SVM 支持向量机算法（Support Vector Machine ）【Python机器学习系列（十四）】
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大家好，我是侯小啾！
今天分享的内容是支持向量机算法的逻辑，及其python实现。
1.SVM简介
在深度学习出现之前，支持向量机 被称为表现最好的算法。支持向量机算法适用于一些复杂数据的分类。现在更多用的是深度学习，深度学习的效果大于SVM。但是SVM作为经典算法，还是十分重要，是学习机器学习过程的必修内容。
SVM具有两个特点：1.适合小样本。2.数学逻辑优美。
支持向量机算法分为线性可分的支持向量机 和 非线性可分的支持向量机。
线性可分样本集：只要我们可以用一条直线可以把样本集的两类完全分开，就可以将其称为线性可分样本集。反之，称为非线性可分样本集。
支持向量机的超平面具有唯一性。可以分割样本数据的线（或超平面）存在有无数条，但是只有一条是最好的。找到这条线（或超平面），是支持向量机算法要做的。
SVM算法的目标即为：找到使分类间隔最小距离d 最大的超平面。
2. SVM 逻辑推导
2.1 Part1 化简限制条件
给定样本数据集，假设样本特征为X，样本标签为y。
每个样本的特征值可以展示为：
x1x_1x1,x2x_2x2,x3x_3x3,…xnx_nxn。y 的取值只能有+1和-1.
欲将这些样本分为二类，则需要找到中间的超平面。该超平面表示为：
ωTx+b=0\omega^Tx + b = 0ωTx+b=0
其中
ω\omegaω 称为法向量，其决定了超平面的方向。
点到超平面的距离可以表示为
ri=∣ωTxi+b∣∣∣ω∣∣r_i = \frac{|\omega^Tx_i + b |}{||\omega||}ri=∣∣ω∣∣∣ωTxi+b∣
这里的
xix_ixi指的不再是超平面上的点，而是样本点的向量。
以二维的情况中点与线的关系为例进行说明，假设有一个点 点A(m,n) 和一条线ax+by+c=0，则当点在线上时，直线的等号会刚好成立。当点分布于直线的两侧时，分别可写作am+bn+c>0，am+bn+c<0。多维情况下，也是同理。
再结合点到超平面的距离公式，
rir_iri也可以写为：ri=ωTxi+b∣∣ω∣∣yir_i =\frac{\omega^Tx_i + b}{||\omega||}y_iri=∣∣ω∣∣ωTxi+byi
其中，位于超平面
ωTxi+b=0\omega^Tx_i + b = 0ωTxi+b=0 左右的标签对应的y_i的正负不要设定反了，只有设定正确该公式才可以保证得到正值。不然的话保证得到的就会是负值。
然后就是要寻找 支持向量。支持向量是距离超平面最近的点的向量，分布在超平面的两边，所以这样的点至少有两个，即支持向量至少有两个。（至少左右各一个）。
我们下一步要做的，即：求
rir_iri关于xix_ixi的极小值，再求该极小值关于ω\omegaω和bbb的极大值。
对该距离公式的分子，
ωTxi+b\omega^Tx_i + bωTxi+b，即超平面的方程ωTx+b=0\omega^Tx + b = 0ωTx+b=0 的一部分，考虑到超平立面的方程，就像二维的直线方程一样是可以放缩的（登号两边同乘以一个数），因此可以通过放缩，使得ωTxi+b=1\omega^Tx_i + b =1ωTxi+b=1成立。以此作为限制条件，这样就可以把分母消去了。
该约束条件可表示为
ri=ωTxi+b∣∣ω∣∣yi≥1∣∣ω∣∣r_i =\frac{\omega^Tx_i + b}{||\omega||}y_i≥\frac{1}{||\omega||}ri=∣∣ω∣∣ωTxi+byi≥∣∣ω∣∣1
提示：这里的限制条件只用了一个表达式表示，实际上有m个（m也是样本点的个数）。每个样本点对应一个限制条件。
当且仅目标当样本
xix_ixi为支持向量时，等号成立，取得点到超平面的最小距离1∣∣ω∣∣\frac{1}{||\omega||}∣∣ω∣∣1。
目标函数，即点到超平面的最小距离
1∣∣ω∣∣\frac{1}{||\omega||}∣∣ω∣∣1。要使该最小距离最大化，即∣∣ω∣∣||\omega||∣∣ω∣∣最小，为了后边计算方便，进一步将研究问题及表达式转化为，求12∣∣ω∣∣2\frac{1}{2}||\omega||^221∣∣ω∣∣2关于ω\omegaω和bbb的最小值。
目标函数即：
minω,b12∣∣ω∣∣2min_{\omega,b}\frac{1}{2}||\omega||^2minω,b21∣∣ω∣∣2
进一步，限制条件可再转化为：
(ωTxi+b)yi−1≥0(\omega^Tx_i + b)y_i-1 ≥ 0(ωTxi+b)yi−1≥0
2.2 Part2 SVM拉格朗日乘子法求解
现在我们已经得到了目标函数表达式与限制条件的表达式，可以使用拉格朗日乘子法对其进行求解。
构建拉格朗日函数表达式如下：
L(ω,b,λ)=12∣∣ω∣∣2+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]L(\omega,b,\lambda)=\frac{1}{2}||\omega||^2+\sum_{i=1}^{m}{\lambda_i}{[1-(\omega^Tx_i+b)y_i]}L(ω,b,λ)=21∣∣ω∣∣2+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]=12ωTω+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]=\frac{1}{2}\omega^T \omega+\sum_{i=1}^{m}{\lambda_i}{[1-(\omega^Tx_i+b)y_i]}=21ωTω+∑i=1mλi[1−(ωTxi+b)yi]
