1.概率论及在AI中的使用
概率(Probability),反映随机事件出现的可能性大小。事件AAA出现的概率,用P(A)P(A)P(A)表示。
概率论(Probability Theory),是研究随机现象数量规律的数学分支,度量事物的不确定性。
机器学习大部分时候处理的都是不确定量或随机量。因此,相对计算机科学的其他许多分支而言,机器学习会更多地使用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的,比如朴素贝叶斯(Naive Bayesian)等。
在人工智能领域,概率论有广泛的应用:
- 可以借助于概率方法设计算法(概率型模型,如朴素贝叶斯算法)。
- 可以基于概率与统计进行预测分析(如神经网络中的softmax)。
2.随机变量(Random Variable)
简单地说,随机变量是指随机事件的数量表现,是可以『随机』地取不同值的『变量』。通常,用大写字母来表示随机变量本身,而用带数字下标的小写字母来表示随机变量能够取到的值。
- 例如,XXX为随机变量,x1x_{1}x1、x2x_{2}x2、xix_{i}xi是随机变量XXX可能的取值。
随机变量可以分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』:
- 离散型随机变量(discrete random variable):即在一定区间内变量取值为有限个(或可数个)。例如,某地区某年的出生人口数。
- 连续型随机变量(continuous random variable):即在一定区间内变量取值为无限个(或数值无法一一列举出来)。例如,某地区男性健康成人的体重值。
3.随机向量(Random Vector)
将几个随机变量按顺序放在一起,组成向量的形式,就是随机向量。
在样本空间全部都一样的情况下,一个nnn维的随机向量是x(ξ)→=(x1(ξ)x2(ξ)⋯xn(ξ))x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c} x_{1}(\xi) \ x_{2}(\xi) \ \cdots \ x_{n}(\xi) \end{array}\right)x(ξ)=⎝⎛x1(ξ)x2(ξ)⋯xn(ξ)⎠⎞
其中,ξ\xiξ就是样本空间中的样本点。随机变量是1维随机向量的特殊情况。
4.概率分布(Probability Distribution)
广义上,概率分布用于表述随机变量取值的概率规律。或者说,给定某随机变量的取值范围,概率分布表示该随机事件出现的可能性。
狭义地,概率分布指随机变量地概率分布函数,也称累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)。
离散型随机变量的概率分布:
- 使用分布列描述离散型随机变量的概率分布,即给出离散型随机变量的全部取值及每个值的概率。
- 常见的离散型随机变量的分布有:单点分布、0-1分布、几何分布、二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量的概率分布:
如果随机变量XXX的分布函数为F(x)F(x)F(x),存在非负函数f(x)f (x)f(x)使对于任意实数xxx有F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d tF(x)=∫−∞xf(t)dt,则称XXX为连续型随机变量 ,其中函数f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数。
常见的连续型随机变量的分布有:正态分布、均匀分布、指数分布、t−t-t−分布、F−F-F−分布、ξ2−\xi^{2}-ξ2−分布等。
机器学习中一个典型的概率分布应用,是分类问题中,很多模型最终会预估得到样本属于每个类别的概率,构成1个概率向量,表征类别概率分布。
5.条件概率(Conditional Probability)
很多情况下我们感兴趣的是,某个事件在给定其它事件发生时出现的概率,这种概率叫条件概率。
给定AAA时BBB发生的概率记为P(B∣A)P(B \mid A)P(B∣A),概率的计算公式为:P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)
6.贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)
先看看什么是“先验概率”和“后验概率”,以一个例子来说明:
先验概率:某疾病在人群中发病率为0.1%,那某人没有做检验之前,预计患病率为P( 患病 )=0.1%P(\text { 患病 })=0.1 %P( 患病 )=0.1%,这个概率就叫做『先验概率』。
后验概率:该疾病的检测准确率为95%,即该病患者检测显示阳性的概率为95%(检测显示阴性的概率为5%),即P( 显示阳性|患病 )=95%P(\text { 显示阳性|患病 })=95%P( 显示阳性|患病 )=95%;或者说未患病的检测者,检测结果显示阴性的概率为95%,检测显示阳性的概率为5%。那么,检测显示为阳性时,此人的患病概率P( 患病| 显示阳性)P(\text { 患病| 显示阳性})P( 患病| 显示阳性)就叫做『后验概率』。
贝叶斯公式:贝叶斯提供了一种利用『先验概率』计算『后验概率』的方法:
- 条件概率公式:P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB),P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)
