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前言
本文其实值属于：程序员的数学【AIoT阶段二】 （尚未更新）的一部分内容，本篇把这部分内容单独截取出来，方便大家的观看，本文介绍 概率论，本文涵盖了一些计算的问题并使用代码进行了实现，安装代码运行环境见博客：最详细的Anaconda Installers 的安装【numpy，jupyter】（图+文），如果你只是想要简单的了解有关线代的内容，那么只需要学习一下博文：NumPy从入门到高级，如果你是跟着博主学习
A
I
o
T
AIoT
AIoT 的小伙伴，建议先看博文：数据分析三剑客【AIoT阶段一（下）】（十万字博文 保姆级讲解），如果你没有
P
y
t
h
o
n
Python
Python 基础，那么还需先修博文：Python的进阶之道【AIoT阶段一（上）】（十五万字博文 保姆级讲解）
一、概率论与机器学习
🚩机器学习其实是集合了统计学、概率论、计算机科学、数学算法等方面的交叉研究，即便你对机器学习的应用炉火纯青，但对这些技术没有一个全面的数学理解，极有可能出现应用失误。因此与其说为什么概率论与数理统计在机器学习中为什么这么重要，不如说为什么数学在机器学习中为什么这么重要！
概率论研究的是事物的不确定性，它是统计学、信息论的前置课程。概率论的难度系数属中等，毕竟你在高中就学习过如何计算一个随机变量的期望、方差。从机器学习的视角来看，概率论是必须要了解的，但不需要达到精通的程度。你只需要灵活运用它，把机器学习世界的不确定性变量算清楚就足够了。因此，当你掌握了概率论，你就揭开机器学习世界神秘的一层面纱。
对于有监督机器学习，其属性特征数据对应
X
X
X，它的目标值标签对应
y
y
y，如果我们把它当作是随机变量的话，那我们就可以用概率论的观点对它进行建模。假设它服从某种**概率分布**，比如说人的身高大体是服从正太分布的，像姚明一样非常高的非常少，像郭敬明一样矮也是非常少的，比如中国的男性平均身高
1.75
1.75
1.75 左右，画出来就是我们学概率论和数理统计时候的一个正太分布：
我们要是对数据进行分类的话，根据他的身高、体重等等，那我们就可以对他的身高进行建模来计算它服从某种分布，然后计算他的概率，这就是我们要学习概率论的原因。
二、随机事件
🚩什么是随机事件呢？ 就是可能发生，也可能不发生的事件。比如你抛硬币，它正面朝上或者反面朝上，这就是一个随机事件；生孩子，生男生女这也是一个随机事件。
如果一定发生的话，这种称为必然事件，比如说太阳明天会升起，这肯定是必然事件；不可能发生的事件，我们称之为不可能事件，比如水往高处流，这就是不可能事件。
我们一般把随机事件用大写字母
A
A
A 或
B
B
B 这样来表示，每一个随机事件它关联有一个发生的概率，记作
P
(
A
)
P(A)
P(A)，像抛硬币它正面朝上的概率是
0.5
0.5
0.5，反面朝上的概率也是
0.5
0.5
0.5，
0
≤
P
(
A
)
≤
1
0 ≤ P(A) ≤ 1
0≤P(A)≤1。 如果概率等于
1
1
1 那就是必然事件，如果等于
0
0
0 那就是不可能事件。以前学概率论时，老师交了我们各种计算概率的方法，比如抽各种颜色的球等等这样的问题，一般都是用排列组合来算的。
三、条件概率
3.1 条件概率公式
🚩条件概率是针对于两个或更多个有相关关系、因果关系的随机事件而言的。对于两个随机事件
A
A
A 和
B
B
B 而言，在
A
A
A 发生的情况下
B
B
B 发生的概率，那记作
P
(
B
∣
A
)
P(B|A)
P(B∣A)，即
A
B
AB
AB 同时发生的概率除以
A
A
A 发生的概率：
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}
P(B∣A)=P(A)P(AB)
同理，在
B
B
B 发生的情况下
A
A
A 发生的概率，那记作
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P(A∣B)
Ω
\Omega
Ω 表示样本空间，即表示全部事件。
3.2 贝叶斯公式
🚩根据条件概率公式，可以推导出贝叶斯公式：
P
(
B
)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
∣
A
)
P(B)P(A|B)=P(AB)P(B|A)
P(B)P(A∣B)=P(AB)P(B∣A)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P
(
B
)
P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}
P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)
