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滑模控制理论(SMC)

滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)

滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论,其核心为李雅普诺夫函数,滑膜控制的核心是建立一个滑模面,将被控系统拉倒滑模面上来,使系统沿着滑模面运动,滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数,采取一种比较暴力的方式来达到控制目的,但是这种暴力也带来了一些问题,就是正负信号的高频切换,一般的硬件是无法进行信号的高频切换的,所以需要一些其他的方式避免这个问题,还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡,导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡,这种震荡是无法消除的,这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

系统建模

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程

          x
         
         
          ˙
         
        
        
         1
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          x
         
         
          ˙
         
        
        
         2
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         u
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber \\ \dot x_2 &= u \nonumber \\ \end{align} 
   
  
 x˙1​x˙2​​=x2​=u​​

我们的控制目标很明确,就是希望

     x
    
    
     1
    
   
   
    =
   
   
    0
   
   
    ,
   
   
    
     x
    
    
     2
    
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   x_1 = 0,x_2=0
  
 
x1​=0,x2​=0

设计滑模面

     s
    
    
     =
    
    
     c
    
    
     
      x
     
     
      1
     
    
    
     +
    
    
     
      x
     
     
      2
     
    
   
   
     s=cx_1+x_2 
   
  
 s=cx1​+x2​

这里有个问题就是,滑模面是个什么东西,为什么要设计成这个样子,为什么不是别的样子,其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么,是

     x
    
    
     1
    
   
   
    =
   
   
    0
   
   
    ,
   
   
    
     x
    
    
     2
    
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   x_1 = 0,x_2=0
  
 
x1​=0,x2​=0,那如果

 
  
   
    s
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=0
  
 
s=0呢

 
  
   
    
     
      
       
        
         
          {
         
         
          
           
            
             
              
               c
              
              
               
                x
               
               
                1
               
              
              
               +
              
              
               
                x
               
               
                2
               
              
              
               =
              
              
               0
              
             
            
           
          
          
           
            
             
              
               
                
                 x
                
                
                 ˙
                
               
               
                1
               
              
              
               =
              
              
               
                x
               
               
                2
               
              
             
            
           
          
         
        
        
         ⇒
        
        
         c
        
        
         
          x
         
         
          1
         
        
        
         +
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          1
         
        
        
         =
        
        
         0
        
        
         ⇒
        
        
         
          {
         
         
          
           
            
             
              
               
                x
               
               
                1
               
              
              
               =
              
              
               
                x
               
               
                1
               
              
              
               (
              
              
               0
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 −
                
                
                 c
                
                
                 t
                
               
              
             
            
           
          
          
           
            
             
              
               
                x
               
               
                2
               
              
              
               =
              
              
               −
              
              
               c
              
              
               
                x
               
               
                1
               
              
              
               (
              
              
               0
              
              
               )
              
              
               
                e
               
               
                
                 −
                
                
                 c
                
                
                 t
                
               
              
             
            
           
          
         
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{equation} \begin{cases} cx_1 + x_2 = 0 \\ \dot x_1 = x_2 \\ \end{cases} \Rightarrow cx_1+\dot x_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_1(0)e^{-ct} \\ x_2 = -cx_1(0)e^{-ct} \\ \end{cases} \nonumber \end{equation} 
   
  
 {cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​⇒cx1​+x˙1​=0⇒{x1​=x1​(0)e−ctx2​=−cx1​(0)e−ct​​

可以看出状态量最终都会趋于0,而且是指数级的趋于0。

    c
   
  
  
   c
  
 
c 越大,速度也就越快。所以如果满足

 
  
   
    s
   
   
    =
   
   
    c
   
   
    
     x
    
    
     1
    
   
   
    +
   
   
    
     c
    
    
     2
    
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=cx_1+c_2=0
  
 
s=cx1​+c2​=0,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零,(

 
  
   
    s
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=0
  
 
s=0称之为滑模面)

设计趋近律

上面说,如果

    s
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=0
  
 
s=0 状态变量最终会趋于0,可以如何保证 

 
  
   
    s
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=0
  
 
s=0 呢,这就是控制率 

 
  
   
    u
   
  
  
   u
  
 
u 需要保证的内容了

 
  
   
    
     
      s
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     c
    
    
     
      
       x
      
      
       ˙
      
     
     