- 由条件概率公式变换得到乘法公式:P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A∣B)P(B)P(A B)=P(B \mid A) P(A)=P(A \mid B) P(B)P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A∣B)P(B)
- 将条件概率公式和乘法公式结合:P(B∣A)=P(A∣B)⋅P(B)P(A)P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(A∣B)⋅P(B)
- 引入全概率公式:P(A)=∑i=1NP(A∣Bi)⋅P(Bi)P(A)=\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)P(A)=∑i=1NP(A∣Bi)⋅P(Bi)
- 将全概率代入P(B∣A)P(B \mid A)P(B∣A),可以得到贝叶斯公式:P(Bi∣A)=P(A∣Bi)⋅P(Bi)∑i=1NP(A∣Bi)⋅P(Bi)P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}P(Bi∣A)=∑i=1NP(A∣Bi)⋅P(Bi)P(A∣Bi)⋅P(Bi)
上述例子的计算结果: P( 患病 ∣ 显示阳性 )=P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )P( 显示阳性 )=P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )+P( 显示阳性|无病) P( 无病 )=95%∗0.1%95%∗0.1%+5%∗99.9%=1.86%\begin{aligned} P(\text { 患病 } \mid \text { 显示阳性 }) &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性 })} \ &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })+P(\text { 显示阳性|无病) } P(\text { 无病 })} \ &=\frac{95 % * 0.1 %}{95 % * 0.1 %+5 % * 99.9 %}=1.86 % \end{aligned}P( 患病 ∣ 显示阳性 )=P( 显示阳性 )P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )=P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )+P( 显示阳性|无病) P( 无病 )P( 显示阳性|患病 )P( 患病 )=95%∗0.1%+5%∗99.9%95%∗0.1%=1.86%
贝叶斯公式贯穿了机器学习中随机问题分析的全过程。从文本分类到概率图模型,其基本分类都是贝叶斯公式。
期望、方差、协方差等主要反映数据的统计特征。机器学习的一个很大应用就是数据挖掘等,因此这些基本的统计概念也是很有必要掌握。另外,像后面的EM算法中,就需要用到期望的相关概念和性质。
7.期望(Expectation)
在概率论和统计学中,数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。期望是最基本的数学特征之一,反映随机变量平均值的大小。
假设XXX是一个离散型随机变量,其可能的取值有{x1,x2,…,xn}\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right}{x1,x2,…,xn},各取值对应的概率取值为P(xk)P\left(x_{k}\right)P(xk),k=1,2,…,nk=1, 2, \ldots, nk=1,2,…,n。其数学期望被定义为:
E(X)=∑k=1nxkP(xk)E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} P\left(x_{k}\right)E(X)=∑k=1nxkP(xk)
假设xxx是一个连续型随机变量,其概率密度函数为f(x)f(x)f(x),其数学期望被定义为:
E(x)=∫−ω+wxf(x)dxE(x)=\int_{-\boldsymbol{\omega}}^{+\boldsymbol{w}} x f(x) d xE(x)=∫−ω+wxf(x)dx
8.方差(Variance)
在概率论和统计学中,样本方差,是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数。方差用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度。
离散型:(μ\muμ表示期望)
D(X)=∑k=1n(xk−μ)2D(X)=\sum_{k=1}^{n} \left(x_{k}-\mu\right)^{2}D(X)=∑k=1n(xk−μ)2
一个快速计算方差的公式(即平方的期望减去期望的平方):
D(X)=E{[X−E(X)]2}=E(X2)−[E(X)]2D(X)=E\left{[X-E(X)]{2}\right}=E\left(X{2}\right)-[E(X)]^{2}D(X)=E{[X−E(X)]2}=E(X2)−[E(X)]2