贝叶斯公式得到的结果是后验概率，后验概率是指依据得到’'结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生，如贝叶斯公式中的, 是"执果寻因"问题中的"因"。
举例说明：餐桌上有一块肉和一瓶醋，你如果吃了一块肉，很酸，那你觉得肉里加了醋的概率有多大？你说：
80
%
80\%
80% 可能性加了醋。
O
K
OK
OK，你已经进行了一次后验概率的猜测，没错，就这么简单！这就是"执果寻因"。
贝叶斯公式在整个机器学习和深度学习中是非常有用的，因为很多时候我们要用一种叫做最大化后验概率（
M
a
x
i
m
u
m
Maximum
Maximum
a
a
a
p
o
s
t
e
r
i
o
r
i
e
s
t
i
m
a
t
i
o
n
posterioriestimation
posterioriestimation，简称
M
A
P
MAP
MAP）的思想。
四、随机事件独立性
🚩说白了就是两个事情是不相关的，
B
B
B 在
A
A
A 发生的条件下发生的概率是等于
B
B
B 本身发生的概率：
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
B
)
P(B|A)=P(B)
P(B∣A)=P(B)
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
我们可以把它推广到
n
n
n 个事件相互独立的情况上面去，就是等于各自发生概率的乘积：
P
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
=
∏
i
=
1
n
P
(
a
i
)
P(a_1,a_2,...,a_n)=\prod\limits^{n}_{i=1}P(a_i)
P(a1,a2,...,an)=i=1∏nP(ai)
五、随机变量
🚩整个概率论的核心。变量是什么呢？
我们中学的时候就学习过变量了，它是取值可以变化的量，比如可以取
0
0
0 到
1
1
1 区间上所有的实数，或者取从
1
1
1 到
100
100
100 之间的整数。
5.1 离散随机变量
🚩随机变量是什么呢？
就是变量取值都有一个概率。第一种情况是离散型的随机变量，比如前面说的抛硬币正面朝上还是反面朝上，这是两个事件，我们可以把这两个事件编号，得到：
这就是随机变量，
x
x
x 取值有两种情况，
0
0
0 或
1
1
1，取每种值的概率都是
0.5
0.5
0.5，离散型的随机变量它的取值只可能是有限可能个，像掷色子，就有
6
6
6 中可能
（
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
）
（1、2、3、4、5、6）
（1、2、3、4、5、6），取每种值的概率都是
1
6
\frac{1}{6}
61；或者无穷可列个，比如，
1
1
1 到
+
∞
+\infty
+∞，虽然是无穷个，但是一定可以用整数编号表示。
5.2 连续随机变量
🚩连续型的随机变量，理解起来抽象一些，它的取值是无限不可列个，比如
0
0
0 到
1
1
1 之间的所有的实数，首先它肯定是无限个，而它比无限可列个更高级，它不可列，比如其中的
0.001
0.001
0.001 到
0.002
0.002
0.002 之间还是有无限个，不管怎么细分，
a
a
a 和
b
b
b 之间还是有无限个，这就是连续型的随机变量，比如说抛石子在
0
0
0 到
1
1
1 的矩形范围内，它可能落在区域内任何一个位置，那么石子落在的位置
x
,
y
x,y
x,y 就是连续型随机变量，说白了就是它坐标取
0
0
0 到
1
1
1 之间任何一个值都是有可能的。对于离散型随机变量，写成如下：
P
(
x
=
x
i
)
=
p
i
P(x=x_i)=p_i
P(x=xi)=pi
p
i
≥
0
p_i ≥ 0
pi≥0
∑
p
i
=
1
\sum p_i=1
∑pi=1
对于连续型随机变量我们是这么定义的，利用它的概率密度函数来定义
f
(
x
)
≥
0
f(x) ≥ 0
f(x)≥0
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1
∫−∞+∞f(x)dx=1
通过概率密度函数可以计算事件发生的概率
P
(
y
)
P(y)
P(y)，注意对于连续随机变量，往往计算区间的概率：
P
(
y
)
=
P
(
x
≤
y
)
=
∫
−
∞
y
f
(
x
)
d
x
P(y)=P(x≤y)=\int_{-\infty}^yf(x)dx
P(y)=P(x≤y)=∫−∞yf(x)dx
需要注意的是，连续性随机变量它取某个具体值的概率是
0
0
0 的，
p
(
x
=
x
i
)
=
0
p(x=x_i)=0
p(x=xi)=0 但是它落在某个区间范围的概率是有值的，因为算的是面积，就好像前面提到的石子落到区域内的面积