目标问题是一个凸二次规划问题：目标函数是二次型函数，且约束函数是仿射函数。所以该问题有全局最小值。
其中，
λ\lambdaλ是拉格朗日乘子，这里的m是样本的个数，每个样本对应一个拉格朗日算子，共计m个拉格朗日算子，对应m个限制条件。对F(ω,b,λ)对F(\omega,b,\lambda)对F(ω,b,λ)求关于ω\omegaω 和bbb的偏导，并令其为0，再求解：∂L(ω,b,λ)∂ω=ω−∑i=1mλiyixi=0\frac{∂L(\omega,b,\lambda)}{∂\omega}=\omega-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i=0∂ω∂L(ω,b,λ)=ω−∑i=1mλiyixi=0∂L(ω,b,λ)∂b=−∑i=1mλiyi=0\frac{∂L(\omega,b,\lambda)}{∂b}=-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0∂b∂L(ω,b,λ)=−∑i=1mλiyi=0
解得
ω=∑i=1mλiyixi\omega=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_iω=∑i=1mλiyixi0=∑i=1mλiyi0=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i0=∑i=1mλiyi
将求解结果带回原
L(ω,b,λ)L(\omega,b,\lambda)L(ω,b,λ)，并进一步化简得：L(ω,b,λ)=12ωTω+∑i=1mλi−ωT∑i=1mλiyixi−b∑i=1mλiyiL(\omega,b,\lambda)=\frac{1}{2}\omega^T \omega+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i -\omega^T\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i-b\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_iL(ω,b,λ)=21ωTω+∑i=1mλi−ωT∑i=1mλiyixi−b∑i=1mλiyi=∑i=1mλi−12ωTω=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\omega^T\omega=∑i=1mλi−21ωTω=∑i=1mλi−12(∑i=1mλiyixi)T(∑i=1mλiyixi)=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i - \frac{1}{2}( \sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i)^T (\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i)=∑i=1mλi−21(∑i=1mλiyixi)T(∑i=1mλiyixi)=∑i=1mλi−12∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj=\sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j=∑i=1mλi−21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj
上边已经说到，将这两个表达式带入
L(ω,b,λ)L(\omega,b,\lambda)L(ω,b,λ)后，我们得到的新的表达式中已经没有了ω\omegaω和bbb，只剩下的参数为λ\lambdaλ，这个新表达式的限制条件即为我们带入的两个式子，这两个式子表示该表达式关于ω\omegaω和bbb的极小值。
进而求关于
λ\lambdaλ的极值，到此要求解的函数已经转化为：∑i=1mλi−12∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj\sum_{i=1}^{m}\lambda_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j∑i=1mλi−21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj
要求解的是该式关于
λ\lambdaλ的极大值，所以也即求解12∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi
的极小值。
限制条件为：
s.t.s.t.s.t.∑i=1mλiyi=0\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0∑i=1mλiyi=0λi≥0\lambda_i≥0λi≥0, i=1,2,…,m
2.3 Part3 求解超平面
目标函数：
