机器学习分类器评价指标详解（Precision, Recall, PR, ROC, AUC等）（一）

为了系统性地理解机器学习模型的不同评价指标及其之间的关系，我们将从其定义出发，探究其物理含义及彼此之间的联系，并从数学上给出相应的公式推导，以方便后续用到时复习理解。由于篇幅较长，因此将其分为两篇，这是第一部分，第二部分参见：机器学习分类器评价指标详解（Precision, Recall, PR, ROC, AUC等）（二）

那我们开始吧，

为了判断学习器的好坏，需要对其进行性能评估，而进行性能评估就需要评价标准，针对学习器类型的不同，评价指标也不相同，一般而言，回归任务的评价指标是均方误差，其公式为：

$E = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {f({x_i}) - {y_i}} \right)}^2}}$

而平时我们见到更多的是分类任务的学习模型，所以下面我们主要讨论分类任务中常见的性能度量指标。

为了讨论的简单，我们以二分类任务为例，给定一个二分类分类器，其对于测试样本的分类结果会出现四种情况：

将正类分为正类，将正类分为负类；

将负类分为正类，将负类分为负类。

如果我们把上述四种情况统一到一个矩阵中就是所谓的混淆矩阵，如下：

预测类别 Prediction Label

正类

负类

真正标签

True Label

正类

真正例 (True Positive, TP)

假负例 (False Negative, FN)

负类

假正例 (False Positive, FP)

真负例 (True Negative, TN)

根据这个矩阵，可以衍生出若干有不同针对性的度量指标，分别介绍如下：

1.正确率(Accuracy)

其定义为

$Accuracy = \frac{{TP + TN}}{{TP + TN + FP + FN}}$

由其定义可知，正确率考察的是分类器的整体分类性能，也即是正确分类的样本数占总样本数的比例。虽然其使用率很高，但是当正负样本不均衡的时候，该指标将失去其有效力。比如，在测试样本中，90%的样本都是正样本，那我们可以把所有样本都预测为正样本，从而轻松得到90%的正确率，然而这种分类器是没有任何意义的。

这就说明了：由于样本不平衡的问题，导致了得到的高准确率结果含有很大的水分。即如果样本不平衡，准确率就会失效。

正因为如此，也就衍生出了其它两种指标：精准率和召回率。

2.精准率(Precision)

又称查准率，其定义为

$Precision = \frac{{TP}}{{TP + FP}}$

精准率是针对预测结果而言的 (这一点对于理解其本身的含义很重要)，

根据其定义可知，精准率考察的是在所有预测为正类的样本中真正为正类的概率，也即在预测为正类的样本中，有多大把握可以预测正确，或者说在找到的所有正类中，有多少是准确的（也即为何叫查准率）。由此也可以看到，它是针对预测结果（分母）进行评价的。

虽然精准率和准确率这两个词很近，但是却是完全不同的含义。精准率代表对正样本结果中的预测准确程度，而准确率则代表整体的预测准确程度，既包括正样本，也包括负样本。

与此同时，可能我们不仅仅关心查找中有多少正确的，我们还关心在所有正类中有多少被找出来了，即查得全不全，该指标即是查全率。

3.召回率(Recall)

又称查全率，其定义为

$Recall = \frac{{TP}}{{TP + FN}}$

根据其分母（TP+FN等于所有正样本的数量）可知，它是针对原样本而言的。其是指在实际为正的样本中被预测为正类的概率。

之所以要关心查得全不全，是因为有时候我们更关注有多少我们关心的样本被漏掉了。比如在重大疾病的筛查中，我们不希望漏查一个有疾病的病人，也即是我们想要把所有的病人预测为病人，哪怕这样会把健康的人错误地预测为病人，这就类似于：宁可错杀一千，也不可放过一个。

这也反映出查准率和查全率是一对矛盾的度量。一般来说，查准率高时，查全率往往偏低;而查全率高时，查准率往往偏低。比如，我们关注的病人，即把病人看作正类。如果我们想把所有的病人尽可能都找到（查全率高），那么就会造成更多的健康人被错误地判断为病人（错误的正类，也即是FP增大，而且随着查找的进行，FP增大的速度要大于TP增加的速度，越到后面找出病人越难，因为这些病人的病症可能比较轻，而有些健康人可能伴有这类疾病的相似症状，导致大量的健康人被误判，而只能找到少量病人。也即，FP的增加速度远大于TP的增加速度，所以precision会下降；反之，如果我们追求的是在我们诊断为病人的样本中，真正的病人尽可能的多（也即查准率高），那么我们可以选择把最有把握的（病症最明显的）那些患者判断为病人，但是，同时，我们就会漏掉一些病症没有那么明显的真正的病人，导致TP减少，而TP+FN也即总得正类样本（真正的病人）数不变，所以recall会降低。