      1
     
    
    
     +
    
    
     
      
       x
      
      
       ˙
      
     
     
      2
     
    
    
     =
    
    
     c
    
    
     
      x
     
     
      2
     
    
    
     +
    
    
     u
    
   
   
     \dot s = c \dot x_1 + \dot x_2 = cx_2+u 
   
  
 s˙=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u

趋近律就是指

     s
    
    
     ˙
    
   
  
  
   \dot s
  
 
s˙ ,趋近律的一般有以下几种设计

 
  
   
    
     {
    
    
     
      
       
        
         
          
           s
          
          
           ˙
          
         
         
          =
         
         
          −
         
         
          ε
         
         
          s
         
         
          g
         
         
          n
         
         
          (
         
         
          s
         
         
          )
         
         
          ,
         
         
          ε
         
         
          >
         
         
          0
         
        
       
      
     
     
      
       
        
         
          
           s
          
          
           ˙
          
         
         
          =
         
         
          −
         
         
          ε
         
         
          s
         
         
          g
         
         
          n
         
         
          (
         
         
          s
         
         
          )
         
         
          −
         
         
          k
         
         
          s
         
         
          ,
         
         
          ε
         
         
          >
         
         
          0
         
         
          ,
         
         
          k
         
         
          >
         
         
          0
         
        
       
      
     
     
      
       
        
         
          
           s
          
          
           ˙
          
         
         
          =
         
         
          −
         
         
          k
         
         
          ∣
         
         
          s
         
         
          
           ∣
          
          
           α
          
         
         
          s
         
         
          g
         
         
          n
         
         
          (
         
         
          s
         
         
          )
         
         
          ,
         
         
          0
         
         
          <
         
         
          α
         
         
          <
         
         
          1
         
        
       
      
     
    
   
   
     \begin {cases} \dot s = - \varepsilon sgn(s), \varepsilon > 0 \\ \dot s = - \varepsilon sgn(s)-ks, \varepsilon > 0 , k>0\\ \dot s = - k|s|^{\alpha}sgn(s), 0 < \alpha < 1 \end{cases} 
   
  
 ⎩⎨⎧​s˙=−εsgn(s),ε>0s˙=−εsgn(s)−ks,ε>0,k>0s˙=−k∣s∣αsgn(s),0<α<1​

 
  
   
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      {
     
     
      
       
        
         
          
           1
          
          
           ,
          
          
           s
          
          
           >
          
          
           0
          
         
        
       
      
      
       
        
         
          
           −
          
          
           1
          
          
           ,
          
          
           s
          
          
           <
          
          
           0
          
         
        
       
      
     
    
   
   
     sgn(s) = \begin{cases} 1,s>0 \\ -1,s<0 \\ \end{cases} 
   
  
 sgn(s)={1,s>0−1,s<0​

根据以上的趋近律,我们就可以获得控制量

    u
   
  
  
   u
  
 
u 了(选取第一种控制率)。

 
  
   
    
     u
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     c
    
    
     
      x
     
     
      2
     
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
   
   
     u = -cx_2-\varepsilon sgn(s) 
   
  
 u=−cx2​−εsgn(s)

我们对系统施加控制量

    u
   
  
  
   u
  
 
u 即可保证系统最终稳定在原点。

证明有效性

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性,对于系统状态方程

     s
    
    
     ˙
    
   
   
    =
   
   
    c
   
   
    
     x
    
    
     2
    
   
   
    +
   
   
    u
   
  
  
   \dot s = cx_2+u
  
 
s˙=cx2​+u ,我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了,控制目标是 

 
  
   
    s
   
  
  
   s
  
 
s ,对于 

 
  
   
    s
   
  
  
   s
  
 
s 如果存在一个连续函数 

 
  
   
    V
   
  
  
   V
  
 
V 满足下面两个式子,那么系统将在平衡点 

 
  
   
    s
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   s=0
  
 
s=0 处稳定,即

 
  
   
    
     
      lim
     
     
      ⁡
     
    
    
     
      t
     
     
      →
     
     
      ∞
     
    
   
   
    V
   
   
    =
   
   
    0
   
  
  
   {\lim\limits_{t \to \infty}V = 0}
  
 
t→∞lim​V=0

 
  
   
    
