切比雪夫（Chebyshev）不等式

标准化

设随机变量x具有数学期望

     E 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
   
     μ 
    
   
  
    E(x) = \mu 
   
  
E(x)=μ，方差 
 
  
   
   
     D 
    
   
     ( 
    
   
     x 
    
   
     ) 
    
   
     = 
    
    
    
      σ 
     
    
      2 
     
    
   
  
    D(x) = \sigma^{2} 
   
  
D(x)=σ2。记 
 
  
   
    
    
      X 
     
    
      ∗ 
     
    
   
     = 
    
    
     
     
       X 
      
     
       − 
      
     
       μ 
      
     
    
      σ 
     
    
   
  
    X^{* } =\frac{X-\mu }{\sigma } 
   
  
X∗=σX−μ​, 则X*的期望和方差为： 
  
   
    
    
      E 
     
    
      ( 
     
     
     
       X 
      
     
       ∗ 
      
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
     
     
       1 
      
     
       σ 
      
     
    
      E 
     
    
      ( 
     
    
      X 
     
    
      − 
     
    
      μ 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
     
     
       1 
      
     
       σ 
      
     
    
      [ 
     
    
      E 
     
    
      ( 
     
    
      X 
     
    
      ) 
     
    
      − 
     
    
      μ 
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
    
      0 
     
    
   
     E(X^{*})= \frac{1}{\sigma} E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma }[E(X)-\mu]=0 
    
   
 E(X∗)=σ1​E(X−μ)=σ1​[E(X)−μ]=0 
  
   
    
    
      D 
     
    
      ( 
     
     
     
       X 
      
     
       ∗ 
      
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      E 
     
    
      ( 
     
     
     
       X 
      
      
      
        ∗ 
       
      
        2 
       
      
     
    
      ) 
     
    
      − 
     
    
      [ 
     
    
      E 
     
    
      ( 
     
     
     
       X 
      
     
       ∗ 
      
     
     
     
       ) 
      
     
       2 
      
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
    
      E 
     
    
      [ 
     
     
      
      
        ( 
       
      
        x 
       
      
        − 
       
      
        μ 
       
       
       
         ) 
        
       
         2 
        
       
      
     
       σ 
      
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
     
     
       1 
      
      
      
        σ 
       
      
        2 
       
      
     
    
      E 
     
    
      [ 
     
    
      ( 
     
    
      X 
     
    
      − 
     
    
      μ 
     
     
     
       ) 
      
     
       2 
      
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
     
      
      
        σ 
       
      
        2 
       
      
      
      
        σ 
       
      
        2 
       
      
     
    
      = 
     
    
      1 
     
    
   
     D(X^{*})= E(X^{*2})-[E(X^{*})^{2}]=E[\frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma } ]=\frac{1}{\sigma ^{2}}E[(X-\mu)^{2}]=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1 
    
   
 D(X∗)=E(X∗2)−[E(X∗)2]=E[σ(x−μ)2​]=σ21​E[(X−μ)2]=σ2σ2​=1

即

      X 
     
    
      ∗ 
     
    
   
  
    X^{*} 
   
  
X∗的数学期望为0，方差为1。
 
  
   
    
    
      X 
     
    
      ∗ 
     
    
   
  
    X^{*} 
   
  
X∗为X的标准化变量，即一般的正态分布经标准化后，服从N(0,1)的标准正态分布。

切比雪夫不等式

如果随机变量X的期望μ和方差σ存在，则对任意ϵ >0,有

      P 
     
     
     
       { 
      
     
       ∣ 
      
     
       X 
      
     
       − 
      
     
       μ 
      
     
       ∣ 
      
     
       ≥ 
      
     
       ε 
      
     
       } 
      
     
    
      ≤ 
     
     
      
      
        σ 
       
      
        2 
       
      
      
      
        ε 
       
      
        2 
       
      
     
    
   
     P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} 
    
   
 P{∣X−μ∣≥ε}≤ε2σ2​

该不等式称为切比雪夫不等式，也可以等价写为：

      P 
     
     
     
       { 
      
     
       ∣ 
      
     
       X 
      
     
       − 
      
     
       μ 
      
     
       ∣ 
      
     
       < 
      
     
       ε 
      
     
       } 
      
     
    
      ≥ 
     
    
      1 
     
    
      − 
     
     
      
      
        σ 
       
      
        2 
       
      
      
      
        ε 
       
      
        2 
       
      
     
    
   
     P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} 
    
   
 P{∣X−μ∣<ε}≥1−ε2σ2​

例如当

     ε 
    
   
  
    \varepsilon 
   
  
ε取3 
 
  
   
   
     σ 
    
   
  
    \sigma 
   
  
σ时，有 
  
   
    
    
      P 
     
     
     
       { 
      
     
       ∣ 
      
     
       X 
      
     
       − 
      
     
       μ 
      
     
       ∣ 
      
     
       < 
      
     
       3 
      
     
       σ 
      
     
       } 
      
     
    
      ≥ 
     
    
      1 
     
    
      − 
     
     
     
       1 
      
     
       9 
      
     
    
      ≈ 
     
    
      88.89 
     
    
      % 
     
    
   
     P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \approx 88.89\% 
    
   
 P{∣X−μ∣<3σ}≥1−91​≈88.89%

对于该不等式，描绘了如下性质：

1. 随机时间大多会集中在平均值附件
2. 若 σ 2 越 小 ， 则 事 件 \sigma^{2}越小，则事件 σ2越小，则事件 P { ∣ X − μ ∣ < ε } P\left { |X-\mu|< \varepsilon \right } P{∣X−μ∣<ε} 的概率越大,即随机变量X集中在期望附件的可能性就越大，由此可见方差确实刻画了随件变量的离散程度
3. 当方差已知时，X与他的期望值偏差不小于 ε \varepsilon ε的概率估计式，如上取3 σ \sigma σ, 则超出范围的概率约为0.111。4. 随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差， 即可对X的概率分布进行估计。

例如一班有 36 个学生，在一次考试中，平均分是 80 分，标准差是 10 分，我们便 可以得出结论.
少于 50 分(与平均相差3个标准差以上)的人数不多于4（36*0.111）个

      P 
     
     
     
       { 
      
     
       ∣ 
      
     
       X 
      
     
       − 
      
     
       80 
      
     
       ∣ 
      
     
       ≥ 
      
     
       30 
      
     
       } 
      
     
    
      ≤ 
     
     
     
       1 
      
     
       9 
      
     
    
      ≈ 
     
    
      0.111 
     
    
   
     P\left \{ |X-80|\ge30\right \}\le \frac{1}{9} \approx 0.111 
    
   
 P{∣X−80∣≥30}≤91​≈0.111

附：常见分布的期望方差