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权重衰减
前面我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。
范数与权重衰减
使用均方范数作为硬性限制
- 通过限制参数值的选择范围来控制模型容量 m i n l ( w , b ) s u b j e c t t o ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ≤ θ min;l(w,b)\quad subject;to;||w||^2\le\theta minl(w,b)subjectto∣∣w∣∣2≤θ
- 通常不限制偏移 b （限不限制都差不多）
- 小的 θ \theta θ 意味着更强的正则项
一个多项式中的高次项的系数变小了，函数也就变平滑了。
使用均方函数作为柔性限制
- 对每个 θ \theta θ，都可以找到 λ \lambda λ使得之前的目标函数等价于下面 m i n l ( w , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 min;l(w,b)+{\lambda \over 2}||w||^2 minl(w,b)+2λ∣∣w∣∣2- 可以通过拉格朗日乘子来证明
- 超参数 λ \lambda λ控制了正则项的重要程度 - λ = 0 \lambda=0 λ=0：无作用- λ − > ∞ ， w ∗ − > 0 \lambda ;-> \infty，w^*->0 λ−>∞，w∗−>0
λ 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 {\lambda \over 2}||w||^2 2λ∣∣w∣∣2 就是 penalty，惩罚项
演示对最优解的影响
- 绿线是损失函数的取值，黄线是惩罚项的取值，两者都是圈越大取值越大
- 我们的目标是为了减小loss，同样的loss，那只能通过更小的w来实现
- 主要就看loss和penalty的变化速度， w ∗ w^* w∗就是二者的一个平衡点，往左下，loss变大的快，penalty的减少不足以弥补；往右上，penalty变大的快，loss的减少不足以弥补
- 可以看
王木头学科学的视频，从“拉格朗日乘数”看到“L1L2正则化权重衰竭”
参数更新法则
计算梯度 ∂ ∂ w ( l ( w , b ) + λ 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ) = ∂ l ( w , b ) ∂ w + λ w {\partial \over \partial w}(l(w,b)+{\lambda \over 2||w||^2})={\partial l(w,b) \over \partial w}+\lambda w ∂w∂(l(w,b)+2∣∣w∣∣2λ)=∂w∂l(w,b)+λw
时间 t 更新参数
w t + 1 = w t − η ∂ ∂ w t w t + 1 = ( 1 − η λ ) w t − η ∂ l ( w t , b t ) ∂ w t w_{t+1}=w_t-\eta{\partial \over \partial w_t}\\ w_{t+1}=(1-\eta\lambda)w_t-\eta{\partial l(w_t,b_t) \over \partial w_t}wt+1=wt−η∂wt∂wt+1=(1−ηλ)wt−η∂wt∂l(wt,bt)
通常 η λ < 1 \eta\lambda < 1 ηλ<1，在深度学习中通常叫做权重衰退
- 对权重参数进行衰退处理，防止其过大
- 看不明白的，看吴恩达1.5，有个样例图好理解
总结
- 权重衰退通过 L2 正则项使得模型参数不会过大，从而模型复杂度
- 正则项权重是控制模型复杂度的超参数
我们可以通过刚性写法，使得w总是比一个
θ \theta θ小但是在真正优化的时候，我们是通过一个
λ \lambda λ来控制它的强度。而且 λ \lambda λ等价于每次在更新的时候对于权重做了一次放小，等价于权重衰退的过程。
从零开始实现
高维线性回归
我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：
我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到
d
=
200
d=200
d=200， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size =20,100,200,5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs,1))*0.01,0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
初始化模型参数
首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。
definit_params():
w = torch.normal(0,1, size=(num_inputs,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return[w, b]
定义
L
2
L_2
L2范数惩罚
实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。
defl2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2))/2
定义训练代码实现
下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 3节以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。
deftrain(lambd):
w, b = init_params()
net, loss =lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr =100,0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train','test'])for epoch inrange(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项，# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y)+ lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if(epoch +1)%5==0:
animator.add(epoch +1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
忽略正则化直接训练
我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。
使用权重衰减
下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。
train(lambd=3)
欧几里得距离就是
L 2 L_2 L2范数，就是一个向量的模长 L 2 L_2 L2范数是指向量各元素的平方求和，然后开根号
简洁实现
由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。
在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数
b
b
b不会衰减。
deftrain_concise(wd):
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs,1))for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
num_epochs, lr =100,0.003# 偏置参数没有衰减
trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train','test'])for epoch inrange(num_epochs):for X, y in train_iter:
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.mean().backward()
trainer.step()if(epoch +1)%5==0:
animator.add(epoch +1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
net[0] 指的就是nn.Sequential()里的第一个全连接层
QA
- 实际中权重衰减的值一般设置为多少好？ 1 e − 2 , 1 e − 3 , 1 e − 4 1e^{-2},1e^{-3},1e^{-4} 1e−2,1e−3,1e−4 权重衰退的效果不是很好，不要期望太大
- 为什么要把w往小拉？如果最优解的w就是比较大的数，那么权重衰减是不是会有反作用？ 实际会有噪音，加入惩罚，使得w变小，可以减小底部震荡，更快收敛到一个靠近真实底部的位置。
通常来说噪音越大，w也会越大。
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