0


概率统计笔记:二维随机变量及其联合概率分布

目录

1.联合分布函数

定义3 设

     ( 
    
   
     X 
    
   
     , 
    
   
     Y 
    
   
     ) 
    
   
  
    (X,Y) 
   
  
(X,Y)为二维随机变量,对任意的 
 
  
   
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     ∈ 
    
    
    
      R 
     
    
      2 
     
    
   
  
    (x,y)∈R^2 
   
  
(x,y)∈R2,称

 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
   
     P 
    
   
     ( 
    
   
     X 
    
   
     ≤ 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     Y 
    
   
     ≤ 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
  
    F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 
   
  
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)

为随机变量

     ( 
    
   
     X 
    
   
     , 
    
   
     Y 
    
   
     ) 
    
   
  
    (X,Y) 
   
  
(X,Y)的 **(联合)分布函数**.

在这里插入图片描述

图3.2 分布函数F(x,y)对应的区域Dxy

     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
  
    F(x,y) 
   
  
F(x,y)在点 
 
  
   
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
  
    (x,y) 
   
  
(x,y)处的函数值,即随机变量 
 
  
   
   
     ( 
    
   
     X 
    
   
     , 
    
   
     Y 
    
   
     ) 
    
   
  
    (X,Y) 
   
  
(X,Y)在区域 
 
  
   
   
     D 
    
   
     x 
    
   
     y 
    
   
  
    Dxy 
   
  
Dxy中取值的概率。

2.实例

实例1

设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:

      f 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      , 
     
    
      y 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
     
     
       { 
      
      
       
        
         
          
          
            c 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            , 
           
           
          
            0 
           
          
            < 
           
          
            x 
           
          
            < 
           
          
            2 
           
          
            y 
           
          
            , 
           
          
            0 
           
          
            < 
           
          
            y 
           
          
            < 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
         
        
       
       
        
         
          
          
            0 
           
          
            , 
           
           
          
            其 
           
          
            它 
           
          
         
        
       
      
     
    
   
     f(x, y)=\begin{cases} cy^2,\quad 0<x<2y, 0<y<1 \\\\ 0,\quad 其它 \end{cases} 
    
   
 f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧​cy2,0<x<2y,0<y<10,其它​

计算:

  • (1)常数 c c c;

  • (2)联合分布函数F(x,y);

  • (3)概率P(|X|≤Y). 解(1)Ω(X,Y)={(x,y):0<x<2y,0<y<1},如图3.9所示.由联合密度函数的规范性得 1 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 d y ∫ 0 2 y c y 2 d x = c 2 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{2y}cy^2dx=\frac{c}{2} 1=∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=∫01​dy∫02y​cy2dx=2c​ 解得: c = 2 c=2 c=2图

    图3.9

(2)由已知得,(看不懂的话,就去看定义7)

     x 
    
   
     < 
    
   
     0 
    
   
  
    x<0 
   
  
x<0 或 
 
  
   
   
     y 
    
   
     < 
    
   
     0 
    
   
  
    y<0 
   
  
y<0时, 
 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
   
     0 
    
   
  
    F(x, y) = 0 
   
  
F(x,y)=0;

     0 
    
   
     ≤ 
    
   
     x 
    
   
     < 
    
   
     2 
    
   
     y 
    
   
  
    0\leq x<2y 
   
  
0≤x<2y 且  
 
  
   
   
     0 
    
   
     ≤ 
    
   
     y 
    
   
     < 
    
   
     1 
    
   
  
    0\leq y<1 
   
  
0≤y<1 时, 
 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
    
    
      ∫ 
     
    
      0 
     
    
      x 
     
    
   
     d 
    
   
     u 
    
    
    
      ∫ 
     
     
     
       x 
      
     
       2 
      
     
    
      y 
     
    
   
     2 
    
    
    
      v 
     
    
      2 
     
    
   
     d 
    
   
     v 
    
   
     = 
    
    
    
      2 
     
    
      3 
     
    
   
     x 
    
   
     ( 
    
    
    
      y 
     
    
      3 
     
    
   
     − 
    
    
     
     
       x 
      
     
       3 
      
     
    
      32 
     
    
   
     ) 
    
   
  
    F(x, y) = \int_{0}^{x}du\int_{\frac{x}{2}}^{y}2v^2dv=\frac{2}{3}x(y^3-\frac{x^3}{32}) 
   
  
F(x,y)=∫0x​du∫2x​y​2v2dv=32​x(y3−32x3​);

     0 
    
   
     ≤ 
    
   
     x 
    
   
     < 
    
   
     2 
    
   
  
    0\leq x<2 
   
  
0≤x<2 且  
 
  
   
   
     y 
    
   
     ≥ 
    
   
     1 
    
   
  
    y\geq 1 
   
  
y≥1 时, 
 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
    
    
      ∫ 
     
    
      0 
     
    
      x 
     
    
   
     d 
    
   
     u 
    
    
    
      ∫ 
     
     
     
       x 
      
     
       2 
      
     
    
      1 
     
    
   
     2 
    
    
    
      v 
     
    
      2 
     
    
   
     d 
    
   
     v 
    
   
     = 
    
    
    
      2 
     
    
      3 
     
    
   
     x 
    
   
     ( 
    
   
     1 
    
   
     − 
    
    
     
     
       x 
      
     
       3 
      
     
    
      32 
     
    
   
     ) 
    
   
  
    F(x, y) = \int_{0}^{x}du\int_{\frac{x}{2}}^{1}2v^2dv=\frac{2}{3}x(1-\frac{x^3}{32}) 
   
