这个实验的要求写的还是挺清楚的（与上学期相比），本博客采用python实现，科学计算库采用
numpy
，作图采用
matplotlib.pyplot
，为了简便在文件开头import如下：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
本实验用到的numpy函数
一般把
numpy
简写为
np
（import numpy as np）。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上
import numpy as np
。
np.array
该函数返回一个
numpy.ndarray
对象，可以理解为一个多维数组（本实验中仅会用到一维（可以当作列向量）和二维（矩阵））。下面用小写的
x\pmb xxx表示列向量，大写的AAA表示矩阵。
A.T
表示
AAA的转置。对
ndarray
的运算一般都是逐元素的。
>>> x = np.array([1,2,3])>>> xarray([1,2,3])>>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])>>> Aarray([[2,3,4],[5,6,7]])>>> A.T # 转置array([[2,5],[3,6],[4,7]])>>> A +1array([[3,4,5],[6,7,8]])>>> A *2array([[4,6,8],[10,12,14]])
np.random
np.random
模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数（梯度下降法），给数据添加噪声。
>>> np.random.rand(3,3)# 生成3 * 3 随机矩阵，每个元素服从[0,1)均匀分布array([[8.18713933e-01,5.46592778e-01,1.36380542e-01],[9.85514865e-01,7.07323389e-01,2.51858374e-04],[3.14683662e-01,4.74980699e-02,4.39658301e-01]])>>> np.random.rand(1)# 生成单个随机数array([0.70944563])>>> np.random.rand(5)# 长为5的一维随机数组array([0.03911319,0.67572368,0.98884287,0.12501456,0.39870096])>>> np.random.randn(3,3)# 同上，但每个元素服从N(0, 1)（标准正态）
数学函数
本实验中只用到了
np.sin
。这些数学函数是对
np.ndarray
逐元素操作的：
>>> x = np.array([0,3.1415,3.1415/2])# 0, pi, pi / 2>>> np.round(np.sin(x))# 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1array([0.,0.,1.])
此外，还有
np.log
、
np.exp
等与python的
math
库相似的函数（只不过是对多维数组进行逐元素运算）。
np.dot
返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地，当其中一个为一维数组时，形状会自动适配为
n×1n\times1n×1或1×n.1\times n.1×n.
>>> x = np.array([1,2,3])# 一维数组>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]])# 3 * 3矩阵>>> np.dot(x,A)array([14,14,14])>>> np.dot(A,x)array([6,12,18])>>> x_2D = np.array([[1,2,3]])# 这是一个二维数组（1 * 3矩阵）>>> np.dot(x_2D, A)# 可以运算array([[14,14,14]])>>> np.dot(A, x_2D)# 行列不匹配Traceback (most recent call last):File "<stdin>", line 1,in<module>File "<__array_function__ internals>", line 5,in dotValueError: shapes (3,3)and(1,3)not aligned:3(dim 1)!=1(dim 0)
np.eye
np.eye(n)
返回一个n阶单位阵。
>>> A = np.eye(3)>>> Aarray([[1.,0.,0.],[0.,1.,0.],[0.,0.,1.]])
线性代数相关
np.linalg
是与线性代数有关的库。
>>> Aarray([[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]])>>> np.linalg.inv(A)# 求逆（本实验不考虑逆不存在）array([[1.,0.,0.],[0.,0.5,0.],[0.,0.,0.33333333]])>>> x = np.array([1,2,3])>>> np.linalg.norm(x)# 返回向量x的模长（平方求和开根号）3.7416573867739413>>> np.linalg.eigvals(A)# A的特征值array([1.,2.,3.])
