,t)−Qout(x+Δx,t)
这意味着在$\Delta t $时间内薄片内部储存或释放（取决于符号） 的总能量等于在该时间段内进入或离开该区域（取决于符号） 的总能量。
方程推导
代入上述等式，得到：
e
(
x
,
t
)
A
Δ
x
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
=
−
k
A
∂
u
∂
x
(
x
+
Δ
x
,
t
)
+
k
A
∂
u
∂
x
(
x
,
t
)
e(x,t)A\Delta x\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)+kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)
e(x,t)AΔx∂t∂u(x,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)+kA∂x∂u(x,t)
将两边同时除以
A
Δ
x
A\Delta x
AΔx，得到：
e
(
x
,
t
)
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
=
−
k
∂
u
∂
x
(
x
+
Δ
x
,
t
)
−
∂
u
∂
x
(
x
,
t
)
Δ
x
e(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k\frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)-\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)}{\Delta x}
e(x,t)∂t∂u(x,t)=−kΔx∂x∂u(x+Δx,t)−∂x∂u(x,t)
令
Δ
x
→
0
\Delta x \to 0
Δx→0，利用极限定义，得到：
e
(
x
,
t
)
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
=
−
k
∂
2
u
∂
x
2
(
x
,
t
)
e(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)
e(x,t)∂t∂u(x,t)=−k∂x2∂2u(x,t)
这就是一维热传导方程的基本形式。如果杆的横截面积不是常数，则需要对上式做一些修正。
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_42067800/article/details/129472781
版权归原作者 秋风白云见孤鹜 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
版权归原作者 秋风白云见孤鹜 所有， 如有侵权，请联系我们删除。