最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布

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  最优化算法（6）---《最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布》

最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布

1.问题

    假设有N=20个传感器节点随机分布在半径为R=1公里的圆区域内(如图1所示)，现要求:通过调整各传感器的位置，使其稀疏分布于外环半径为R，内环半径为0.8R的圆环区域内(即保证圆环内的邻近传感器节点之间的距离尽可能地远，以减轻电磁互扰)。

请完成以下工作:

1. 根据题目背景建立传感器位置优化模型
2. 提出相关优化算法并求解该数学模型
3. 运用相关优化软件给出仿真结果

2.问题分析

2.1** **解的存在性

    针对于上述圆环内传感器节点最大最小距离分布问题，从基础情况开始，探讨原问题解的可能性。当传感器数量为2时特定时，分布在大圆直径上的任意两点就能满足问题的设定条件；而当数量为3时，大圆的内切等腰三角形的三个顶点同样能符合要求；少量的传感器，可以很快的得出最优结果。
    接下来，采用一个形象的比喻：将传感器视为胶体粒子。在胶体体系中，如果胶体粒子带有相同的电荷（无论是正电荷还是负电荷），它们会因为同性电荷的排斥作用而保持稳定的分散状态，避免凝聚。当这些“粒子”被散布在圆环上时，由于同性电荷的排斥作用，它们会自然散开直至达到一个稳定的分布状态。这个稳定状态，实际上就是追求的最稀疏分布，从而证明了问题解的存在性。
    为实现这一目标，可以借助精心设计的优化算法和策略性的调整方法，逐步达到稀疏分布的理想效果，进而有效缓解电磁互扰的问题。

2****.**2 **解的唯一性

    经过深入解析可知，可以确认，在少量传感器配置时，已证明存在最优解，且这些最优解并非唯一，而是有无穷多个。现在，基于这一逻辑，进一步假设当传感器数量达到任意N时，最优解同样存在，并且同样具备无穷多个的可能性。以下是详细的证明过程：

3.问题建模

    在考虑n个传感器节点的位置分布时，设定了一系列传感器节点的坐标位置。为了量化节点之间的相对位置关系，引入了指标集合

     具体地说，该模型的目标是实现传感器之间的最大间距，同时满足特定的约束条件，以确保整个网络的有效性和稳定性。

4.模型求解与难点分析

针对前述提出的优化模型P1，深入剖析了其在目标函数和约束条件上所面临的求解挑战，并提出了解决措施，具体如下：

    1）首先，面对目标函数不可微的难题，采取了光滑化处理策略

得到优化模型P2：

    2）其次，模型中存在两类约束：凸约束和非凸约束。其中凸约束（1）的成立基于凸集的定义，即对于集合D中的任意两点及其之间的任意点，若这些点都满足特定条件，则D被称为凸集。然而，（2）作为非凸约束，其特性在于它无法保证集合内任意两点间的连线仍在集合内部。 

     约束（2）证明如下：
            由于（2）无法保证任意两点间的连线仍在集合内，
            因此（2）为非凸约束。
    3）再者，目标函数的非凸非线性特性也是面临的挑战之一。