只有在少数简单的任务中才能同时取得较高的查准率与查全率，这也是为什么我们平时看到的PR曲线会是如下形状。

4.PR曲线

假如有一个PR曲线的示例图，如下所示，其横坐标为recall，纵坐标为precision。

图1：PR曲线

我们先来说一下这个曲线是如何得到的。

给定了分类器的分类结果，对于非离散型的分类器（离散型的分类器是指直接给出正负类分类结果的分类器，如SVM，决策树，至于离散型的分类器该如何画PR曲线会在后面给出），每个样本都会得到一个概率值，该概率值表示分类器将其分为正类的概率，也可以理解为分类器的自信度，也即是分类器有多大的把握将其分为正类。这一点也比较重要，即该概率是指分类器将样本分为正类的概率。我们首先对预测结果的概率值按照降序顺序对样本进行排序，则排在最前面的其概率值最大，也即分类器认为其是最可能的正类样本。按照此样本顺序，逐个把样本作为正类进行预测，正样本个数是逐渐在累加的。每换一个样本（就得到分类器的一次分类结果），就能得到PR曲线上的一个点。以查全率为横坐标，查准率为纵坐标，遍历完所有的样本，就可以得到整个PR曲线。

这里有一点需要注意，为什么要首先对样本进行排序？从上述过程我们可以知道，其类似于描点作图法，如果我们不排序，也可以得到最终的PR曲线。但是，如果不排序，就需要使用不同的策略，-概率值大于阈值的分为正类，概率值低于阈值的分为负类，此处的阈值就是指当前样本对应的概率值。我们需要对样本的概率值进行两两比较来判断类别，每拿到一个概率值，需要跟其他概率一一对比，也即要用两层循环才能完成所有值的对比，其复杂度为 $O\left( {{n^2}} \right)$ ，但是排序之后，就不需要对概率值进行比较，只需要从前往后逐个将样本分为正样本，所以只需要遍历一次即可，复杂度为 $O\left( n \right)$ ，不过，排序的复杂度为 $O\left( {n\log n} \right)$ ，所以排序之后，作图的整体复杂度为 $O\left( {n\log n} \right)$ 。这就是为什么要先进行排序。

PR曲线直观地显示出学习器在样本总体上的查全率、查准率。在进行比较时，若一个分类器的PR曲线被另一个分类器的曲线完全"包住" ，则可断言后者的性能优于前者，如图1中，分类器 A 的性能优于分类器 C; 如果两个分类器的 PR 曲线发生了交叉，如图1中的 A 与 B ，则难以一般性地断言两者孰优孰劣。只能在具体的查准率或查全率条件下进行比较然而，在很多情形下，人们往往仍希望把分类器 A 与 B 比出个高低。这时一个比较合理的判据是比较 PR 曲线节面积的大小，它在一定程度上表征了分类器在查准率和查全率上取得相对"双高"的比例。但这个值不太容易估算，因此人们设计了一些综合考虑查准率、查全率的性能度量。

"平衡点 " (Break-Event Point，简称 BEP)就是这样一个度量，它是" 查准率=查全率"时的取值。例如图1中分类器 C 的 BEP 是 0.64，而基于 BEP的比较，可认为学习器A优于B。

但是平衡点过于简单，使用的不多，更常用的是F1 score，其定义如下

$F1 = \frac{{2*P*R}}{{P + R}}$

其中P表示Precision, R表示Recall，F1 score是二者的调和平均。

在一些应用中，对查准率和查全率的重视程度有所不同。例如在商品推荐系统中，为了尽可能少打扰用户，更希望推荐内容确是用户感兴趣的，此时查准率更重要;而在逃犯信息检索系统中，更希望尽可能少漏掉逃犯，此时查全率更重要。F1 度量的一般形式是 ${F_\beta }$ ，它能让我们表达出对查准率/查全率的不同偏好，其定义为

${F_\beta } = \frac{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)PR}}{{{\beta ^2}P + R}}$

其中 $\beta > 0.$ $\beta$ 度量了查全率对查准率的相对重要性。

$\beta = 1$ 时退化为标准的F1， $\beta > 1$ 时更侧重于查全率， $\beta < 1$ 时更侧重于查准率。

${F_\beta }$ 是precision与recall的加权调和平均，F1是调和平均，具体公式如下：

$\frac{1}{{F1}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{P} + \frac{1}{R}} \right)$