连续型:(μ\muμ表示期望)
D(x)=∫(x−μ)2f(x)dxD(x)=\int(x-\mu)^{2} f(x) d xD(x)=∫(x−μ)2f(x)dx
9.协方差(Covariance)
在概率论和统计学中,协方差被用于衡量两个随机变量XXX和YYY之间的总体误差。期望值分别为E[X]E[X]E[X]与E[Y]E[Y]E[Y]的两个实随机变量XXX与YYY之间的协方差为:
Cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)]=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X,Y) =E { [X-E(X)][Y-E(Y)] } =E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)]=E(XY)−E(X)E(Y)
以下是几个常用等式: Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X, Y)=Cov(Y, X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,X)=D(X)Cov(X, X)=D(X)Cov(X,X)=D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
10.相关系数(Correlation coefficient)
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,用以研究变量之间线性相关程度。相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。从协方差中会得到引申,就是关联系数,即:(σ\sigmaσ是标准差)
ρ=Cov(X,Y)σxσy\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma _{x} \sigma _{y}}ρ=σxσyCov(X,Y)
这个公式还有另外的一个表达形式:
ρ=Cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}ρ=D(X)D(Y)Cov(X,Y)
11.常见分布函数
1)伯努利分布(Bernoulli Distribution)(离散型)
在概率论和统计学中,伯努利分布也叫0-1分布,是单个二值型离散随机变量的分布。
- 概率分布函数:P(X=k)=pk(1−p)1−kP(X=k)=p{k}(1-p){1-k}P(X=k)=pk(1−p)1−k
- 期望:E(X)=pE(X)=pE(X)=p
- 方差:D(X)=p(1−p)D(X)=p(1-p)D(X)=p(1−p)
2)几何分布(Geometric Distribution)(离散型)
在概率论和统计学中,几何分布是离散型概率分布,数学符号为X∼G§X\sim G§X∼G§。其定义为:在nnn次伯努利试验中,试验kkk次才得到第一次成功的机率(即前k−1k-1k−1次皆失败,第kkk次成功的概率)
- 概率分布函数:P(X=k)=(1−p)k−1pP(X=k)=(1-p)^{k-1} pP(X=k)=(1−p)k−1p
- 期望:E(X)=1pE(X)=\frac{1}{p}E(X)=p1
- 方差:D(X)=1−pp2D(X)=\frac{1-p}{p^{2}}D(X)=p21−p
3)二项分布(Binomial Distribution)(离散型)
在概率论和统计学中,二项分布即重复nnn次伯努利试验,各次试验之间都相互独立,并且每次试验中只有两种可能的结果,而且这两种结果发生与否相互对立,数学符号为X∼B(n,p)X∼B(n,p)X∼B(n,p)。
如果每次试验时,事件发生的概率为ppp,不发生的概率为1−p1-p1−p,则nnn次重复独立试验中发生kkk次的概率为:P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k)=C_{n}^{k} p{k}(1-p){n-k}P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k
- 期望:E(X)=npE(X)=n pE(X)=np
- 方差:D(X)=np(1−p)D(X)=n p(1-p)D(X)=np(1−p)
4)泊松分布(Poisson Distribution)(离散型)
在概率论和统计学中,泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,用于描述某段时间内事件具体的发生概率,数学符号为X∼π(λ)X∼\pi \left ( \lambda \right )X∼π(λ)。
泊松分布的参数λ\lambdaλ表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数,其概率分布函数为:P(X=k)=(λ)ke−λk!P(X=k)=\frac{(\lambda )^{k} e^{-\lambda}}{k !}P(X=k)=k!(λ)ke−λ
- 期望:E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ
- 方差:D(X)=λD(X) = \lambdaD(X)=λ
例如,某医院平均每小时出生2.5个婴儿( λ=2.5 ),那么接下来一个小时,会出生几个婴儿?