  
F(x,y)=∫0x​du∫2x​1​2v2dv=32​x(1−32x3​);

     x 
    
   
     ≥ 
    
   
     2 
    
   
     y 
    
   
  
    x\geq 2y 
   
  
x≥2y 或 
 
  
   
   
     0 
    
   
     ≤ 
    
   
     y 
    
   
     < 
    
   
     1 
    
   
  
    0\leq y<1 
   
  
0≤y<1时, 
 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
    
    
      ∫ 
     
    
      0 
     
    
      y 
     
    
   
     d 
    
   
     v 
    
    
    
      ∫ 
     
    
      0 
     
     
     
       2 
      
     
       y 
      
     
    
   
     2 
    
    
    
      v 
     
    
      2 
     
    
   
     d 
    
   
     u 
    
   
     = 
    
    
    
      y 
     
    
      4 
     
    
   
  
    F(x, y) = \int_{0}^{y}dv\int_{0}^{2y}2v^2du=y^4 
   
  
F(x,y)=∫0y​dv∫02y​2v2du=y4;

     x 
    
   
     ≥ 
    
   
     2 
    
   
  
    x\geq 2 
   
  
x≥2 或 
 
  
   
   
     y 
    
   
     ≥ 
    
   
     1 
    
   
  
    y\geq 1 
   
  
y≥1时, 
 
  
   
   
     F 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     , 
    
   
     y 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
   
     1 
    
   
  
    F(x, y) = 1 
   
  
F(x,y)=1;

所以,联合分布函数为,

      F 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      , 
     
    
      y 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
     
     
       { 
      
      
       
        
         
          
          
            0 
           
          
            , 
           
           
          
            x 
           
          
            < 
           
          
            0 
           
          
            或 
           
          
            y 
           
          
            < 
           
          
            0 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
           
           
             2 
            
           
             3 
            
           
          
            x 
           
          
            ( 
           
           
           
             y 
            
           
             3 
            
           
          
            − 
           
           
            
            
              x 
             
            
              3 
             
            
           
             32 
            
           
          
            ) 
           
          
            , 
           
           
          
            0 
           
          
            ≤ 
           
          
            x 
           
          
            < 
           
          
            2 
           
          
            y 
           
          
            , 
           
          
            0 
           
          
            ≤ 
           
          
            y 
           
          
            < 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
         
        
       
       
        
         
          
           
           
             2 
            
           
             3 
            
           
          
            x 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            − 
           
           
            
            
              x 
             
            
              3 
             
            
           
             32 
            
           
          
            ) 
           
          
            , 
           
          
            0 
           
          
            ≤ 
           
          
            x 
           
          
            < 
           
          
            2 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ≥ 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
           
           
             y 
            
           
             4 
            
           
          
            , 
           
          
            x 
           
          
            ≥ 
           
          
            2 
           
          
            y 
           
          
            , 
           
          
            0 
           
          
            ≤ 
           
          
            y 
           
          
            < 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
          
            1 
           
          
            , 
           
          
            x 
           
          
            ≥ 
           
          
            2 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ≥ 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
      
     
    
   
     F(x, y) = \begin{cases} 0,\quad x<0 或y<0\\ \frac{2}{3}x(y^3-\frac{x^3}{32}),\quad 0\leq x<2y, 0\leq y<1 \\\\ \frac{2}{3}x(1-\frac{x^3}{32}), 0\leq x<2, y\geq 1\\ y^4, x\geq 2y, 0\leq y<1\\ 1, x\geq 2, y\geq 1 \end{cases} 
    
   
 F(x,y)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​0,x<0或y<032​x(y3−32x3​),0≤x<2y,0≤y<132​x(1−32x3​),0≤x<2,y≥1y4,x≥2y,0≤y<11,x≥2,y≥1​

(3)
显然,对二维连续型随机变量使用联合分布函数刻画其统计规律也是比较复杂的,通常我们使用联合密度函数来描述二维连续型随机变量的概率分布.已知二维连续型随机变量的联合密度函数就可以计算任意事件的概率.
在这里插入图片描述

实例2

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

实例3

在这里插入图片描述

定理

定理1 联合分布函数的性质

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

定义

定义6 二维离散型随机变量

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
二维离散型随机变量联合分布律的物理解释:考虑

     x 
    
   
     o 
    
   
     y 
    
   
  
    xoy 
   
  
xoy平面上单位质量的平面薄片,在离散点 
 
  
   
   
     ( 
    
    
    
      x 
     
    
      i 
     
    
   
     , 
    
    
    
      y 
     
    
      j 
     
    
   
     ) 
    
   
  
    (x_i,y_j) 
   
  
(xi​,yj​)处分布着质点,其质量为 
 
  
   
    
    
      p 
     
     
     
       i 
      
     
       j 
      
     
    
   
     , 
    
   
     i 
    
   
     , 
    
   
     j 
    
   
     = 
    
   
     1 
    
   
     , 
    
   
     2 
    
   
     , 
    
   
     … 
    
   
     . 
    
   
  
    p_{ij},i,j=1,2,…. 
   
  
pij​,i,j=1,2,….这刻画了平面薄片的质量分布情况.

定义7 二维连续型随机变量

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

图3.7

二维连续型随机变量联合密度函数的物理解释:考虑xoy平面上单位质量的平面薄片,其在点(x,y)处的面密度为f(x,y),它刻画了平面薄片的质量分布情况.


本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_46713695/article/details/125371569
版权归原作者 赵孝正 所有, 如有侵权,请联系我们删除。

“概率统计笔记:二维随机变量及其联合概率分布”的评论:

还没有评论