${F_\beta }$ 表示recall是precision的 $\beta$ 倍那么重要，

$\frac{1}{{{F_\beta }}} = \frac{1}{{1 + {\beta ^2}}}\left( {\frac{1}{P} + \frac{{{\beta ^2}}}{R}} \right)$

${F_\beta } = \frac{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)TP}}{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)TP + {\beta ^2}FN + FP}}$

与算术平均 $\frac{{P + R}}{2}$ 与几何平均 $\sqrt {PR}$ 相比，调和平均更重视较小值。

此外，还可以将 ${F_\beta }$ 与假设检验中的两类错误联系在一起，在假设检验中，一般会把我们关心的对象的对立面作为原假设，比如在做显著性假设检验时，一般原假设为没有显著性差别。

所以，如果我们关心的是正类，那么原假设就是负类。

假设检验中的第一类错误是，当原假设错误时，却接受原假设，即取伪

第二类错误是，当原假设正确时，却拒绝原假设，即取真

那么，结合混淆矩阵可知，

FP 为第一类错误，即把负类（即原假设是负类正确）分为正类（拒绝了原假设）

FN 为第二类错误。即把正类（即原假设是负类错误）分为负类（接收了原假设）

证明如下：

因为

$\frac{1}{{{F_\beta }}} = \frac{1}{{1 + {\beta ^2}}}\left( {\frac{1}{P} + \frac{{{\beta ^2}}}{R}} \right)$

即

$\begin{array}{l} \frac{1}{{{F_\beta }}} = \frac{1}{{1 + {\beta ^2}}}\left( {\frac{1}{{\frac{{TP}}{{TP + FP}}}} + \frac{{{\beta ^2}}}{{\frac{{TP}}{{TP + FN}}}}} \right)\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {\beta ^2}}}\frac{{TP + FP + {\beta ^2}\left( {TP + FN} \right)}}{{TP}}\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {\beta ^2}}}\frac{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)TP + {\beta ^2}FN + FP}}{{TP}} \end{array}$

所以

${F_\beta } = \frac{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)TP}}{{\left( {1 + {\beta ^2}} \right)TP + {\beta ^2}FN + FP}}$

注意到PR曲线的两个指标都聚焦于正例(precision与recall的分子都是TP)，所以当遇到更需要关注正类样本，而正样本的数量有比较少的任务时，适合使用PR曲线。

与此同时，PR曲线的缺点是当正负类样本不均衡，或者样本的正负分布发生较大变化时PR曲线会很不稳定，而针对此正负样本不均衡的问题，或者想同时关注正类和负类样本时，我们可以使用ROC曲线。

5．ROC曲线

ROC (Receiver Operating Characteristic) 曲线，又称受试者操作特征曲线。该曲线最早应用于二战中雷达信号检测领域，用于区分信号与噪声。后来人们将其用于评价模型的预测能力，ROC 曲线也是基于混淆矩阵得出的。与PR不同的是，ROC曲线使用的指标是真正率(True positive rate, TPR)与假正率 (False positive rate, FPR),其横坐标为FPR，纵坐标为TPR.

$TPR = \frac{{TP}}{{TP + FN}}$

$FPR = \frac{{FP}}{{FP + TN}}$

真正率又称为敏感度(sensitivity)，假正率又可以看作(1-特异度(specificity))，

$sensitivity = \frac{{TP}}{{TP + FN}}$

$specificity = \frac{{TN}}{{FP + TN}}$

特异度可以看作关注负类时的敏感度。

ROC曲线的形状大概为图2中所示。

图2：ROC曲线

图中虚线表示随机猜测，所以正常情况下ROC曲线都处于虚线的左上方。

ROC曲线的画法跟PR曲线类似，也是先对分类结果中的样本进行降序排序，然后依次将样本分为正类，从前往后遍历一次所有的样本，最终得到ROC曲线。该过程也可以理解为依次使用从高到低的概率值作为阈值，大于阈值的样本分为正类，小于阈值的样本分为负类。遍历完所有阈值最终得到整个ROC曲线。不过值得注意的是，如果遇到相同概率的样本，也即前后若干个概率值相同，如果我们还是以重复的概率值作为阈值进行计算，那么等同于重复前面的工作，得到的也是ROC曲线上的点，此时，为了避免重复，遇到相同阈值时，我们直接将其对应的样本分为正样本（也即加入逐个扩大的正样本集合），重复此过程，直至遇到与该阈值不同的概率值。

