HashMap源码分析(附面试题)
1.什么是哈希?
在分析HashMap之前,我们先来了解什么是哈希?
概念:Hash也称散列、哈希,对应的英文都是Hash。基本原理就是把任意长度的输入,通过Hash算法变成固定长度的输出这个映射的规则就是对应的Hash算法,而原始数据映射后的二进制串就是哈希值。
Hash的特点:
- 从hash值不可以反向推导出原始的数据
- 输入数据的微小变化会得到完全不同的hash值,相同的数据会得到相同的
- 哈希算法的执行效率要高效,长的文本也能快速地计算出哈希值
- hash算法的冲突概率要小
由于hash的原理是将输入空间的值映射成hash空间内,而hash值的空间远小于输入的空间。根据抽屉原理,一定会存在不同的输入被映射成相同输出的情况。
抽屉原理:桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
2.HashMap的继承体系
HashMap采用
key/value
存储结构,每个key对应唯一的value,查询和修改的速度都很快,能达到
O(1)
的平均时间复杂度。它是非线程安全的,且不保证元素存储的顺序。
从继承体系可以看出:
- HashMap 实现了
Cloneable
接口,可以被克隆。 - HashMap 实现了
Serializable
接口,属于标记性接口,HashMap 对象可以被序列化和反序列化。 - HashMap 继承了
AbstractMap
,父类提供了 Map 实现接口,具有Map的所有功能,以最大限度地减少实现此接口所需的工作。
3.底层存储结构
- 1.7 数组 + 链表
- 1.8 数组 + (链表 | 红黑树)
在Java中,HashMap的实现采用了(数组 + 链表 + 红黑树)的复杂结构,数组的一个元素又称作桶。
在添加元素时,会根据hash值算出元素在数组中的位置,如果该位置没有元素,则直接把元素放置在此处,如果该位置有元素了,则把元素以链表的形式放置在链表的尾部。
当一个链表的元素个数达到一定的数量(且数组的长度达到一定的长度)后,则把链表转化为红黑树,从而提高效率。
数组的查询效率为
O(1)
,链表的查询效率是
O(k)
,红黑树的查询效率是
O(log k)
,k为桶中的元素个数,所以当元素数量非常多的时候,转化为红黑树能极大地提高效率。
树化需要同时满足两个条件:
- 链表长度
大于8
,并不是大于等于8 - 数组长度
达到64
。如果数组长度不够64,会优先进行resize()
扩容。
4.内部类
Node内部类
Node
是HashMap的静态内部类,实现了
Map.Entry<K,V>
接口。我们存储的键值对都是以Node的形式存储在map中的。其重要属性如下:
staticclassNode<K,V>implementsMap.Entry<K,V>{//基于key的hashValue经过hash扰动后得到的,是hash分布更均匀finalint hash;//put进来的keyfinalK key;//对应的valueV value;//指向链表中的下一个NodeNode<K,V> next;...}
5.HashMap核心属性分析
/**
* HashMap的初始化容量(必须是 2 的 n 次幂)默认的初始容量为16
*/staticfinalint DEFAULT_INITIAL_CAPACITY =1<<4;// aka 16/**
* table最大长度
*/staticfinalint MAXIMUM_CAPACITY =1<<30;/**
* 默认的负载因子
*/staticfinalfloat DEFAULT_LOAD_FACTOR =0.75f;/**
* 树化阈值:当一个桶中的元素个数大于8时进行树化(同时需要数组长度达到64)
*/staticfinalint TREEIFY_THRESHOLD =8;/**
* 树降级为链表的阈值:当一个桶中的元素个数小于等于6时把树转化为链表
*/staticfinalint UNTREEIFY_THRESHOLD =6;/**
* Node数组,又叫作桶(bucket)
*/transientNode<K,V>[] table;/**
* 作为entrySet()的缓存
*/transientSet<Map.Entry<K,V>> entrySet;/**
* 当前哈希表中元素的个数
*/transientint size;/**
* 当前哈希表结构修改次数
*/transientint modCount;/**
* 扩容阈值,当你的哈希表中的元素超过阈值时,触发扩容(threshold = capacity * loadFactor)
*/int threshold;/**
* 负载因子(默认0.75)
*/finalfloat loadFactor;
从属性源码我们可以得到几个信息:
- 容量:容量为数组的长度,亦即桶的个数,默认为
16
,最大为2的30次方
,当容量达到64时才可以树化。 - 装载因子:用来计算容量达到多少时才进行扩容,默认装载因子为
0.75
。 - 树化:当容量达到
64