生成数据
生成数据要求加入噪声（误差）。上课讲的时候举的例子就是正弦函数，我们这里也采用标准的正弦函数
y=sinx.y=\sin x.y=sinx.（加入噪声后即为y=sinx+ϵ,y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ∼N(0,σ2)\epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ∼N(0,σ2),由于sinx\sin xsinx的最大值为111,我们把误差的方差设小一点，这里设成125\frac{1}{25}251）。
'''返回数据集，形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]保证 bound[0] <= x_i < bound[1].- N 数据集大小, 默认为 100- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)'''defget_dataset(N =100, bound =(0,10)):l, r = bound# np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布，再根据l, r缩放平移# 这里sort是为了画图时不会乱，可以去掉sorted试一试x =sorted(np.random.rand(N)*(r - l)+ l)# np.random.randn 产生N(0,1)，除以5会变为N(0, 1 / 25)y = np.sin(x)+ np.random.randn(N)/5return np.array([x,y]).T
产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样：
隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下：
dataset = get_dataset(bound =(-3,3))# 绘制数据集散点图for[x, y]in dataset:plt.scatter(x, y, color ='red')plt.show()
最小二乘法拟合
下面我们分别用四种方法（最小二乘，正则项/岭回归，梯度下降法，共轭梯度法）以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。
解析解推导
简单回忆一下最小二乘法的原理：现在我们想用一个
mmm次多项式f(x)=w0+w1x+w2x2+...+wmxmf(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^mf(x)=w0+w1x+w2x2+...+wmxm
来近似真实函数
y=sinx.y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)上的损失LLL（loss），这里损失函数采用平方误差：L=∑i=1N[yi−f(xi)]2L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2L=i=1∑N[yi−f(xi)]2
为了求得使均方误差最小（因此最贴合目标曲线）的参数
w0,w1,...,wm,w_0,w_1,...,w_m,w0,w1,...,wm,我们需要分别求损失LLL关于w0,w1,...,wmw_0,w_1,...,w_mw0,w1,...,wm的导数。为了方便，我们采用线性代数的记法：X=(1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm)N×(m+1),Y=(y1y2⋮yN)N×1,W=(w0w1⋮wm)(m+1)×1.X=\begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^m\\ \vdots & & & &\vdots\\ 1 & x_N & x_N^2 & \cdots & x_N^m\\\end{pmatrix}_{N\times(m+1)},Y=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\y_N\end{pmatrix}_{N\times1},W=\begin{pmatrix}w_0 \\ w_1 \\ \vdots \\w_m\end{pmatrix}_{(m+1)\times1}.X=⎝⎛11⋮1x1x2xNx12x22xN2⋯⋯⋯x1mx2m⋮xNm⎠⎞N×(m+1),Y=⎝⎛y1y2⋮yN⎠⎞N×1,W=⎝⎛w0w1⋮wm⎠⎞(m+1)×1.
在这种表示方法下，有
(f(x1)f(x2)⋮f(xN))=XW.\begin{pmatrix}f(x_1)\\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_N)\end{pmatrix}= XW.⎝⎛f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎠⎞=XW.
如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续，误差项之和可以表示为
(f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)=XW−Y.\begin{pmatrix}f(x_1)-y_1 \\ f(x_2)-y_2 \\ \vdots \\ f(x_N)-y_N\end{pmatrix}=XW-Y.⎝⎛f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎠⎞=XW−Y.
因此，损失函数
L=(XW−Y)T(XW−Y).L=(XW-Y)^T(XW-Y).L=(XW−Y)T(XW−Y).
（为了求得向量
x=(x1,x2,...,xN)T\pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^Txx=(x1,x2,...,xN)T各分量的平方和，可以对x\pmb xxx作内积，即xTx.\pmb x^T \pmb x.xxTxx.）
为了求得使
LLL最小的WWW(这个WWW是一个列向量)，我们需要对LLL求偏导数，并令其为0:0:0:∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial W}&=\frac{\partial}{\partial W}[(XW-Y)^T(XW-Y)]\\ &=\frac{\partial}{\partial W}[(W^TX^T-Y^T)(XW-Y)] \\ &=\frac{\partial}{\partial W}(W^TX^TXW-W^TX^TY-Y^TXW+Y^TY)\\ &=\frac{\partial}{\partial W}(W^TX^TXW-2Y^TXW+Y^TY)(容易验证,W^TX^TY=Y^TXW,因而可以将其合并)\\ &=2X^TXW-2X^TY\end{aligned}∂W∂L=∂W∂[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂W∂[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂W∂(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂W∂(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
说明：
（1）从第3行到第4行，由于
WTXTYW^TX^TYWTXTY和YTXWY^TXWYTXW都是数（或者说1×11\times11×1矩阵），二者互为转置，因此值相同，可以合并成一项。
（2）从第4行到第5行的矩阵求导，第一项
∂∂W(WT(XTX)W)\frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W)∂W∂(WT(XTX)W)是一个关于WWW的二次型，其导数就是2XTXW.2X^TXW.2XTXW.