为了更加直观地理解该过程，下图3是一个具体的例子，共有20个样本，其中10个正类，10个负类，左侧是对应的ROC曲线，图中标记点旁边的数值表示使用的阈值，右侧是样本的真实标签（Class列）与分类器给出的预测概率（Score列）。

图3

由此我们可知，如果我们选择的阈值非常大，比如正无穷，因为我们关注点的是分类器将样本分为正类的概率，那么如果阈值为正无穷，所有的样本将被分为负类，所以TP=FP=0, 那么TPR与FPR也都等于0，此时对应着ROC曲线上的原点（0，0）。相反，如果我们的阈值非常小，比如为负无穷，那么所有的样本将被分为正类，则FN=TN=0, 那么，TPR=FPR=1, 此时对应着ROC曲线右上方的（1,1）点。还有一个比较特殊的点（0,1），该点意味着，FPR=0, TPR=1, 也即是FP=0, FN=0.

即所有的样本都分对了，所以该点是完美分类点。所以ROC曲线越靠近这个点表示分类器的分类效果越好。

还有一种更直观地绘制ROC曲线的方法。首先，根据样本标签统计出正负样本的数量，假设正样本数量为P，负样本数量为N；接下来，把横轴的刻度间隔设置为1/N，纵轴的刻度间隔设置为1/P；再根据模型输出的预测概率对样本进行排序（从高到低）；依次遍历样本，同时从零点开始绘制ROC曲线，每遇到一个正样本就沿纵轴方向绘制一个刻度间隔的曲线，每遇到一个负样本就沿横轴方向绘制一个刻度间隔的曲线，直到遍历完所有样本，曲线最终停在（1,1）这个点，整个ROC曲线绘制完成。

我们注意到TPR与FPR的分母，TP+FN=所有的正类样本总数， FP+TN=所有的负类样本总数。

也即，TPR与FPR都是针对实际样本的，而不是针对分类结果的（其分母是常数，而如果是针对分类结果，其分母会变化，如precision的分母）。所以即使正负类的数量各自发生了改变，也不会互相影响。也就是说，即使正例与负例的比例发生了很大变化，ROC曲线也不会产生大的变化，而像Precision使用的TP和FP就会随着正负类样本比例的变化而变化，即易受类别分布改变的影响。也就是说ROC曲线对样本不均衡比价鲁棒，这也是ROC曲线优于PR曲线的地方。如下图4所示，

图4 此处实线和虚线表示两个不同的分类器

图中负例增加了10倍，ROC曲线没有改变，而PR曲线则变了很多。

文献[1]中说当正负类样本比例发生变化时，ROC曲线不变(identical)，我猜测应该是没有太大变化，而不是一点都不变，根据TPR与FPR的定义，

$TPR = \frac{{TP}}{{TP + FN}}$

$FPR = \frac{{FP}}{{FP + TN}}$

就拿图4中的例子来说，负样本增加10倍，正样本不变

那么TP, FN都不会变，所以TPR是不变的，但是，并不能保证FP与TN会以相同的倍数变化，也许二者变化的倍数很近（比如新增的样本与原来的样本分布相同），但是变化的倍数应该不会完全一致，所以我猜测FPR会发生微小的变化，但是不影响ROC的大体走势。

大多数情况下这种稳定性被认为是优点，但是有时也是缺点，因为负样本增多，FP也会成倍增加，如果是比较关心正类样本的准率率的话，那么就会导致precision（precision=TP/(TP+FP)）下降（此时PR曲线会更合适刻画这种变化）。

第一部分就先到这吧，太长了容易看困，哈哈哈

如果还不困，第二部分由此进入：机器学习分类器评价指标详解（Precision, Recall, PR, ROC, AUC等）（二）

参考：

[1] ROC Graphs: Notes and Practical Considerations for Data Mining Researchers

[2] 周志华《机器学习》

[3] Probabilistic interpretation of AUC | 0-fold Cross-Validation

[4] Measuring classifier performance: a coherent alternative to the area under the ROC curve

[5] Probabilistic output for SVM and comparisons to regularized likelihood methods

[6] A Note on Platt’s Probabilistic Outputs for Support Vector Machines

[7] LIBSVM: A Library for Support Vector Machines

标签：机器学习人工智能

本文转载自: https://blog.csdn.net/JingpengSun/article/details/129086037
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