     
      
       lim
      
      
       ⁡
      
     
     
      
       ∣
      
      
       s
      
      
       ∣
      
      
       →
      
      
       ∞
      
     
    
    
     V
    
    
     =
    
    
     ∞
    
   
   
     {\lim\limits_{|s| \to \infty}V = \infty} 
   
  
 ∣s∣→∞lim​V=∞

 
  
   
    
     
      V
     
     
      ˙
     
    
    
     <
    
    
     0
    
    
      
    
    
     f
    
    
     o
    
    
     r
    
    
      
    
    
     s
    
    
     ≠
    
    
     0
    
   
   
     \dot V < 0 \ for \ s \ne 0 
   
  
 V˙<0 for s=0

我们证明的方法就是令

    V
   
   
    =
   
   
    
     1
    
    
     2
    
   
   
    
     s
    
    
     2
    
   
  
  
   V= \frac {1} {2} s ^ 2
  
 
V=21​s2 ,很明显我们满足第一个条件,我们对 

 
  
   
    V
   
  
  
   V
  
 
V 进行求导,

 
  
   
    
     
      V
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     s
    
    
     
      s
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     s
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     ∣
    
    
     s
    
    
     ∣
    
    
     <
    
    
     0
    
   
   
     \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s| < 0 
   
  
 V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<0

也是满足第二个条件的,所以最终系统会稳定在滑膜面附近,这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置,即零点。

无限时间问题

上面的分析看似无懈可击,实际上是没什么用的,因为我们最终得到的结论是,在时间趋于无穷时,系统的状态必将趋于0,这有用吗,并没有,因为无限时间这太恐怖了,人死了系统都没稳定的话这没什么意义,所以我们必须要求他是有限时间可达的,所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件

      V
     
     
      ˙
     
    
    
     ≤
    
    
     −
    
    
     α
    
    
     
      V
     
     
      
       1
      
      
       2
      
     
    
   
   
     \dot V \le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} 
   
  
 V˙≤−αV21​

对于改进后的这个条件可以分离变量再积分

          d
         
         
          V
         
        
        
         
          d
         
         
          t
         
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          V
         
         
          
           −
          
          
           
            1
           
           
            2
           
          
         
        
        
         d
        
        
         V
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         d
        
        
         t
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          ∫
         
         
          0
         
         
          t
         
        
        
         
          V
         
         
          
           −
          
          
           
            1
           
           
            2
           
          
         
        
        
         d
        
        
         V
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         
          ∫
         
         
          0
         
         
          t
         
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         d
        
        
         t
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
        
         (
        
        
         t
        
        
         )
        
        
         −
        
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
        
         (
        
        
         0
        
        
         )
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         
          1
         
         
          2
         
        
        
         α
        
        
         t
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
        
         (
        
        
         t
        
        
         )
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         
          1
         
         
          2
         
        
        
         α
        
        
         t
        
        
         +
        
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
        
         (
        
        
         0
        
        
         )
        
       
      
     
    
   
   
     \begin {align} \frac {\text d V} {\text d t} &\le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le - \alpha \text d t \nonumber\\ \int^{t}_{0} V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le \int^{t}_{0} - \alpha \text d t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) - V ^ {\frac {1} {2}} (0) &\le - \frac {1} {2} \alpha t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) &\le - \frac {1} {2} \alpha t + V ^ {\frac {1} {2}} (0) \nonumber \\ \end {align} 
   
  
 dtdV​V−21​dV∫0t​V−21​dVV21​(t)−V21​(0)V21​(t)​≤−αV21​≤−αdt≤∫0t​−αdt≤−21​αt≤−21​αt+V21​(0)​​

根据上面的等式可以看出,

    V
   
  
  
   V
  
 
V 将在有限时间达到稳定,稳定的最终时间为

 
  
   
    
     
      t
     
     
      r
     
    
    
     ≤
    
    
     
      
       2
      
      
       
        V
       
       
        
         1
        
        
         2
        
       
      
      
       (
      
      
       0
      
      
       )
      
     
     
      α
     
    
   
   
     t_r \le \frac {2V^ \frac {1} {2} (0)} {\alpha} 
   
  
 tr​≤α2V21​(0)​

因为李雅普诺夫条件的改变,控制器

    u
   
  
  
   u
  
 
u 也需要作出相应改变

 
  
