前言
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大家好,这里是海浪学长毕设专题,本次分享的课题是
🎯基于 MATLAB 的小波去噪的研究
课题背景和意义
近些年来，小波分析理论发展得十分迅速，良 好的时域和频域特性使得其广泛地被应用于实际。 在现实中，搜集到的信号往往都是含有噪声的，噪 声的存在常常会将原始信号所要表达的信息掩盖 掉，所以，在实际对信号的处理过程中，降噪是首 先要进行的，并且是非常重要的一个步骤。 小波分析法去噪是当前广泛应用的信号去噪 方法，小波分析法源于傅里叶变换，却相比传统的 傅里叶分析去噪而言，更适合于对非平稳信号的去 噪问题。傅里叶分析去噪适合于平稳信号去噪，可 是生活中非平稳信号是绝大部分的，因此使用傅里 叶分析法来去噪就存在着局限性。多分辨率分析 是小波分析的特点，并且无论在时域还是频域内， 均具有表征信号局部特征的能力。因此，在去噪 领域中，小波理论受到了广泛的关注，并取得了不 错的效果。 小波分析去噪的核心环节包括小波基函数的 选择，阈值函数的选择、分解的层数等，小波包相 对于小波分析对于高频的刻画更为精细，小波包去 噪也被用于信号的去噪。
实现技术思路
一、小波理论
小波变换
设ψ ( t ) ∈ L 2( R) ，其傅里叶变换为 ψˆ (ω ) ，当ψ ω 满足条件：
把 ψ (t) 称作基本小波(或母小波)，将母小波 ψ (t) 经过伸缩和平移后即可得到一个小波序列为：
式中： *a *为伸缩因子； *b *为平移因子。
对于任意的函数 f( t) ∈L 2(R) 的连续的小波 变换为：
其重构公式(即小波逆变换)为：
**几种常见的小波基 **
小波基选取是小波分析去噪的关键环节之一，选择合适的小波基作为小波分析的基函数，能够使
小波去噪取得不错的效果。以下为几种常见的小波基函数。
(1)Haar 小波系
Haar 小波的定义为：
Haar 小波系为 A. Haar 提出的一种正交的函数系，此小波系具备紧支撑性，并且在正交的函数系
中是属于最简单的一种
(2)Daubechies(dbN)小波系
Daubechies(dbN)小波函数也是由Daubechies构造的小波函数，是从两尺度方程系数{h**k}出发而设
计的离散正交小波函数。
(3)SymletsA（symN）小波系
SymletsA 函数为一种近似对称的，紧支集、双正交特性小波函数系，为 db 小波函数的一种改进，
此 SymletsA 函数一般表示为 symN 的形式，其中N=2,3,4,5,6,7,8。
(4)Coiflet(coifN)小波系 Coiflet 小波基具有紧支撑正交特性，是由 Daubechies 构造的小波函数， 函数有 coifN (N=1， 2，3，4，5)这一系列，Coiflet 小波基比 dbN 小波 基对称性更好，而且 coifN 与 db3N、sym3N 具有相 同的支撑长度，与 db2N、sym2N 具有相同的消失 矩数目
**小波包理论 **
小波变换是一种将时域分析、频域分析联系在一起的分析方法，多分辨率分析法是将信号分解为
高频部分和低频部分的分析方法，可是，通常是将低频部分保留下来，而对于高频部分的分析处理往往不知所措
二、小波去噪原理
**小波分析去噪原理 **
小波去噪一般分为染噪信号的分解、阈值的处理、信号的重构 3 个步骤。
(1)信号的分解：选取小波基对染噪的信号进行小波变换。
(2)阈值的处理：事先设定一个阈值，然后将比设定阈值低的小波系数去掉，保留比设定阈值高的小波系数，从而可以将噪声去除，保留住有用信号的信息。
(3)信号的重构：用处理后的小波系数进行信号重构。
**阈值去噪 **
模极大值法、空域相关法、小波阈值法是小波滤波去噪的 3 种主要的方法，相比较于前 2 种滤波
方法，小波阈值法滤波具有算法简单、计算量小、滤波效果好等特点，对于信噪比低的信号的处理也比较适用。
小波阈值去噪通常可以分为硬阈值去噪及软阈值去噪 2 种。
Donoho 提出的硬阈值函数的数学表达式为：