且链表的长度大于8
时进行树化,当链表的长度小于6
时反树化。
6.HashMap构造方法
HashMap()
构造一个空的HashMap,默认初始容量(16)和默认负载因子(0.75)
publicHashMap(){// 将默认的负载因子0.75赋值给loadFactor,并没有创建数组this.loadFactor = DEFAULT_LOAD_FACTOR;}
HashMap(int initialCapacity)
构造指定初始容量
initialCapacity
的HashMap,其实也是调用
HashMap(int initialCapacity,float loadFactor)
,默认的负载因子
/**
* 指定初始容量大小的构造函数
* @param initialCapacity
*/publicHashMap(int initialCapacity){this(initialCapacity, DEFAULT_LOAD_FACTOR);}
HashMap(int initialCapacity,float loadFactor)
构造一个具有指定的初始容量
initialCapacity
和负载因子
loadFactor
的 HashMap
/*
指定“容量大小”和“负载因子”的构造函数
initialCapacity:指定的容量
loadFactor:指定的负载因子
*/publicHashMap(int initialCapacity,float loadFactor){//判断初始容量initialCapacity是否小于0if(initialCapacity <0)thrownewIllegalArgumentException("Illegal initial capacity: "+
initialCapacity);//判断初始容量initialCapacity是否大于集合的最大容量MAXIMUM_CAPACITYif(initialCapacity > MAXIMUM_CAPACITY)
initialCapacity = MAXIMUM_CAPACITY;//判断负载因子loadFactor是否<=0或者是否是一个非数值if(loadFactor <=0||Float.isNaN(loadFactor))thrownewIllegalArgumentException("Illegal load factor: "+
loadFactor);//将指定的负载因子loadFactor赋值给HashMap成员变量的负载因子this.loadFactor = loadFactor;//给扩容阈值赋值(只能是2的次方)this.threshold =tableSizeFor(initialCapacity);}/**
* 作用:返回比指定cap容量大的最小2的n次幂数
* 栗子:cap=10
* n=10-1=9
* 0b1001 | 0b0100 = 0b1101
* 0b1101 | 0b0011 = 0b1111
* 0b1111 | 0b0000 = 0b1111
* 0b1111 | 0b0000 = 0b1111
* 0b1111 | 0b0000 = 0b1111
* ob1111->15
* 15>0 -> return 15+1(16)
* 模式:0001 1101 1100 => 0001 1111 1111 +1 => 0010 0000 0000
*/staticfinalinttableSizeFor(int cap){int n = cap -1;
n |= n >>>1;
n |= n >>>2;
n |= n >>>4;
n |= n >>>8;
n |= n >>>16;return(n <0)?1:(n >= MAXIMUM_CAPACITY)? MAXIMUM_CAPACITY : n +1;}
7.put方法
put方法的整体流程:
- 计算key的hash值
- 如果桶(数组)数量为0,则初始化桶
- 如果key所在的桶没有元素,则直接插入
- 如果key所在的桶中的第一个元素的key与待插入的key相同,说明找到了元素,转后续流程(9)处理
- 如果第一个元素是树节点,则调用树节点的putTreeVal()寻找元素或插入树节点
- 如果不是以上三种情况,则遍历桶对应的链表查找key是否存在于链表中
- 如果找到了对应key的元素,则转后续流程(9)处理
- 如果没找到对应key的元素,则在链表最后插入一个新节点并判断是否需要树化
- 如果找到了对应key的元素,则判断是否需要替换旧值,并直接返回旧值
- 如果插入了元素,则数量加1并判断是否需要扩容
publicVput(K key,V value){// 调用hash(key)计算出key的hash值returnputVal(hash(key), key, value,false,true);}
/**
* 作用:让key的hash值的高16位参与运算
* @param key
* @return
