高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）是一种
概率模型
，用于表示由
多个高斯分布（正态分布）
组成的复杂分布。
谱学习算法（Spectral Learning Algorithms）是一类利用线性代数中的
矩阵分解
技术来估计模型参数的方法，在自然语言处理、机器学习等领域有广泛的应用。
高斯混合模型（GMM）
目标公式：
给定一组观测数据
{
x
i
}
\{x_i\}
{xi}，GMM 可以用以下
混合密度函数
来描述：
p
(
x
∣
θ
)
=
∑
k
=
1
K
π
k
N
(
x
∣
μ
k
,
Σ
k
)
p(x|\theta) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k)
p(x∣θ)=k=1∑KπkN(x∣μk,Σk)
其中，
x x x 是一个```观测样本。```K K K 是```混合成分的数量。```π k \pi_k πk 是第 k k k 个高斯分布的```权重```，满足 ∑ k = 1 K π k = 1 \sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1 ∑k=1Kπk=1。N ( x ∣ μ k , Σ k ) \mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k) N(x∣μk,Σk) 表示```均值```为 μ k \mu_k μk、```协方差矩阵```为 Σ k \Sigma_k Σk 的第 k k k 个高斯分布的概率密度函数。
涉及到的公式及其作用：
- 高斯分布的概率密度函数： N ( x ∣ μ k , Σ k ) = 1 ( 2 π ) D / 2 ∣ Σ k ∣ 1 / 2 exp ( − 1 2 ( x − μ k ) T Σ k − 1 ( x − μ k ) ) \mathcal{N}(x|\mu_k,\Sigma_k) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu_k)^T\Sigma_k^{-1}(x-\mu_k)\right) N(x∣μk,Σk)=(2π)D/2∣Σk∣1/21exp(−21(x−μk)TΣk−1(x−μk))- D D D 是
数据的维度。- ∣ Σ k ∣ |\Sigma_k| ∣Σk∣ 是协方差矩阵的行列式。- Σ k − 1 \Sigma_k^{-1} Σk−1 是协方差矩阵的逆矩阵。- ( x − μ k ) T (x-\mu_k)^T (x−μk)T 是向量 x − μ k x-\mu_k x−μk 的转置。
谱学习算法
谱学习算法通常利用
矩阵或张量
的特征结构来估计模型参数。
对于 GMM，谱方法可以避免期望最大化（EM）算法的局部最优问题，提供一种全局最优的解法。
谱学习算法的步骤：
构造低阶矩矩阵：通常使用样本的低阶统计信息（如一阶、二阶矩）来构造矩阵。
M = E [ x x T ] M = E[x x^T]M=E[xxT]
这里
M
M
M 是样本的二阶矩矩阵，
E
[
⋅
]
E[\cdot]
E[⋅] 表示期望操作。
特征值分解：对矩阵 M M M 进行
特征值分解，得到特征向量和特征值。M = U Λ U T M = U \Lambda U^TM=UΛUT
U U U 是```特征向量矩阵。```Λ \Lambda Λ 是对角线上包含```特征值的矩阵。```
- 估计 GMM 参数：从特征向量和特征值中估计出高斯混合模型的参数 μ k \mu_k μk、 Σ k \Sigma_k Σk 和 π k \pi_k πk。
由于谱学习算法的具体实现细节可能会因不同的场景而有所变化，所以具体的参数估计过程会有所不同。
但大体上，谱学习算法会利用矩阵的特征值和特征向量与 GMM 参数之间的关系来进行估计。
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_50569789/article/details/140472840
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