- 没有婴儿出生(k=0k=0k=0)的概率为:P(X=0)=(2.5)0⋅e−2.50!≈0.082P(X=0)=\frac{(2.5)^{0} \cdot e^{-2.5}}{0 !} \approx 0.082P(X=0)=0!(2.5)0⋅e−2.5≈0.082
- 有1个婴儿出生(k=1k=1k=1)的概率为:P(X=1)=(2.5)1⋅e−2.51!≈0.205P(X=1)=\frac{(2.5)^{1} \cdot e^{-2.5}}{1 !} \approx 0.205P(X=1)=1!(2.5)1⋅e−2.5≈0.205
- 有2个婴儿出生(k=2k=2k=2)的概率为:P(X=2)=(2.5)2⋅e−2.52!≈0.257P(X=2)=\frac{(2.5)^{2} \cdot e^{-2.5}}{2 !} \approx 0.257P(X=2)=2!(2.5)2⋅e−2.5≈0.257
k012···p0.0820.2050.257···通常,柏松分布也叫等待概率,是一种比二项分布应用场景更为丰富的概率模型,在数控、电商优化中也经常能见到它的影子。
5)正态分布(Normal Distribution)(连续型)
在概率论和统计学中,正态分布又叫高斯分布(Gaussian Distribution),其曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形。数学符号为X∼N(μ,σ2)X∼N\left(\mu, \sigma^{2}\right)X∼N(μ,σ2)。
若随机变量XXX服从一个数学期望为μ\muμ、方差为σ2\sigma^{2}σ2的正态分布,其概率分布函数:f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e {-\frac{(x-\mu){2}}{2 \sigma^{2}}}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2
- 期望:E(X)=μE(X)=\muE(X)=μ
- 方差:D(X)=σ2D(X)=\sigma^{2}D(X)=σ2
6)均匀分布(Uniform Distribution)(连续型)
在概率论和统计学中,均匀分布也叫矩形分布,它是对称概率分布,在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布由两个参数aaa和bbb定义,数学符号为X∼U(a,b)X∼U (a, b)X∼U(a,b)(其中,aaa为数轴上较小值,bbb为数轴上较大值)。
其概率分布函数:$f(x)=\frac{1}{b-a} , a
- 期望:E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}{2}E(X)=2a+b
- 方差:D(X)=(b−a)212D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}D(X)=12(b−a)2
7)指数分布(Exponential Distribution)(连续型)
在概率论和统计学中,指数分布与其他分布的最大不同之处在于,随机变量XXX指的是不同独立事件发生的时间间隔值,时间越长事件发生的概率指数型增大(减小),数学符号为X∼E(λ)X∼E(\lambda)X∼E(λ)。
指数分布的参数λ\lambdaλ表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数,其概率分布函数为:f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0f(x)=λe−λx,x≥0
- 期望:E(X)=1λE(X)=\frac{1}{\lambda}E(X)=λ1
- 方差:D(X)=1λ2D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}D(X)=λ21
在我们日常的消费领域,通常的目的是求出在某个时间区间内,会发生随机事件的概率有多大。如:银行窗口服务、交通管理、火车票售票系统、消费市场研究报告中被广泛运用。
例如:某医院平均每小时出生2.5个婴儿( λ=2.5 )。如果到下一个婴儿出生需要的间隔时间为 t (即时间 t 内没有任何婴儿出生)。
- 间隔15分钟(X=14X=\frac{1}{4}X=41)后才有婴儿出生的概率为:f(14)=2.5e−2.5⋅14≈0.9197f(\frac{1}{4}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.9197f(41)=2.5e−2.5⋅41≈0.9197
- 间隔30分钟(X=12X=\frac{1}{2}X=21)后才有婴儿出生的概率为:f(12)=2.5e−2.5⋅12≈0.7163f(\frac{1}{2}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.7163f(21)=2.5e−2.5⋅21≈0.7163
一些总结:
12.拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)
在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。
在机器学习的过程中,我们经常遇到在有限制的情况下,最大化表达式的问题。如: maxf(x,y)s.t.g(x,y)=0maxf(x,y)s.t. \quad g(x,y)=0maxf(x,y)s.t.g(x,y)=0