*/staticfinalinthash(Object key){int h;//key==null直接返回0//1、否则调用key的hashCode()方法计算出key的哈希值然后赋值给h,//2、后与h无符号右移16位后的二进制进行按位异或得到最后的hash值,//3、这样做是为了使计算出的hash更分散,让高16位可以参与(低16位具有高16位的特征)return(key ==null)?0:(h = key.hashCode())^(h >>>16);}
/**
*
* @param hash key的hash值
* @param key 原始key
* @param value 要存放的值
* @param onlyIfAbsent 如果 true 代表不更改现有的值,也就是说如果存在key就不改变,一般传入false
* @param evict 如果为false表示 table 为创建状态
* @return
*/finalVputVal(int hash,K key,V value,boolean onlyIfAbsent,boolean evict){//tab:引用当前hashMap的散列表//p:表示当前散列表的元素//n:表示散列表数组的长度//i:表示路由寻址结果Node<K,V>[] tab;Node<K,V> p;int n, i;// 如果桶的数量为0,则初始化if((tab = table)==null||(n = tab.length)==0)// 调用resize()初始化
n =(tab =resize()).length;//最简单的一种情况:寻址找到的桶位null,直接将创建一个新结点放入桶中if((p = tab[i =(n -1)& hash])==null)
tab[i]=newNode(hash, key, value,null);else{//e:不为null的话,找到一个与当前要插入的key-value一致的key元素//k:临时的一个keyNode<K,V> e;K k;//表示桶位中的该元素,与你当前插入的元素key完全一致,表示后续要进行替换操作if(p.hash == hash &&((k = p.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k))))
e = p;elseif(p instanceofTreeNode)// 如果第一个元素是树节点,则调用树节点的putTreeVal插入元素
e =((TreeNode<K,V>)p).putTreeVal(this, tab, hash, key, value);else{// 遍历这个桶对应的链表,binCount用于存储链表中元素的个数for(int binCount =0;;++binCount){//条件成立的话,说明迭代到最后一个元素了,也没找到一个与你插入的key一致的node//说明需要加入到当前链表的尾部if((e = p.next)==null){
p.next =newNode(hash, key, value,null);//条件成立的话,说明当前链表的长度达到树化的标准了,需要进行树化if(binCount >= TREEIFY_THRESHOLD -1)//树化操作treeifyBin(tab, hash);break;}//说明条件成立的化,找到了相同key的node元素,进行替换操作if(e.hash == hash &&((k = e.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k))))break;
p = e;}}//e不等于null,说明找到了一个与你插入元素key完全一致的数据,需要进行替换if(e !=null){// existing mapping for keyV oldValue = e.value;if(!onlyIfAbsent || oldValue ==null)
e.value = value;// 在节点被访问后做点什么事,在LinkedHashMap中用到afterNodeAccess(e);// 返回旧值return oldValue;}}//散列表结果修改次数加一,替换Node元素的value不计数++modCount;//插入新元素,size自增//如果大于扩容阈值,扩容if(++size > threshold)resize();// 在节点插入后做点什么事,在LinkedHashMap中用到afterNodeInsertion(evict);// 没找到元素返回nullreturnnull;}
8.resize扩容方法
整个扩容流程:
- 如果使用是默认构造方法,则第一次插入元素时初始化为默认值,容量为16,扩容门槛为12
- 如果使用的是非默认构造方法,则第一次插入元素时初始化容量等于扩容门槛,扩容门槛在构造方法里等于传入容量向上最近的2的n次方
- 如果旧容量大于0,则新容量等于旧容量的2倍,但不超过最大容量2的30次方,新扩容门槛为旧扩容门槛的2倍
- 创建一个新容量的桶
- 搬移元素,原链表分化成两个链表,低位链表存储在原来桶的位置,高位链表搬移到原来桶的位置加旧容量的位置
/**
* 为什么需要扩容?