   
    
     
      {
     
     
      
       
        
         
          
           
            V
           
           
            ˙
           
          
          
           =
          
          
           s
          
          
           
            s
           
           
            ˙
           
          
          
           =
          
          
           −
          
          
           s
          
          
           ε
          
          
           s
          
          
           g
          
          
           n
          
          
           (
          
          
           s
          
          
           )
          
          
           =
          
          
           −
          
          
           ε
          
          
           ∣
          
          
           s
          
          
           ∣
          
         
        
       
      
      
       
        
         
          
           V
          
          
           =
          
          
           
            1
           
           
            2
           
          
          
           
            s
           
           
            2
           
          
         
        
       
      
      
       
        
         
          
           
            V
           
           
            ˙
           
          
          
           ≤
          
          
           −
          
          
           α
          
          
           
            V
           
           
            
             1
            
            
             2
            
           
          
         
        
       
      
     
    
    
     ⇒
    
    
     
      V
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     ∣
    
    
     s
    
    
     ∣
    
    
     ≤
    
    
     −
    
    
     α
    
    
     
      s
     
     
      
       2
      
     
    
    
     ⇒
    
    
     ε
    
    
     ≥
    
    
     
      α
     
     
      
       2
      
     
    
   
   
     \begin{cases} \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s|\\ V = \frac {1} {2} s ^ 2 \\ \dot V \le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \end{cases} \Rightarrow \dot V = - \varepsilon|s| \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \Rightarrow \varepsilon \ge \frac {\alpha} {\sqrt{2}} 
   
  
 ⎩⎨⎧​V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=21​s2V˙≤−αV21​​⇒V˙=−ε∣s∣≤−α2​s​⇒ε≥2​α​

也就是给之前随意指定的

    ε
   
  
  
   \varepsilon
  
 
ε 增加了一个控制条件

干扰问题

上面的讨论其实还基于一个假设,没有干扰,没有干扰的控制是非常好做的,也是没什么实际意义的,这里我们将干扰项加入状态方程,之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的,这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程

          x
         
         
          ˙
         
        
        
         1
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          x
         
         
          ˙
         
        
        
         2
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         u
        
        
         +
        
        
         d
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= u + d \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 x˙1​x˙2​​=x2​=u+d​​

这对我们设计滑膜面没有什么影响,我们的滑膜面如下

     s
    
    
     =
    
    
     c
    
    
     
      x
     
     
      1
     
    
    
     +
    
    
     
      x
     
     
      2
     
    
   
   
     s = cx_1+x_2 
   
  
 s=cx1​+x2​

我们的趋近律设计也不变

      s
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
   
   
     \dot s = - \varepsilon sgn(s) 
   
  
 s˙=−εsgn(s)

我们的控制量

    u
   
  
  
   u
  
 
u 也不变

 
  
   
    
     u
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
    
     −
    
    
     c
    
    
     
      x
     
     
      2
     
    
   
   
     u = - \varepsilon sgn(s) - cx_2 
   
  
 u=−εsgn(s)−cx2​

 
  
   
    
     
      
       
        
         s
        
        
         ˙
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         c
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          1
         
        
        
         +
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          2
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         c
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         u
        
        
         +
        
        
         d
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} \dot s &= c \dot x_1 + \dot x_2 \nonumber\\ &=cx_2 + u + d \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 s˙​=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u+d​​

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数

        V
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          1
         
         
          2
         
        
        
         
          s
         
         
          2
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         V
        
        
         ˙
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         
          s
         
         
          ˙
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         c
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         u
        
        
         +
        
        
         d
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         −
        
        
         ε
        
        
         s
        
        
         g
        
        
         n
        
        
         (
        
        
         s
        
        
         )
        
        
         +
        
        
         d
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         ε
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
        
         +
        
        
         s
        
        
         d
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         ε
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
        
         +
        
        
         s
        
        
         L
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
        
         (
        
        
         ε
        
        
         −
        
        
         L
        
        
         )
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} V &= \frac {1} {2} s ^ 2 \nonumber\\ \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (cx_2 + u + d) \nonumber\\ &= s (- \varepsilon sgn(s) + d) \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sd \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sL \nonumber\\ & \le |s|(\varepsilon - L) \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 VV˙​=21​s2=ss˙=s(cx2​+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)​​

