注：本文是我学习李宏毅老师《机器学习》课程 2021/2022 的笔记（课程网站 ），文中图片均来自课程 PPT。欢迎交流和多多指教，谢谢！
Lecture 4.2 training tip: Batch Normalization
本节课介绍一个 Deep Neural Network 的 training tip，在训练 CNN 时就会用到。
我们先回顾一下，遇到下图左所示情况，两个参数的 loss 曲线大不相同，一个陡峭，一个平缓。这样训练时不好设置 learning rate，很难到达 loss 最低点。前面的课程中介绍了 adaptive learning rate 的解决方法，根据不同参数 gradient 的不同，相应地调整 learning rate。
这个问题其实也可以通过改变 landscape of error surface 来解决。首先分析一下，为什么会产生这样的 error surface，这样就知道要怎么调整了。
如上图中所示，
w
1
w_1
w1 和
w
2
w_2
w2 的 loss 曲线之所以相差很大，是因为其输入
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2 的取值量级相差很大。如果
w
1
,
w
2
w_1, w_2
w1,w2 做相同的变化
△
w
\triangle w
△w，
x
1
x_1
x1 的取值小，引起
y
y
y 的变化小，进而对
L
L
L 的影响也小，因此
w
1
w_1
w1 方向的 gradient 就小。而
x
2
x_2
x2 的取值比
x
1
x_1
x1 大了两个数量级，引起
y
y
y 的变化大。相应地，
w
2
w_2
w2 方向的 gradient 就大。
通过这个分析，我们发现，要让
w
1
w_1
w1 和
w
2
w_2
w2 方向的 gradient 相近（如上图右所示），就应该使其对应的输入
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2 的取值在同一范围内。相应的方法就是 feature normalization。
本文介绍 feature normalization 的一种方法。具体操作为：假设
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
R
x^1, x^2, ...,x^R
x1,x2,...,xR 表示一组输入 samples，把它们在每个维度 (feature) 上减去相应的均值 (mean)，除以对应的方差 (variance)，如下图中公式所示。做完 normalization 之后，输入 samples 每个维度上的均值都是 0，方差是 1。
思考：传统机器学习方法，比如线性回归中也会对数据进行类似的操作。不过传统机器学习中是先人工选择特征，然后对特征向量做 Normalization 或最大最小值归一化。而深度学习是机器自动学习特征，不知道模型会如何选择或组合各维度向量来生成特征，因此是在各维度上做 Normalization。
此外，在 Deep Learning 中，还要考虑 hidden layer （中间层）的输出。如下图所示的
z
i
z^i
zi ，它同时是下一层的输入，因此也需要做 Normalization。
在什么位置做 Normalization 呢？
一般来说，在 activation function 之前（对
z
i
z^i
zi 做）或之后（对
a
i
a^i
ai 做）都可以。不过，如果 activation function 是 Sigmoid，因为 Sigmoid function 在取值范围 [0,1] 的 gradient 较大，因此对
z
i
z^i
zi 做 normalization 更好。
对
z
i
z^i
zi 做了 normalization 之后，有一个有趣的现象：本来各条数据（各个 sample ）之间是互不影响的。例如
z
1
z^1
z1 的变化只影响
a
1
a^1
a1 。但是做 normalization 要在全部数据 (samples) 上求均值和方差，如下图所示，
z
1
z^1
z1 的变化会通过
μ
,
σ
\mu,\sigma
μ,σ 影响
z
~
2
,
z
~
3
\widetilde z^2, \widetilde z^3
z2,z3，进而影响到
a
2
,
a
3
a^2, a^3
a2,a3。
也就是说，以前是一次只需要考虑一个 sample ，输入到 deep neural network 得到一个 output。做 Normalization 会使得 sample 之间互相有影响，因此现在一次需要考虑一批 samples，输入一个大的 deep neural network，得到一批 outputs。
实际中全部训练集的数据量很大，做 Normalization 时就考虑一个 batch 的 samples，因此称为 Batch Normalization。注意：batch size 很小，比如说等于 1 时，求不了均值和方差，没有意义。Batch Normalization 适用于 batch size 大的时候。
把输入 samples 的各个维度都调整成均值为 0，方差为 1的分布，有时可能不好解决问题，此时可以做一点改变。如下图右上角的公式所示。注意：
γ
\gamma
γ 和
β
\beta
β 的值通过学习得到，也就是根据模型和数据的情况调整。
γ
\gamma
γ 初始设为全 1 向量，
β
\beta
β 初始设为全 0 向量。
Batch Normalization 虽好，但是在 testing 时就遇到了问题。testing 或者实际部署时，数据都是实时处理，不可能每次等到满一个 batch 才处理。
怎么办呢？
求解 training data 的 moving average，具体方法如下图所示，然后把求得的
μ
‾
\overline\mu
μ 和
σ
‾
\overline\sigma
σ 当作 testing data 的均值和方差。
为什么说 Batch Normalization 对优化参数有帮助？
“Experimental results (and theoretically analysis) support batch normalization change the landscape of error surface.”
实验结果和理论分析验证了 Batch Normalization 可以通过改变 error surface，让 optimization 更顺利。
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参考
李宏毅老师《机器学习 2022》：
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