5.3 概率密度函数概率计算
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate # 积分# 正态分布概率密度函数f(x)deff(x, sigma, u):# sigma标准差，u均值、期望return1/(np.sqrt(2* np.pi)* sigma)* np.exp(-(x - u)**2/(2* sigma **2))
x = np.linspace(-10,10,300)
y = f(x,1,0)# 标准正态分布
plt.plot(x, y)print('横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积（概率）为：',np.round(integrate.quad(f,-1,1, args =(1,0))[0],4))print('横轴区间（μ-2σ,μ+2σ）内的面积（概率）为：',np.round(integrate.quad(f,-2,2, args =(1,0))[0],4))print('横轴区间（μ-3σ,μ+3σ）内的面积（概率）为：',np.round(integrate.quad(f ,-3,3, args =(1,0))[0],4))
六、数学期望与方差
6.1 期望
🚩这个在学概率论的时候同学们都是学过的，这是核心概念之一。什么是数学期望，从均值开始看起：
这里的
1
n
\frac{1}{n}
n1 可以看作是每个样本
x
i
x_i
xi 的权重，或者叫概率，如果把它替换称概率
p
i
p_i
pi，就得到了我们的数学期望。
说白了，对于离散型的随机变量而言，数学期望就是概率意义的平均值。
对于连续型的随机变量，把它推广一下变成定积分，求一个广义积分就是数学期望。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate
deff(x, sigma, u):# 概率密度return1/(np.sqrt(2* np.pi)* sigma)* np.exp(-(x - u)**2/(2* sigma **2))
x = np.linspace(-10,10,300)
y = f(x,2,-5)# 标准差是2，平均值是2.5
plt.plot(x, y)# 计算数学期望函数defE(x, sigma, u):return x * f(x, sigma, u)print('不定积分计算正太分布数学期望：',
np.round(integrate.quad(E,-100,100, args =(2,-5))[0],1))
6.2 方差
🚩方差反应的数据的波动程度的，就是它和均值，我们的数学期望偏离程度的平均。这里每个数据减去期望的平方，不平方的话正负抵消掉了，然后再乘以
P
P
P 概率值
离散性随机变量：
# 离散型随机变量import numpy as np
X = np.random.randint(-10,10, size =20)
display(X)print('Numpy库提供的函数计算方差：%0.2f'%(np.var(X)))# X.mean为期望
var =((X - X.mean())**2).sum()/20print('根据公式计算的方差为：%0.2f'%(var))
连续型随机变量：
# 连续型随机变量的方差import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate
deff(x, sigma, u):# 概率密度函数return1/(np.sqrt(2* np.pi)* sigma)* np.exp(-(x - u)**2/(2* sigma **2))
x = np.linspace(-10,10,300)
y = f(x,2,2.5)# 标准差是2，均值（期望）是2.5
plt.plot(x, y)# 计算数学方差函数defD(x, sigma, u):return(x -2.5)**2* f(x, sigma, u)print('不定积分计算正太分布方差是：',
np.round(integrate.quad(D,-5,10, args =(2,2.5))[0],1))# 标准差的平方，就是方差
6.3 重要公式
上式中的
(
x
−
E
(
x
)
)
2
(x-E(x))^2
(x−E(x))2 化简如下。利用数学期望的线性性质：
这是求方差时非常常用的一个公式！
七、随机向量
🚩线性代数中，我们把标量
x
x
x 推广到向量，就是它有多个分量。
同样我们把单个随机变量可以推广到随机向量，就是它有多个分量，这样就有了随机向量的概念了，这是很自然的延申。
离散型的随机向量向量
X
X
X 取某一个具体的值为向量
X
i
X_i
Xi，然后取每一个向量值的概率都大于等于
0
0