* 为了解决hash冲突导致的链化影响查询效率的问题,扩容会缓解该问题
*
* @return
*/finalNode<K,V>[]resize(){//引用扩容前的哈希表Node<K,V>[] oldTab = table;//表示扩容之前的table数组的长度int oldCap =(oldTab ==null)?0: oldTab.length;//扩容之前的扩容阈值int oldThr = threshold;//newCap:扩容之后table数组的大小//newThr:扩容之后,下次在触发扩容的条件int newCap, newThr =0;//条件入如果成立:说明hashMap中的散列表已经初始化过了,是一次正常扩容if(oldCap >0){//如果旧容量达到最大容量,则不再进行扩容if(oldCap >= MAXIMUM_CAPACITY){
threshold =Integer.MAX_VALUE;return oldTab;}// 如果旧容量的两倍小于最大容量并且旧容量大于默认初始容量(16),则容量扩大为两部,扩容门槛也扩大为两倍elseif((newCap = oldCap <<1)< MAXIMUM_CAPACITY &&
oldCap >= DEFAULT_INITIAL_CAPACITY)
newThr = oldThr <<1;// double threshold}elseif(oldThr >0)// initial capacity was placed in threshold//使用非默认构造方法创建的map,第一次插入元素会走到这里//1.new HashMap(initCap,loadFactor);//2.new HashMap(initCap);//3.new HashMap(map); map有数据// 如果旧容量为0且旧扩容门槛大于0,则把新容量赋值为旧门槛
newCap = oldThr;else{//使用默认构造方法创建的map,第一次插入元素会走这里
newCap = DEFAULT_INITIAL_CAPACITY;//如果旧容量旧扩容门槛都是0,说明还未初始化过,则初始化容量为默认容量,扩容门槛为默认容量*默认装载因子
newThr =(int)(DEFAULT_LOAD_FACTOR * DEFAULT_INITIAL_CAPACITY);}if(newThr ==0){//如果旧容量旧扩容门槛都是0,说明还未初始化过,则初始化容量为默认容量,扩容门槛为默认容量*默认装载因子float ft =(float) newCap * loadFactor;
newThr =(newCap < MAXIMUM_CAPACITY && ft <(float) MAXIMUM_CAPACITY ?(int) ft :Integer.MAX_VALUE);}//赋值扩容门槛为新门槛
threshold = newThr;//创建一个新容量的数组@SuppressWarnings({"rawtypes","unchecked"})Node<K,V>[] newTab =(Node<K,V>[])newNode[newCap];//把桶赋值为新数组
table = newTab;//如果旧数组不为空,则搬移元素if(oldTab !=null){//遍历旧数组for(int j =0; j < oldCap;++j){//当前node节点Node<K,V> e;//如果当前桶中第一个元素不为空,说明当前桶位有数据,赋值给eif((e = oldTab[j])!=null){//清空旧桶,方便JVM GC时回收内存
oldTab[j]=null;if(e.next ==null)//第一种情况:当前桶位只有一个元素,从未发生过碰撞//该情况直接计算出当前元素应该存放的新数组中的位置,然后扔进去就行
newTab[e.hash &(newCap -1)]= e;elseif(e instanceofTreeNode)//第二种情况:当前桶位已经树化,则把这颗树打散成两颗树插入到新桶中去((TreeNode<K,V>) e).split(this, newTab, j, oldCap);else{//第三种情况:链表情况// 比如,假如原来容量为4,3、7、11、15这四个元素都在三号桶中// 现在扩容到8,则3和11还是在三号桶,7和15要搬移到七号桶中去// 也就是分化成了两个链表//低位链表:存放在扩容之后下标位置与当前数组下标位置一致Node<K,V> loHead =null, loTail =null;//高位链表:存放在扩容之后的数组的下标位置=为当前数组下标位置+扩容之前数组的长度Node<K,V> hiHead =null, hiTail =null;Node<K,V> next;do{
next = e.next;// (e.hash & oldCap) == 0的元素放在低位链表中//比如3&4==0if((e.hash & oldCap)==0){if(loTail ==null)
loHead = e;else
loTail.next = e;
loTail = e;}else{// (e.hash & oldCap) != 0的元素放在高位链表中//比如,7&4!=0if(hiTail ==null)
hiHead = e;else
hiTail.next = e;
hiTail = e;}}while((e = next)!=null);// 遍历完成分化成两个链表了// 低位链表在新桶中的位置与旧桶一样(即3和11还在三号桶中)if(loTail !=null){
loTail.next =null;
newTab[j]= loHead;}// 高位链表在新桶中的位置正好是原来的位置加上旧容量(即7和15搬移到七号桶了)if(hiTail !=null){
hiTail.next =null;
newTab[j + oldCap]= hiHead;}}}}}return newTab;}
9.get方法
