什么是2范数、1范数、∞范数？

在数学和线性代数中，范数（Norm）是一种测量向量大小或长度的工具。以下是常见的三种范数：

1. 2范数（Euclidean Norm）： 2范数，也称为欧几里得范数，表示向量在欧几里得空间中的长度。对于向量 v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) v=(v1​,v2​,…,vn​)，其2范数定义为： ∥ v ∥ 2 = v 1 2 + v 2 2 + ⋯ + v n 2 |\mathbf{v}|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} ∥v∥2​=v12​+v22​+⋯+vn2​​ 这种范数测量的是向量的欧几里得距离。
2. 1范数（Manhattan Norm）： 1范数，也称为曼哈顿范数或绝对值和范数，表示向量各元素绝对值的总和。对于向量 v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) v=(v1​,v2​,…,vn​)，其1范数定义为： ∥ v ∥ 1 = ∣ v 1 ∣ + ∣ v 2 ∣ + ⋯ + ∣ v n ∣ |\mathbf{v}|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n| ∥v∥1​=∣v1​∣+∣v2​∣+⋯+∣vn​∣ 这种范数测量的是向量分量绝对值的总和。
3. 无穷范数（Infinity Norm）： 无穷范数，也称为最大范数，表示向量各元素绝对值中的最大值。对于向量 v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) v=(v1​,v2​,…,vn​)，其无穷范数定义为： ∥ v ∥ ∞ = max ⁡ ( ∣ v 1 ∣ , ∣ v 2 ∣ , … , ∣ v n ∣ ) |\mathbf{v}|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \ldots, |v_n|) ∥v∥∞​=max(∣v1​∣,∣v2​∣,…,∣vn​∣) 这种范数测量的是向量中最大分量的绝对值。

这三种范数各有其应用场景。例如，2范数常用于计算向量之间的欧几里得距离，1范数用于优化问题中的稀疏性约束，而无穷范数则用于测量向量中最大分量的影响。在具体应用中选择合适的范数可以更好地解决实际问题。