软阈值的数学表达式为：
wi j 是去噪前的小波系数， , wi j 为去噪后的小波系数，阈值 λ =σ 2 lg(M ) ，M 为信 号长度，噪声水平的估计值
常见的阈值选择规则有以下 4 种：①固定阈值 sqtwolog 规则，阈值 λ=2In(M)；②启发式阈值 Heursure 规则，为最优预测变量阈值选择；③自适 应阈值选择 Rigruse 规则，此种规则是基于无偏估 计；④极大极小阈值 Minmaxi 规则，此规则也是一 种固定的阈值选择规则。
**小波包去噪 **
与小波分析去噪相比，小波包对信号的分解以及重构愈加精细，对低频部分以及高频部分均实施分解，因而具有更强、更精确的局部分析能力。 小波包阈值去噪的基本步骤如下：①对信号进 行小波包分解；②选择最优小波基；③小波包分解 系数的阈值化；④信号的小波包重构。
三、去噪实验仿真
不同小波基下信号去噪
本实验为仿真小波基函数选取、分解的层数、 阈值选取对小波分析最终去噪效果的影响。如图为原始信号以及加噪信号。
通过波形观察、各种方式滤波信噪比(SNR)、各种方式滤波最小均方根误差(MSE)2 个重要指标的对比，来衡量和评价滤波去噪效果，得到数据如表
3层分解的小波分析去噪：
**5 **层分解的小波分析去噪：
通过 4 种小波基去噪结果的数据对比可以发 现，coif3、sym5、db4 3 种小波基情况下的滤波效 果要好于 haar 小波基情况。coif3 小波基、sym5 小 波基处理噪声效果比 db4 小波基略好。因此，小波 基的选择不唯一，没有一种小波基对任何一种信号 去噪都能取得最优的效果。所以，实际去噪时，应 根据具体情况来选择适合的小波基函数对小波进 行分解。
下图分别为不同小波基情况下的去噪波形图
**haar **小波基分解的小波去噪：
**coif3 **小波基分解的小波去噪：
**db4 **小波基下的小波去噪
从中可以发现 coif3、sym5、db4 3 种小波基下 的去噪效果要好于 haar 小波基情况。软阈值去噪效 果好于硬阈值，去噪之后跟原信号更接近。但是 haar 小波基特更适合于连续性较差的信号的小波去噪， 比如 block 信号。coif3、sym5 更适合于连续性较好 的信号的去噪，比如 Doppler 信号的去噪。
**小波去噪与傅里叶分析去噪效果比较 **
首先，产生测试信号—Doppler 信号，Doppler信号为一种非平稳信号，加入白噪声，得到原始信
号和染噪信号如图
由图可知小波分析去噪结果好于傅里叶分析去噪。在非平稳信号的去噪方面，小波分析去噪相 对于傅里叶分析具有很大的优势，并且在实际工程应用中，大多数的信号也都为非平稳信号
**小波包去噪 **
1、分解层数对去噪效果的影响
产生 bumps 测试信号，然后高斯白噪声加入 bumps 信号，得到原始信号及加噪信号如图所示。
然后运用小波包分析对染噪信号进行去噪处理，实 验中，小波包分解层数分别设置为 2 层、4 层、5 层、8 层，得到去噪后信号波形如图
2、小波包与小波分析去噪比较
先产生 quadchirp 测试信号，然后将高斯白噪声加入 quadchirp，得到原始信号及加噪信号的波形
如图
小波包去噪方法采用软阈值去噪，4 层分解；小波分析去噪，阈值选择采用最优预测变量阈值 heursure，分别采用软阈值和硬阈值 2 种方式，分解层数为 4 层。实验分别选用 coif3、sym5、db4、haar4 种小波基作为小波分解的基函数。仿真结果如图
表为小波包去噪和小波去噪的结果数据，通 过表可以发现，小波包去噪相比较小波硬阈值去 噪、小波软阈值去噪具有更高的信噪比 SNR 和更低 的最小均方误差 MSE，表明对于 quadchirp 信号而 言，小波包去噪的效果要优于小波分析去噪。
实现效果图样例
matlab信号处理，小波降噪：
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最后
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