publicVget(Object key){Node<K,V> e;//这里hash(key)是因为put的时候hash了,这里取自然也需要hashreturn(e =getNode(hash(key), key))==null?null: e.value;}finalNode<K,V>getNode(int hash,Object key){//引用当前hashMap的散列表Node<K,V>[] tab;//first:桶位中的头元素//e:临时node元素Node<K,V> first, e;//n:table数组长度int n;K k;// 如果桶的数量大于0并且待查找的key所在的桶的第一个元素不为空if((tab = table)!=null&&(n = tab.length)>0&&(first = tab[(n -1)& hash])!=null){// 检查第一个元素是不是要查的元素,如果是直接返回if(first.hash == hash &&// always check first node((k = first.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k))))return first;// 第一个元素不是要查找的元素,并且当前桶位不止一个元素,可能存在链表或者树if((e = first.next)!=null){// 如果第一个元素是树节点,则按树的方式查找if(first instanceofTreeNode)return((TreeNode<K,V>) first).getTreeNode(hash, key);// 否则就遍历整个链表查找该元素do{if(e.hash == hash &&((k = e.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k))))return e;}while((e = e.next)!=null);}}returnnull;}
get方法具体分这几步:
- 计算key的hash值
- 找到key所在的桶及其第一个元素
- 如果第一个元素的key等于待查找的key,直接返回
- 如果第一个元素是树节点就按树的方式来查找
- 否则就按链表方式查找
10.remove方法
publicVremove(Object key){Node<K,V> e;return(e =removeNode(hash(key), key,null,false,true))==null?null: e.value;}finalNode<K,V>removeNode(int hash,Object key,Object value,boolean matchValue,boolean movable){//引用当前hashMap中的散列表Node<K,V>[] tab;//当前node元素Node<K,V> p;//n:表示散列表数组长度//index:表示寻址结果int n, index;// 如果桶的数量大于0且待删除的元素所在的桶的第一个元素不为空if((tab = table)!=null&&(n = tab.length)>0&&(p = tab[index =(n -1)& hash])!=null){//node:表示查找到的结果//e:表示当前node的下一个元素Node<K,V> node =null, e;K k;V v;// 如果第一个元素正好就是要找的元素,赋值给node变量后续删除使用if(p.hash == hash &&((k = p.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k))))
node = p;// 第一个元素不是要查找的元素,并且当前桶位不止一个元素,可能存在链表或者树elseif((e = p.next)!=null){if(p instanceofTreeNode)// 如果第一个元素是树节点,则以树的方式查找节点
node =((TreeNode<K,V>) p).getTreeNode(hash, key);else{// 否则遍历整个链表查找元素do{if(e.hash == hash &&((k = e.key)== key ||(key !=null&& key.equals(k)))){
node = e;break;}
p = e;}while((e = e.next)!=null);}}// 如果找到了元素,则看参数是否需要匹配value值,如果不需要匹配直接删除,如果需要匹配则看value值是否与传入的value相等if(node !=null&&(!matchValue ||(v = node.value)== value ||(value !=null&& value.equals(v)))){if(node instanceofTreeNode)// 如果是树节点,调用树的删除方法(以node调用的,是删除自己)((TreeNode<K,V>) node).removeTreeNode(this, tab, movable);elseif(node == p)// 如果待删除的元素是第一个元素,则把第二个元素移到第一的位置
tab[index]= node.next;else// 否则删除node节点,将当前元素p的下一个元素设置为删除元素的下一个元素
p.next = node.next;++modCount;--size;// 删除节点后置处理afterNodeRemoval(node);return node;}}returnnull;}
整个remove流程分为这几步:
- 先查找元素所在的节点
- 如果找到的节点是树节点,则按树的移除节点处理
- 如果找到的节点是桶中的第一个节点,则把第二个节点移到第一的位置
- 否则按链表删除节点处理
- 修改size,调用移除节点后置处理等
11.总结
- HashMap是一种散列表,采用(数组 + 链表 + 红黑树)的存储结构
- HashMap的默认初始容量为
16
(1<<4),默认装载因子为0.75f
,容量总是2的n次方 - HashMap扩容时每次容量变为原来的两倍
- 当桶的数量小于64时不会进行树化,只会扩容
- 当桶的数量大于64且单个桶中元素的数量大于8时,进行树化
- 当单个桶中元素数量小于6时,进行反树化
- HashMap是非线程安全的容器
- HashMap查找添加元素的时间复杂度都为
O(1)
HashMap在JDK1.7和1.8中不同
- 1.7 数组 + 链表
- 1.8 数组 + (链表 | 红黑树)
为啥要用红黑树?
红黑树用来避免
DoS
攻击,防止链表超长时性能下降,树化应当是偶然情况,是保底策略
为何不一上来就树化?