其中

    L
   
  
  
   L
  
 
L 为干扰 

 
  
   
    d
   
  
  
   d
  
 
d 的上界

 
  
   
    
     
      
       
        
         V
        
        
         ˙
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         
          V
         
         
          
           1
          
          
           2
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         −
        
        
         ε
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
        
         +
        
        
         s
        
        
         L
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         
          s
         
         
          
           2
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         −
        
        
         ε
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≤
        
        
         −
        
        
         α
        
        
         
          s
         
         
          
           2
          
         
        
        
         −
        
        
         s
        
        
         L
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         ε
        
        
         ∣
        
        
         s
        
        
         ∣
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≥
        
        
         α
        
        
         
          s
         
         
          
           2
          
         
        
        
         +
        
        
         s
        
        
         L
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        ε
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≥
        
        
         s
        
        
         g
        
        
         n
        
        
         (
        
        
         s
        
        
         )
        
        
         (
        
        
         
          α
         
         
          
           2
          
         
        
        
         +
        
        
         L
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        ε
       
      
     
     
      
       
        
        
         ≥
        
        
         (
        
        
         
          α
         
         
          
           2
          
         
        
        
         +
        
        
         L
        
        
         )
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} \dot V &\le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| + sL & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} - sL \nonumber\\ \varepsilon|s| & \ge \alpha \frac{s}{\sqrt {2}} + sL \nonumber\\ \varepsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \varepsilon & \ge (\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 V˙−ε∣s∣+sL−ε∣s∣ε∣s∣εε​≤−αV21​≤−α2​s​≤−α2​s​−sL≥α2​s​+sL≥sgn(s)(2​α​+L)≥(2​α​+L)​​

所以我们直接证明了,当我们的干扰有上界的情况下,我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统滑膜设计方法示例

三阶系统的模型如下

          x
         
         
          ˙
         
        
        
         1
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          x
         
         
          ˙
         
        
        
         2
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          x
         
         
          ˙
         
        
        
         3
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         f
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         +
        
        
         g
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         u
        
       
      
     
    
   
   
     \begin {align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= x_3 \nonumber\\ \dot x_3 &= f(x) + g(x)u \nonumber\\ \end {align} 
   
  
 x˙1​x˙2​x˙3​​=x2​=x3​=f(x)+g(x)u​​

假设,我们期望的

     x
    
    
     1
    
   
  
  
   x_1
  
 
x1​ 的目标是 

 
  
   
    
     x
    
    
     
      1
     
     
      d
     
    
   
  
  
   x_{1d}
  
 
x1d​ ,注意,这里和前文不同,这里的控制目标不在是0了

 
  
   
    
     
      
       
        
         e
        
        
         1
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          1
         
        
        
         −
        
        
         
          x
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         e
        
        
         2
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          
           e
          
          
           ˙
          
         
         
          1
         
        
        
         =
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          1
         
        
        
         −
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         −
        
        
         
          
           x
          
          
           ˙
          
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         e
        
        
         3
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          
           e
          
          
           ˙
          
         
         
          2
         
        
        
         =
        
        
         
          
           x
          
          
           ¨
          
         
         
          1
         
        
        
         −
        
        
         
          
           x
          
          
           ¨
          
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
        
        
         =
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
        
         −
        
        
         
          
           x
          
          
           ¨
          
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} e_1 &= x_1 - x_{1d} \nonumber\\ e_2 &= \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_{1d} = x_2 - \dot x_{1d} \nonumber\\ e_3 &= \dot e_2 = \ddot x_1 - \ddot x_{1d} = x_3 - \ddot x_{1d} \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 e1​e2​e3​​=x1​−x1d​=e˙1​=x˙1​−x˙1d​=x2​−x˙1d​=e˙2​=x¨1​−x¨1d​=x3​−x¨1d​​​

设计滑模面

     s
    
    
     =
    
    
     
      c
     
     
      1
     
    
    
     
      e
     
     
      1
     
    
    
     +
    
    
     
      c
     
     
      2
     
    
    
     
      e
     
     
      2
     
    
    
     +
    
    
     
      e
     
     
      3
     
    
   
   
     s = c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3 
   
  
 s=c1​e1​+c2​e2​+e3​

设计李雅普诺夫函数

     V
    
    
     =
    
    
     