minω,bmin_{\omega,b}minω,b12∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\lambda_i\lambda_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i21∑i=1m∑j=1mλiλjyiyjxiTxj−∑i=1mλi
限制条件：
s.t.s.t.s.t.∑i=1mλiyi=0\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0∑i=1mλiyi=0λi≥0\lambda_i≥0λi≥0, i=1,2,…,m
然后接下来，不难发现这是一个二次规划问题，将每个样本点的
xix_ixi、yiy_iyi替换为样本值数字，然后求目标函数关于λ1\lambda_1λ1，λ2\lambda_2λ2，… ，λn\lambda_nλn的偏导数，并令其等于0，从而得到m个等式，联立这 m 个等式，以及∑i=1mλiyi=0\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_i=0∑i=1mλiyi=0进行求解。理论上即可以求出λ1\lambda_1λ1，λ2\lambda_2λ2，… ，λn\lambda_nλn的值。
再将这些值代入表达式
ω∗=∑i=1mλiyixi\omega^*=\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_iω∗=∑i=1mλiyixi 即可求解出ω∗\omega^*ω∗。（ω1\omega_1ω1,ω2\omega_2ω2, … ,ωn\omega_nωn）
再由公式
b∗=y−∑i=1mλiyixiTxib^* =y-\sum_{i=1}^{m}\lambda_iy_ix_i^Tx_ib∗=y−∑i=1mλiyixiTxi
代入支持向量，即可求得参数b的值。这是一种解方程的思路。但是这种方法过于繁琐，只是理论上可行。
在解决这个问题方面，先辈们提出了很多高效的算法，比如
SMO算法
（Sequential Minimal Optimization）。
使用梯度下降法，也可以如愿求得超平面的方程。
最后，根据下式（符号函数sgn）即可对样本数据进行分类：
f(x)=sgn(ω∗Tx+b∗)f(x)=sgn(\omega^{*T}x+b^*)f(x)=sgn(ω∗Tx+b∗)
3.核函数
到此我们已经完整地实现了线性可分的支持向量机。但是现实中目标数据未必一直是线性可分的。面对这样的情况，我们可以使用 核函数 对原始目标数据进行“升维”操作。
如果原始数据是有限维的，那么一定会存在一个更高维的特征空间使得样本线性可分。
用
ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)表示xxx经过映射后的特征向量，则核函数可以表示为k(xi,xj)=<ϕ(xi),ϕ(xj)>=ϕ(xi)Tϕ(xj)k(x_i,x_j)=<\phi(x_i),\phi(x_j)>=\phi(x_i)^T\phi(x_j)k(xi,xj)=<ϕ(xi),ϕ(xj)>=ϕ(xi)Tϕ(xj)
核函数的具体形式我们通常是不知道的。
但是
核函数定理
表明，只要一个对称函数（
k(xi,xi)k(x_i,x_i)k(xi,xi)）对应的核矩阵半正定，它就能作为核函数使用。
几种常用的核函数如下：
核函数描述参数线性核
k(xi,xj)=xiTxjk(x_i,x_j)=x_i^Tx_jk(xi,xj)=xiTxj无多项式核k(xi,xj)=(xiTxj)dk(x_i,x_j)=(x_i^Tx_j)^dk(xi,xj)=(xiTxj)dd≥1d≥1d≥1，表示多项式的次数高斯核k(xi,xj)=exp(−∣∣xi−xj∣∣22σ2)k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j||^2}{2\sigma^2})k(xi,xj)=exp(−2σ2∣∣xi−xj∣∣2)σ＞0\sigma＞0σ＞0，为高斯核的带宽(width)拉普拉斯核k(xi,xj)=exp(−∣∣xi−xj∣∣σ)k(x_i,x_j)=exp(-\frac{||x_i-x_j||}{\sigma})k(xi,xj)=exp(−σ∣∣xi−xj∣∣)σ＞0\sigma＞0σ＞0Sigmoid核k(xi,xj)=tanh(βxiT+θ)k(x_i,x_j)=tanh(\beta x_i^T+\theta)k(xi,xj)=tanh(βxiT+θ)tanh是双曲正切函数，β>0,θ<0\beta>0,\theta<0β>0,θ<0
其中，高斯核函数，也称径向基函数（Radial Basis Function 简称RBF）。
此外，核函数也可以通过多个核函数与正数的线性组合得到，如
ak1+bk2ak_1+bk_2ak1+bk2；
也可以通过两个核函数的直积得到：
k1(x,z)k2(x,z)k_1(x,z)k_2(x,z)k1(x,z)k2(x,z)；
也可以通过任意函数g(x)得到：
g(x)k1(x,z)g(z)g(x)k1(x,z)g(z)g(x)k1(x,z)g(z)。
4. 软间隔支持向量机
线性可分支持向量机中的约束条件要求所有的样本都必须划分正确，这个间隔称为“硬间隔”。这也导致线性可分的支持向量机可能带来过拟合的问题，为了缓解这个问题，可以通过使用 软间隔 来允许支持向量机在对少数样本分类时出错。
于是，经过优化的目标函数可以写为：
