标准化
设随机变量x具有数学期望
E
(
x
)
=
μ
E(x) = \mu
E(x)=μ，方差
D
(
x
)
=
σ
2
D(x) = \sigma^{2}
D(x)=σ2。记
X
∗
=
X
−
μ
σ
X^{* } =\frac{X-\mu }{\sigma }
X∗=σX−μ, 则X*的期望和方差为：
E
(
X
∗
)
=
1
σ
E
(
X
−
μ
)
=
1
σ
[
E
(
X
)
−
μ
]
=
0
E(X^{*})= \frac{1}{\sigma} E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma }[E(X)-\mu]=0
E(X∗)=σ1E(X−μ)=σ1[E(X)−μ]=0
D
(
X
∗
)
=
E
(
X
∗
2
)
−
[
E
(
X
∗
)
2
]
=
E
[
(
x
−
μ
)
2
σ
]
=
1
σ
2
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
=
σ
2
σ
2
=
1
D(X^{*})= E(X^{*2})-[E(X^{*})^{2}]=E[\frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma } ]=\frac{1}{\sigma ^{2}}E[(X-\mu)^{2}]=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1
D(X∗)=E(X∗2)−[E(X∗)2]=E[σ(x−μ)2]=σ21E[(X−μ)2]=σ2σ2=1
即
X
∗
X^{*}
X∗的数学期望为0，方差为1。
X
∗
X^{*}
X∗为X的标准化变量，即一般的正态分布经标准化后，服从N(0,1)的标准正态分布。
切比雪夫不等式
如果随机变量X的期望μ和方差σ存在，则对任意ϵ >0,有
P
{
∣
X
−
μ
∣
≥
ε
}
≤
σ
2
ε
2
P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}}
P{∣X−μ∣≥ε}≤ε2σ2
该不等式称为切比雪夫不等式，也可以等价写为：
P
{
∣
X
−
μ
∣
<
ε
}
≥
1
−
σ
2
ε
2
P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}}
P{∣X−μ∣<ε}≥1−ε2σ2
例如当
ε
\varepsilon
ε取3
σ
\sigma
σ时，有
P
{
∣
X
−
μ
∣
<
3
σ
}
≥
1
−
1
9
≈
88.89
%
P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \approx 88.89\%
P{∣X−μ∣<3σ}≥1−91≈88.89%
对于该不等式，描绘了如下性质：
- 随机时间大多会集中在平均值附件
- 若 σ 2 越 小 ， 则 事 件 \sigma^{2}越小，则事件 σ2越小，则事件 P { ∣ X − μ ∣ < ε } P\left { |X-\mu|< \varepsilon \right } P{∣X−μ∣<ε} 的概率越大,即随机变量X集中在期望附件的可能性就越大，由此可见方差确实刻画了随件变量的离散程度
- 当方差已知时，X与他的期望值偏差不小于 ε \varepsilon ε的概率估计式，如上取3 σ \sigma σ, 则超出范围的概率约为0.111。4. 随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差， 即可对X的概率分布进行估计。
例如一班有 36 个学生，在一次考试中，平均分是 80 分，标准差是 10 分，我们便 可以得出结论.
少于 50 分(与平均相差3个标准差以上)的人数不多于4（36*0.111）个
P
{
∣
X
−
80
∣
≥
30
}
≤
1
9
≈
0.111
P\left \{ |X-80|\ge30\right \}\le \frac{1}{9} \approx 0.111
P{∣X−80∣≥30}≤91≈0.111
附：常见分布的期望方差
本文转载自: https://blog.csdn.net/db1403600882/article/details/123563934
版权归原作者 jubary 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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