0，所有的概率加起来要等于
1
1
1，符合这两个约束条件就可以了。
连续型的随机向量，它是用
0
0
0 和概率密度函数来描述的，
n
n
n 重积分等于
1
1
1，相当于体积等于
1
1
1。
下面是二维的随机向量：
八、随机变量独立性
🚩两个随机变量如果相互独立的话，它们的联合概率密度函数等于它们的分别的概率密度函数乘积推广到多个随机变量相互独立
这和随机事件的形式上是统一的，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 换成符号
p
(
x
)
p(x)
p(x) 就可以了。
九、协方差
🚩协方差是对于方差的推广，对于两个随机变量，它们的协方差是反应它们两个之间的线性相关程度的，把
x
2
x_2
x2 换成
x
1
x_1
x1 那就是方差了，展开之后就是
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2 的期望减去它们期望的乘积。
方差公式：
协方差公式：
对于
n
n
n 维的向量
X
X
X，它的协方差就构成了一个协方差矩阵，第一行第一个是
x
1
x_1
x1 和
x
1
x_1
x1 的协方差（即
x
1
x_1
x1 自身方差），第一行第二个是
x
1
x_1
x1 和
x
2
x_2
x2 的协方差，第一行第
n
n
n 个是
x
1
x_1
x1 和
x
n
x_n
xn 的协方差。
显然这是一个对称阵，这在我们机器学习里面会经常使用的！
import numpy as np
X = np.random.randint(1,20, size =(5,5))# numpy计算cov
display(np.cov(X,
rowvar =False,# 按照列，进行计算
bias =True))# 计算的是总体方差print('第一行第一个协方差：%0.2f'%(np.mean(X[:,0]**2)-(np.mean(X[:,0]))**2))print('第一行第二个协方差：%0.2f'%(np.mean(X[:,0]* X[:,1])- X[:,0].mean()* X[:,1].mean()))print('第一行最后一个协方差：%0.2f'%(np.mean(X[:,0]* X[:,-1])-(np.mean(X[:,0]))*(np.mean(X[:,-1]))))
十、机器学习中常见分布
正太分布：
均匀分布：
二项分布：
自然界和生活中很多事件都服从正太分布的，或者近似的服从正太分布的，比如人的身高、体重和智商，大部分人是平均值，小部分人比较胖，或比较瘦；比较高，或比较矮；比较愚钝，或比较聪明。还有考试成绩啊，人的收入等这些都近似服从正太分布。
二项分布拿我们抛硬币的例子来说，比如
x
=
0
x = 0
x=0 是背面朝下的概率，
x
=
1
x = 1
x=1 是正面朝上的概率，那么它取值只有
0
0
0 或
1
1
1 两种情况。当然不用
0
0
0 或
1
1
1，你用
−
1
-1
−1 和
+
1
+1
+1 也是可以的。都是二项分布，取每个值都有一个概率值。在我们机器学习中，主要用的就是这几种概率分布。
十一、最大似然估计
🚩最大似然是估计（求解）一个概率密度函数中参数问题的。比如有个向量
X
X
X，
θ
\theta
θ 是它的参数，比如正太分布中的
μ
\mu
μ 和
σ
\sigma
σ 这都是需要估计的参数。
那我们怎么估计这组参数呢？肯定是根据一组样本来学习，假设我们有
n
n
n 个样本它们是独立同分布的，也就是说它们服从同样一个概率分布，并且它们之间相互独立的，抽样出来的
那么所有变量发生的概率就可以写成它们乘积的形式，因为它们之间是相互独立的嘛，这时
L
L
L 是似然函数，这里
x
x
x 是已经取了具体样本的值了，
θ
\theta
θ 是我们要估计的参数
既然这组样本是已经抽样抽出来的，是已经发生的，我们肯定要把它发生的概率最大化，也就是说要最大化这样一个似然函数
求解一个函数的极值，就是要求解它的导数，也就是梯度等于
0
0
0
而这样的乘积形式求导是不容易的（多个累乘，就更加麻烦！），之前讲过导数求导公式
如果更多项展开是非常麻烦的，所以我们可以对函数取对数，因为对数函数是单调增函数，所以求原函数的极值，也等于求它的对数形式的极值，所以我们两边取对数的话，就把连乘的形式转化为了连加的形式，因为连加的形式的导数，就是等于导数的连加
所以我们要解决的问题就是求这个函数的极大值，这个可以对
θ
\theta
θ 求导让它等于
0
0
0 得到，带
log
\log
log 的是对数似然函数，这就是最大似然函数最基本的思想
如果数据符合正太分布，那么通过最大似然可以推导出线性回归的损失函数
M
S
E
MSE
MSE （最小二乘法）：
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