（3）对于一次项
−2YTXW-2Y^TXW−2YTXW的求导，如果按照实数域的求导应该得到−2YTX.-2Y^TX.−2YTX.但检查一下发现矩阵的型对不上，需要做一下转置，变为−2XTY.-2X^TY.−2XTY.
矩阵求导线性代数课上也没有系统教过，只对这里出现的做一下说明。（多了我也不会 ）
令偏导数为0，得到
XTXW=YTX,X^TXW=Y^TX,XTXW=YTX,
左乘
(XTX)−1(X^TX)^{-1}(XTX)−1（XTXX^TXXTX的可逆性见下方的补充说明），得到W=(XTX)−1XTY.W=(X^TX)^{-1}X^TY.W=(XTX)−1XTY.
这就是我们想求的
WWW的解析解，我们只需要调用函数算出这个值即可。
'''最小二乘求出解析解, m 为多项式次数最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)- dataset 数据集- m 多项式次数, 默认为 5'''deffit(dataset, m =5):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(m +1)]).TY = dataset[:,1]return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
稍微解释一下代码：第一行即生成上面约定的
XXX矩阵，
dataset[:,0]
即数据集第0列
(x1,x2,...,xN)T(x_1,x_2,...,x_N)^T(x1,x2,...,xN)T；第二行即YYY矩阵；第三行返回上面的解析解。（如果不熟悉python语法或者
numpy
库还是挺不友好的）
简单地验证一下我们已经完成的函数的结果：为此，我们先写一个
draw
函数，用于把求得的
WWW对应的多项式f(x)f(x)f(x)画到
pyplot
库的图像上去：
'''绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像- dataset 数据集- w 通过上面四种方法求得的系数- color 绘制颜色, 默认为 red- label 图像的标签'''defdraw(dataset, w, color ='red', label =''):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(len(w))]).TY = np.dot(X, w)plt.plot(dataset[:,0], Y, c = color, label = label)
然后是主函数：
if __name__ =='__main__':dataset = get_dataset(bound =(-3,3))# 绘制数据集散点图for[x, y]in dataset:plt.scatter(x, y, color ='red')# 最小二乘coef1 = fit(dataset)draw(dataset, coef1, color ='black', label ='OLS')# 绘制图像plt.legend()plt.show()
可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的（数据集每次随机生成，所以跟第一幅图不一样）。
截至这部分全部的代码，后面同名函数不再给出说明：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt'''返回数据集，形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]保证 bound[0] <= x_i < bound[1].- N 数据集大小, 默认为 100- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]'''defget_dataset(N =100, bound =(0,10)):l, r = boundx =sorted(np.random.rand(N)*(r - l)+ l)y = np.sin(x)+ np.random.randn(N)/5return np.array([x,y]).T'''最小二乘求出解析解, m 为多项式次数最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)- dataset 数据集- m 多项式次数, 默认为 5'''deffit(dataset, m =5):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(m +1)]).TY = dataset[:,1]return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)'''绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像- dataset 数据集- w 通过上面四种方法求得的系数- color 绘制颜色, 默认为 red- label 图像的标签'''defdraw(dataset, w, color ='red', label =''):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(len(w))]).TY = np.dot(X, w)plt.plot(dataset[:,0], Y, c = color, label = label)if __name__ =='__main__':dataset = get_dataset(bound =(-3,3))# 绘制数据集散点图for[x, y]in dataset:plt.scatter(x, y, color ='red')coef1 = fit(dataset)draw(dataset, coef1, color ='black', label ='OLS')plt.legend()plt.show()
补充说明
上面有一块不太严谨：对于一个矩阵
XXX而言，XTXX^TXXTX不一定可逆。然而在本实验中，可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课，我们就不费太多篇幅介绍这个了，仅作简单提示：
（1）
XXX是一个N×(m+1)N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数NNN远大于多项式次数mmm，有N>m+1;N>m+1;N>m+1;
（2）为了说明
XTXX^TXXTX可逆，需要说明(XTX)(m+1)×(m+1)(X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(XTX)(m+1)×(m+1)满秩，即R(XTX)=m+1;R(X^TX)=m+1;R(XTX)=m+1;
（3）在线性代数中，我们证明过
R(X)=R(XT)=R(XTX)=R(XXT);R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(XT)=R(XTX)=R(XXT);
（4）
XXX是一个范德蒙矩阵，由其性质可知其秩等于min{N,m+1}=m+1.min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.