      1
     
     
      2
     
    
    
     
      s
     
     
      2
     
    
   
   
     V = \frac{1}{2} s ^ 2 
   
  
 V=21​s2

对李雅普诺夫函数进行求导

         V
        
        
         ˙
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         
          s
         
         
          ˙
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         
          c
         
         
          1
         
        
        
         
          
           e
          
          
           ˙
          
         
         
          1
         
        
        
         +
        
        
         
          c
         
         
          2
         
        
        
         
          
           e
          
          
           ˙
          
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         
          
           e
          
          
           ˙
          
         
         
          3
         
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         
          c
         
         
          1
         
        
        
         
          e
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         
          c
         
         
          2
         
        
        
         
          e
         
         
          3
         
        
        
         +
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
        
         −
        
        
         
          
           x
          
          
           ¨
          
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
         
          
           (
          
          
           3
          
          
           )
          
         
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         
          c
         
         
          1
         
        
        
         
          e
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         
          c
         
         
          2
         
        
        
         
          e
         
         
          3
         
        
        
         +
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
        
         −
        
        
         f
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         +
        
        
         g
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         u
        
        
         −
        
        
         
          x
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
         
          
           (
          
          
           3
          
          
           )
          
         
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         (
        
        
         Γ
        
        
         −
        
        
         f
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         +
        
        
         g
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         u
        
        
         −
        
        
         
          x
         
         
          
           1
          
          
           d
          
         
         
          
           (
          
          
           3
          
          
           )
          
         
        
        
         )
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         s
        
        
         g
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         (
        
        
         
          
           Γ
          
          
           −
          
          
           f
          
          
           (
          
          
           x
          
          
           )
          
          
           −
          
          
           
            x
           
           
            
             1
            
            
             d
            
           
           
            
             (
            
            
             3
            
            
             )
            
           
          
         
         
          
           g
          
          
           (
          
          
           x
          
          
           )
          
         
        
        
         +
        
        
         u
        
        
         )
        
       
      
     
    
   
   
     \begin{align} \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (c_1 \dot e_1 + c_2 \dot e_2 + \dot e_3) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - \ddot x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (\Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= sg(x)(\frac {\Gamma - f(x) - x^{(3)}_{1d}} {g(x)} + u) \nonumber\\ \end{align} 
   
  
 V˙​=ss˙=s(c1​e˙1​+c2​e˙2​+e˙3​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−x¨1d(3)​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=sg(x)(g(x)Γ−f(x)−x1d(3)​​+u)​​

这里我们设计趋近律

      s
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     Γ
    
    
     −
    
    
     f
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     +
    
    
     g
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     u
    
    
     −
    
    
     
      x
     
     
      
       1
      
      
       d
      
     
     
      
       (
      
      
       3
      
      
       )
      
     
    
   
   
     \dot s = - \varepsilon sgn(s) = \Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d} 
   
  
 s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​

得到控制量

    u
   
  
  
   u
  
 
u

 
  
   
    
     u
    
    
     =
    
    
     
      
       −
      
      
       ε
      
      
       s
      
      
       g
      
      
       n
      
      
       (
      
      
       s
      
      
       )
      
      
       −
      
      
       Γ
      
      
       +
      
      
       f
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
      
       +
      
      
       
        x
       
       
        
         1
        
        
         d
        
       
       
        
         (
        
        
         3
        
        
         )
        
       
      
     
     
      
       g
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
     
    
   
   
     u = \frac {-\varepsilon sgn(s) - \Gamma + f(x) + x^{(3)}_{1d}} {g(x)} 
   
  
 u=g(x)−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)​​

带入李雅普诺夫函数可得

      V
     
     
      ˙
     
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     s
    
    
     ε
    
    
     s
    
    
     g
    
    
     n
    
    
     (
    
    
     s
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     −
    
    
     ε
    
    
     ∣
    
    
     s
    
    
     ∣
    
    
     ≤
    
    
     0
    
   
   
     \dot V = -s \varepsilon sgn(s) = -\varepsilon |s| \le 0 
   
  
 V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤0

这里可以看到系统必将稳定,如果需要控制到达稳定的时间就限制

    ε
   
  
  
   \varepsilon
  
 
ε 即可

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