- hash 表的查找,更新的时间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1),而红黑树的查找,更新的时间复杂度是 O ( l o g 2 n ) O(log_2n ) O(log2n)
- TreeNode 占用空间也比普通 Node 的大,如非必要,尽量还是使用链表
树化阈值为何是8?
hash 值如果足够随机,则在 hash 表内按泊松分布,在负载因子
0.75
的情况下,长度超过 8 的链表出现概率是 0.00000006,树化阈值选择 8 就是为了让树化几率足够小
树化规则
- 当链表长度超过树化阈值 8 时,先尝试扩容来减少链表长度,如果数组容量已经 >=64,才会进行树化
- 树化的两个条件:链表长度超过树化阈值
>8
&& 数组容量>=64
退化规则
- 情况1:在扩容时如果拆分树时,树元素个数
<= 6
则会退化链表 - 情况2:移除之前,remove 树节点时,若 root、root.left、root.right、root.left.left 有一个为 null ,也会退化为链表
索引计算方法
- 首先,计算对象的
hashCode()
- 再进行调用 HashMap 的
hash()
方法进行二次哈希。二次 hash() 是为了综合高位数据,让哈希分布更为均匀 - 最后
& (capacity – 1)
得到索引
数组容量为何是 2 的 n 次幂
- 计算索引时效率更高:如果是 2 的 n 次幂可以使用位与运算代替取模
- 扩容时重新计算索引效率更高: hash & oldCap == 0 的元素留在原来位置 ,否则新位置 = 旧位置 + oldCap
注意:
- 二次 hash 是为了配合 容量是 2 的 n 次幂 这一设计前提,如果 hash 表的容量不是 2 的 n 次幂,则不必二次 hash
- 容量是 2 的 n 次幂 这一设计计算索引效率更好,但 hash 的分散性就不好,需要二次 hash 来作为补偿,没有采用这一设计的典型例子是 Hashtable
put 流程
- HashMap 是懒惰创建数组的,首次使用才创建数组
- 计算索引(桶下标)
- 如果桶下标还没人占用,创建 Node 占位返回
- 如果桶下标已经有人占用 - 已经是 TreeNode 走红黑树的添加或更新逻辑- 是普通 Node,走链表的添加或更新逻辑,如果链表长度超过树化阈值,走树化逻辑
- 返回前检查容量是否超过阈值,一旦超过进行扩容
put流程1.7中和1.8的区别
- 链表插入节点时,
1.7 是头插法
,1.8 是尾插法
- 1.7 是大于等于阈值且没有空位时才扩容,而 1.8 是大于阈值就扩容
- 1.8 在扩容计算 Node 索引时,会优化
扩容(加载)因子为何默认是 0.75f
- 在空间占用与查询时间之间取得较好的权衡
- 大于这个值,空间节省了,但链表就会比较长影响性能
- 小于这个值,冲突减少了,但扩容就会更频繁,空间占用也更多
key 的设计要求
- HashMap 的 key 可以为 null,但 Map 的其他实现则不然(Hashtable等)
- 作为 key 的对象,必须实现 hashCode 和 equals,并且 key 的内容不能修改(不可变)
- key 的 hashCode 应该有良好的散列性
- 如果 key 可变,例如修改了 age 会导致再次查询时查询不到
String 对象的 hashCode() 设计
- 目标是达到较为均匀的散列效果,每个字符串的 hashCode 足够独特
- 字符串中的每个字符都可以表现为一个数字,称为 S i S_i Si,其中 i 的范围是 0 ~ n - 1
- 散列公式为: S 0 ∗ 3 1 ( n − 1 ) + S 1 ∗ 3 1 ( n − 2 ) + … S i ∗ 3 1 ( n − 1 − i ) + … S ( n − 1 ) ∗ 3 1 0 S_0∗31^{(n-1)}+ S_1∗31^{(n-2)}+ … S_i ∗ 31^{(n-1-i)}+ …S_{(n-1)}∗31^0 S0∗31(n−1)+S1∗31(n−2)+…Si∗31(n−1−i)+…S(n−1)∗310
- 31 代入公式有较好的散列特性,并且 31 * h 可以被优化为 - 即 $32 ∗h -h $- 即 2 5 ∗ h − h 2^5 ∗h -h 25∗h−h- 即 h ≪ 5 − h h≪5 -h h≪5−h
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