添加正则项（岭回归）
最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷，我们用所生成数据集的前50个点进行训练（这样抽样不够均匀，这里只是为了说明过拟合），得出参数，再画出整个函数图像，查看拟合效果：
if __name__ =='__main__':dataset = get_dataset(bound =(-3,3))# 绘制数据集散点图for[x, y]in dataset:plt.scatter(x, y, color ='red')# 取前50个点进行训练coef1 = fit(dataset[:50], m =3)# 再画出整个数据集上的图像draw(dataset, coef1, color ='black', label ='OLS')
过拟合在
mmm较大时尤为严重（上面图像为m=3m=3m=3时）。当多项式次数升高时，为了尽可能贴近所给数据集，计算出来的系数的数量级将会越来越大，在未见样本上的表现也就越差。如上图，可以看到拟合在前50个点（大约在横坐标[−3,0][-3,0][−3,0]处）表现很好；而在测试集上表现就很差（[0,3][0,3][0,3]处）。为了防止过拟合，可以引入正则化项。此时损失函数LLL变为L=(XW−Y)T(XW−Y)+λ∣∣W∣∣22L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2L=(XW−Y)T(XW−Y)+λ∣∣W∣∣22
其中
∣∣⋅∣∣22||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣22表示L2L_2L2范数的平方，在这里即WTW;λW^TW;\lambdaWTW;λ为正则化系数。该式子也称岭回归（Ridge Regression）。它的思想是兼顾损失函数与所得参数WWW的模长（在L2L_2L2范数时），防止WWW内的参数过大。
举个例子(数是随便编的)：当正则化系数为
111，若方案1在数据集上的平方误差为0.5,0.5,0.5,此时W=(100,−200,300,150)TW=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)T；方案2在数据集上的平方误差为10,10,10,此时W=(1,−3,2,1)W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W.W.W.正则化系数λ\lambdaλ刻画了这种对于WWW模长的重视程度：λ\lambdaλ越大，说明WWW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ=0,\lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO，就是将正则化项换为L1L_1L1范数。
重复上面的推导，我们可以得出解析解为
W=(XTX+λEm+1)−1XTY.W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.W=(XTX+λEm+1)−1XTY.