此时我们可以构造L(x,y,λ)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c)L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )L(x,y,λ)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c),其中λ\lambdaλ称为拉格朗日乘子。接下来要对拉格朗日函数L(x,y,λ)L(x,y,\lambda )L(x,y,λ)求导,令其为0,解方程即可。
以下是图文解释:
红线标出的是约束g(x,y)=cg(x,y)=cg(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)f(x,y)f(x,y)的等高线。箭头表示斜率,和等高线的法线平行,从梯度的方向上来看显然有d1>d2d_{1}>d_{2}d1>d2。
红色的线是约束。如果没有这条约束,f(x,y)f(x,y)f(x,y)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。现在加上了约束,正好落在这条红线上的点才可能是满足要求的点。也就是说,应该是在f(x,y)f(x,y)f(x,y)的等高线正好和约束线g(x,y)g(x,y)g(x,y)相切的位置。
对约束也求梯度∇g(x,y)\nabla g(x,y)∇g(x,y)(如图中红色箭头所示),可以看出要想让目标函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的等高线和约束相切g(x,y)g(x,y)g(x,y),则他们切点的梯度一定在一条直线上。也即在最优化解的时候∇f(x,y)=λ∇g(x,y)−C\nabla f(x,y)=λ \nabla g(x,y)-C∇f(x,y)=λ∇g(x,y)−C,即∇[f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ≠0\nabla [f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ≠0∇[f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ=0。
那么拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c)L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )L(x,y,λ)=f(x,y)−λ(g(x,y)−c)在达到极值时与f(x,y)f(x,y)f(x,y)相等,因为F(x,y)F(x,y)F(x,y)达到极值时g(x,y)−cg(x,y)−cg(x,y)−c总等于零。
简单的说,L(x,y,λ)L(x,y,λ)L(x,y,λ)取得最优化解的时候,也就是L(x,y,λ)L(x,y,λ)L(x,y,λ)取极值的时候。此时L(x,y,λ)L(x,y,λ)L(x,y,λ)的导数为0,即∇L(x,y,λ)=∇[f(x,y)−λ(g(x,y)−c)]=0\nabla L(x,y,\lambda )=\nabla \left [ f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \right ] =0∇L(x,y,λ)=∇[f(x,y)−λ(g(x,y)−c)]=0,可以得出f(x,y)f(x,y)f(x,y)与g(x,y)g(x,y)g(x,y)梯度共线,此时就是在条件约束g(x,y)g(x,y)g(x,y)下,f(x,y)f(x,y)f(x,y)的最优化解。
在支持向量机模型(SVM)的推导中,很关键的一步就是利用拉格朗日对偶性,将原问题转化为对偶问题。
13.最大似然估计(Maximum Likelihood Estimate)
最大概似估计(MLE)是一种粗略的数学期望,指在模型已定、参数θ\thetaθ未知的情况下,通过观测数据估计未知参数θ\thetaθ的一种思想或方法。
最大似然估计的哲学内涵就是:我们对某个事件发生的概率未知,但我们做了一些实验,有过一些对这个事件的经历(经验),那么我们认为,这个事件的概率应该是能够与我们做的实验结果最吻合。当然,前提是我们做的实验次数应当足够多。
举个例子,假设我们要统计全国人口的身高。首先假设这个身高服从服从正态分布,但是该分布的均值。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高,但是可以通过采样,获取部分人的身高,然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值。
最大似然函数的求解思想是:给定样本取值后,该样本最有可能来自参数θ\thetaθ为何值的总体。即:寻找θˉMLE\bar{\theta}_{M LE}θˉMLE使得观测到样本数据的可能性最大。 最大似然函数估计值的一般求解步骤是:
- 写出似然函数
L(θ1,θ2,⋯ ,θn)={∏i=1np(xi;θ1,θ2,⋯ ,θn)∏i=1nf(xi;θ1,θ2,⋯ ,θn)L\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)=\left{\begin{array}{l} \prod_{i=1}^{n} p\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \ \prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \end{array}\right.L(θ1,θ2,⋯,θn)={∏i=1np(xi;θ1,θ2,⋯,θn)∏i=1nf(xi;θ1,θ2,⋯,θn)
- 对似然函数取对数
- 两边同时求导数
- 令导数为0解出似然方程
在机器学习中也会经常见到极大似然的影子。比如后面的逻辑斯特回归模型(LR),其核心就是构造对数损失函数后运用极大似然估计。
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