minω,bmin_{\omega,b}minω,b12∣∣ω∣∣2+C∑i=1mφ0/1(yi(ωTxi+b)−1)\frac{1}{2}||\omega||^2+C\sum_{i=1}^{m}\varphi_{0/1}(y_i(\omega^Tx_i+b)-1)21∣∣ω∣∣2+C∑i=1mφ0/1(yi(ωTxi+b)−1)
其中，C>0，C是一个常数。C越大，则分类的准确性就会越高，但是会因为过拟合导致，泛化能力会变差
C越小则分类的准确性会越低。
φ0/1\varphi_{0/1}φ0/1是损失函数:φ0/1(z)={1,ifz<0;0,otherwise\varphi_{0/1}(z)=\left\{ \begin{aligned} 1 &,& if\quad z<0; \\ 0&,&otherwise \end{aligned} \right.φ0/1(z)={10,,ifz<0;otherwise
然而这个损失函数的性质不太好导致后续不易求解，所以可以使用“替代损失”函数，
三种常用的替代损失函数如下：
hinge损失：
φhinge(z)=max(0,1−z)\varphi_{hinge}(z)=max(0,1-z)φhinge(z)=max(0,1−z)
指数损失
φexponentialloss=exp(−z)\varphi_{exponential loss}=exp(-z)φexponentialloss=exp(−z)
对率损失
φlogisticloss=log(1+exp(−z))\varphi_{logistic loss}=log(1+exp(-z))φlogisticloss=log(1+exp(−z))
5. 支持向量回归 SVR
线性可分的支持向量机SVM通过求解出的超平面对数据进行分类，因此该算法不仅仅可以分类，也可以稍作迁移，当作回归算法来使用。求解超平面的过程，也即求解回归方程的过程，该过程被称为支持向量回归（SVR）。
显然，支持向量回归不同于传统的回归过程，传统的回归过程会计算所有回归值与真实值之间的损失，但是SVR则会假设一个
ϵ\epsilonϵ作为一个偏差值，只有当真实值与回归值的差别绝对值大于ϵ\epsilonϵ时，才会计算损失。（即形成了一条“隔离带”，在隔离带外的点才计算损失）
6.python实现支持向量机
6.1 方法详解
sklearn.svm中提供了SVC, SVR，LinearSVC, LinearSVR, NuSVC, NuSVR, OneClassSVM, l1_min_c一系列类。
其中，SVC和SVR分别对应着通用的 支持向量机 和 支持向量回归，可以通过改变其参数来灵活应用。默认使用高斯核函数(即默认参数 kernel=“rbf”)。参数C即正则化常数，默认为1且大于0，正则化的程度与C成反比，C越大，则算法区域迫使所有样本满足约束，以至于可能导致过拟合；C取有限制时则会允许一些样本不满足约束。
其中，使用核函数时，参数kernel可用的值汇总如下：
参数值描述‘rbf’高斯核函数，也称径向基函数，是默认值‘linear’线性核函数‘poly’多项式核函数‘sigmoid’Sigmoid核函数‘precomputed’自定义核
LinearSVC, LinearSVR即为线性支持向量机，和线性支持向量回归，相当于是指定使用线性核的SVC和SVR。所以没有kernel参数，不能指定核函数。
NuSVC支持向量机，NuSVR支持向量回归，与SCV和SCR不同的是，NuSVC支持向量机和NuSVR支持向量回归没有参数C，但是有一个nu参数。
参数nu代表训练集训练的错误率的上限，或者说是支持向量的百分比下限，取值范围为(0,1]，默认为0.5.它和惩罚系数C类似，都可以控制惩罚的力度。nu可以理解为是C的再参数化，在数学上是等效的。
此外，其默认也是使用rbf核函数（高斯核函数）。
类OneClassSVM实现了一个用于离群点检测的类；l1_min_c是用于计算C的下界，以便获得非“空”（所有特征权重为零）模型的。这里在这方面不做过多深入。
6.2 案例展示
使用支持向量机对葡萄酒数据进行分类为例，过程中使用线性核函数，且指定正则化常数C为2（默认为1）。算法的逻辑虽然有些复杂，但是代码非常简单。
from sklearn.svm import SVCfrom sklearn.datasets import load_winefrom sklearn.model_selection import train_test_splitwine = load_wine()x_data = wine.datay_data = wine.targetx_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x_data, y_data, random_state=1)model = SVC(C=2, kernel='linear')model.fit(x_train, y_train)test_score = model.score(x_test,y_test)pred = model.predict(x_test)print('模型得分：{:.3f}'.format(model.score(x_test, y_test)))print(pred)
模型得分与预测结果如下图所示：
本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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