    为了求解模型，采用了凸优化技术。通过松弛处理，尝试将原非线性问题P1转化为凸优化问题，以期提高求解效率和准确性。整个流程如图4所示，清晰地展示了这一转化过程。

5** **模型求解

5.1问题模型优化

** 篇幅太长，大多为公式，不便于展示，完整的文档放在了文章末尾的链接中，需要自取。**

5.2 优化算法实现

针对优化模型P5，使用MATLAB编程实现，并采用CVX工具协助迭代求解，优化算法实现过程如下：

表****1 优化求解算法

5.3 MATLAB实现结果

    针对优化模型P5，使用MATLAB求解代码如下：

%% 主程序流程
clear  
close all;  
N=20;  % 设置传感器节点数量
M=10;  % 设置迭代次数
R1 =1;  % 设置外圆半径
R2 =0.8*R1;  % 设置内圆半径
theta = linspace(0,2*pi);  % 生成角度数组
xx1 = R1*cos(theta);  % 生成外圆x坐标
yy1 = R1*sin(theta);  % 生成外圆y坐标
xx2 = R2*cos(theta);  % 生成内圆x坐标
yy2 = R2*sin(theta);  % 生成内圆y坐标
thetal = 2*pi*unifrnd(0,1,1,N);  % 生成随机角度
r=R1*unifrnd(0,1,1,N);  % 生成随机半径
xxx = r.*cos(thetal);  % 计算传感器节点x坐标
yyy = r.*sin(thetal);  % 计算传感器节点y坐标
x=[xxx;yyy];  % 合并坐标
%% 绘制原各传感器的位置
figure(1)  
plot(xx1,yy1)  % 绘制外圆
axis equal  % 设置坐标轴比例相等
hold on
plot(xx2,yy2)  % 绘制内圆
hold on;
title('圆环区域内原传感器节点位置图');  
scatter(x(1,:),x(2,:),'filled')  % 绘制原始传感器节点位置
%% 优化求解算法
distance1=[];  % 初始化距离数组
for i=1:N  % 对每个传感器节点
    for j=(i+1):N  % 对每个其他传感器节点
        distance1 = [distance1;norm(x(:,i)-x(:,j))];  % 计算节点间距离并存储
    end
end
t=min(distance1);  % 计算初始最小距离
for m=1:M  % 进行M次迭代
    rou=m/M;  % 计算当前迭代的比例
    for i=1:N  % 对每个传感器节点
        if norm(x(:,i))<rou*R2  % 如果节点在当前内圆内
            x(:,i)=rou*R2/norm(x(:,i))* x(:,i);  % 调整节点位置到当前内圆边界
        end
    end
    % 使用CVX求解优化问题
    cvx_begin  % 开始CVX优化求解
        variables deltax(2,N) deltat  % 定义优化变量
        maximize(t+deltat)  % 最大化最小距离增量
        subject to
              for i=1:N  % 对每个传感器节点
                  % 确保节点在外圆内
                  x(:,i)'*x(:,i)+2*x(:,i)'*deltax(:,i)+deltax(:,i)'*deltax(:,i)<=R1^2;
                  % 确保节点在当前内圆外
                  x(:,i)'*x(:,i)+2*x(:,i)'*deltax(:,i)>=(rou*R2)^2;
                  for j=(i+1):N  % 对每个其他传感器节点
                      % 确保节点间最小距离增加
                      x(:,i)'*x(:,i)+x(:,j)'*x(:,j)-2*x(:,i)'*x(:,j)+2*(x(:,i)-x(:,j))'*(deltax(:,i)-deltax(:,j))>=(t*t+2*t*deltat);
                  end
              end
            t+deltat>=0;  % 确保最小距离非负
    cvx_end
    x=x+deltax;  % 更新传感器位置
    t=t+deltat;  % 更新最小距离
end
distance2=[];  % 初始化优化后距离数组
for i=1:N  % 对每个传感器节点
    for j=(i+1):N  % 对每个其他传感器节点
        distance2=[distance2;norm(x(:,i)-x(:,j))];  % 计算优化后节点间距离并存储
    end
end
distance_min=min(distance2);  % 计算优化后最小距离
%% 绘制传感器优化位置图
figure(2) 
plot(xx1,yy1)  % 绘制外圆
axis equal  % 设置坐标轴比例相等
hold on
plot(xx2,yy2)  % 绘制内圆
hold on;
title('圆环区域内传感器节点位置优化后图');  
scatter(x(1,:),x(2,:),'filled')  % 绘制优化后的传感器节点位置
disp("优化后最小距离:");
disp(distance_min);

    运行结果如下：
    根据圆环区域内传感器节点位置优化后图观察得到，外圆环上每两个传感器中间的内圆环上存在一个传感器，基本以两个中间穿插一个的规律放置传感器节点，能够达到最优。
    由圆环区域内传感器节点位置优化后MATLAB输出结果图可知，优化后的传感器最小距离为0.3359。

图2 圆环区域内传感器节点位置优化后图

图3 圆环区域内传感器节点位置优化后MATLAB输出结果图

6** **模型改进与讨论

    在构建的模型时，针对于松弛处理对原始约束条件的部分舍弃，算法迭代过程中可能会产生传感器位置超出圆环范围的情况。对此，采取了位置限制的方法，旨在识别并调整这些异常点至其最近的合理位置。
    但是这样会降低算法效率，位置限制通常需要在每次迭代时执行，这会增加算法的计算负担，并可能导致算法运行时间的延长。如果圆环的边界或传感器位置经常发生变化，则可能需要频繁的检测和调整，从而进一步降低算法的效率。
    影响解的质量，虽然位置限制可以确保传感器位置始终在圆环内，但这可能会影响到优化解的质量。因为调整异常点到其最近的合理位置可能不是全局最优解，而是局部最优或次优解。
    导致算法不够稳定，如果位置限制的实现方式不够稳定，可能会导致算法在迭代过程中出现不稳定的行为。例如，如果检测和调整的过程引入了额外的噪声或误差，可能会导致算法无法收敛到稳定的解。

完整的文档、Matlab代码放在了下面链接中，需要自取：

最优化方法求解-圆环内传感器节点最大最小距离分布

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