2020年数学建模国赛B题穿越沙漠

• 问题重述

问题一：在整个游戏时段内每天的天气状况都已知的情况下，给出一名玩家一般情况下的完成“第一关”和“第二关”的最优策略，并将相应结果分别填入Result.xlsx。

问题二：在仅知道当天的天气状况，玩家可根据当天天气状况决定当天的行动方案的情况下，给出一名玩家一般情况下的最佳决策，并对“第三关”和“第四关”进行具体讨论。

问题三：现有相同初始资金且同时从起点出发的n名玩家。如果某天其中的任意k*(2≤k≤**n)*名玩家：

• 行走路径相同，那么每一位消耗的资源数量都是基础消耗量的2k倍；
• 同时在同一矿山挖矿，那么每一位一天挖矿收益是基础收益的；
• 同时在同一村庄购买资源，每箱价格都是基准价格的4倍。

其他情况下的资源消耗数量和单人游戏相同。

求解以下问题：

1. 在整个游戏时段内每天的天气状况都已知，每名玩家都在第0天确定行动方案且不再更改的情况下，给出玩家在一般情况下应采取的策略，并对附件中的“第五关”进行具体讨论。
2. 在所有玩家仅知道当天的天气状况的情况下，从第1天起，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量，随后确定各自第二天的行动方案。给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第六关”进行具体讨论。

• 模型假设

1. 假设计算玩家剩余水量和食物量是在一天完成所有行动之后；
2. 假设玩家到达村庄或终点时剩余水量和食物量可以为零；
3. 假设所有玩家都可以在博弈过程中做出理性抉择。

• 模型准备

游戏规则的数学表达

为了对该游戏进行数学建模求解，要将游戏规则进行数学语言的描述，便于后续对问题的数学模型建立和求解。

规则一：基本时间单位是天，游戏从第0天开始，问价位于起点。玩家必须在规定时间内到达终点，到达终点后视为该玩家游戏结束。即

规则二：穿越沙漠需要水和食物两种资源，它们的最小单位均为箱。每天玩家拥有的水和食物质量之和不能超过负重上限。若未达到终点而水或食物已耗尽，视为游戏失败。即

规则三：每天的天气为“晴朗”、“高温”、“沙暴”三种情况之一，沙漠所有区域天气相同。即

规则四：每天玩家可从地图中的某个区域到达与之相邻的另一个区域，也可在原地停留。沙暴日必须在原地停留。即

规则五：玩家在原地停留一天消耗的资源数量称为基础消耗量，行走一天消耗的资源数量为基础消耗量的2倍。即

规则六：玩家第0天可在起点处用初始资金以基准价格购买水和食物。玩家可在起点停留或回到起点，但不能多次在起点购买资源。玩家到达终点后可退回剩余的水和食物，每箱退回价格为基准价格的一半。即

规则七：玩家在矿山停留时，可通过挖矿获得资金，挖矿一天获得的资金量称为基础收益。如果挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量的3倍；如果不挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量。到达矿山当天不能挖矿。沙暴日也可挖矿。

若，即当玩家处于矿山时：

第天挖完矿后玩家剩余资金为：

规则八：玩家经过或在村庄停留时可用剩余的初始资金或挖矿获得的资金随时购买水和食物，每箱价格为基准价格的2倍。

若，即当玩家处于村庄时：

第天买完物资后玩家剩余资金Mt+1为：