其中
Em+1E_{m+1}Em+1为m+1m+1m+1阶单位阵。容易得到(XTX+λEm+1)(X^TX+\lambda E_{m+1})(XTX+λEm+1)也是可逆的。
该部分代码如下。
'''岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W- dataset 数据集- m 多项式次数, 默认为 5- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5'''defridge_regression(dataset, m =5, l =0.5):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(m +1)]).TY = dataset[:,1]return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)+ l * np.eye(m +1)), X.T), Y)
两种方法的对比如下：
对比可以看出，岭回归显著减轻了过拟合（此时为
m=3,λ=0.3m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3）。
梯度下降法
梯度下降法并不是求解该问题的最好方法，很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想：若我们想求取复杂函数
f(x)f(x)f(x)的最小值（最值点）（这个xxx可能是向量等），即xmin=arg minxf(x)x_{min}=\argmin_{x}f(x)xmin=xargminf(x)
梯度下降法重复如下操作：
（0）（随机）初始化
x0(t=0)x_0(t=0)x0(t=0)；
（1）设
f(x)f(x)f(x)在xtx_txt处的梯度（当xxx为一维时，即导数）∇f(xt)\nabla f(x_t)∇f(xt)；
（2）
xt+1=xt−η∇f(xt)x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)xt+1=xt−η∇f(xt)
（3）若
xt+1x_{t+1}xt+1与xtx_txt相差不大（达到预先设定的范围）或迭代次数达到预设上限，停止算法；否则重复（1）（2）.
其中
η\etaη为学习率，它决定了梯度下降的步长。
下面是一个用梯度下降法求取
y=x2y=x^2y=x2的最小值点的示例程序：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdeff(x):return x **2defdraw():x = np.linspace(-3,3)y = f(x)plt.plot(x, y, c ='red')cnt =0# 初始化 xx = np.random.rand(1)*3learning_rate =0.05whileTrue:grad =2* x# -----------作图用，非算法部分-----------plt.scatter(x, f(x), c ='black')plt.text(x +0.3, f(x)+0.3,str(cnt))# -------------------------------------new_x = x - grad * learning_rate# 判断收敛ifabs(new_x - x)<1e-3:breakx = new_xcnt +=1draw()plt.show()
上图标明了
xxx随着迭代的演进，可以看到xxx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是，学习率不能过大（虽然在上面的程序中，学习率设置得有点小了），需要手动进行尝试调整，否则容易想象，xxx在正负半轴来回震荡，难以收敛。
在最小二乘法中，我们需要优化的函数是损失函数
L=(XW−Y)T(XW−Y).L=(XW-Y)^T(XW-Y).L=(XW−Y)T(XW−Y).
下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中，
∂L∂W=2XTXW−2XTY,\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial W}=2X^TXW-2X^TY\end{aligned},∂W∂L=2XTXW−2XTY,
于是我们每次在迭代中对
WWW减去该梯度，直到参数WWW收敛。不过经过实验，平方误差会使得梯度过大，过程无法收敛，因此采用均方误差(MSE)替换之，就是给原来的式子除以NNN:
'''梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛- dataset 数据集- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01'''defGD(dataset, m =3, max_iteration =1000, lr =0.01):# 初始化参数w = np.random.rand(m +1)N =len(dataset)X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(len(w))]).TY = dataset[:,1]try:for i inrange(max_iteration):pred_Y = np.dot(X, w)# 均方误差（省略系数2）grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y)/ Nw -= lr * grad'''为了能捕获这个溢出的 Warning，需要import warnings并在主程序中加上：warnings.simplefilter('error')'''except RuntimeWarning:print('梯度下降法溢出, 无法收敛')return w
这时如果
mmm设置得稍微大一点（比如4），在迭代过程中梯度就会溢出，使参数无法收敛。在收敛时，拟合效果还算可以：
共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradients）可以用来求解形如
Ax=bA\pmb x=\pmb bAxx=bb的方程组，或最小化二次型f(x)=12xTAx−bTx+c.f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(xx)=21xxTAxx−bbTxx+c.（可以证明对于正定的AAA,二者等价）其中AAA为**正定**矩阵。在本问题中，我们要求解XTXW=YTX,X^TXW=Y^TX,XTXW=YTX,
就有
A(m+1)×(m+1)=XTX,b=YT.A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A(m+1)×(m+1)=XTX,bb=YT.若我们想加一个正则项，就变成求解(XTX+λE)W=YTX.(X^TX+\lambda E)W=Y^TX.(XTX+λE)W=YTX.
首先说明一点：
XTXX^TXXTX不一定是正定的但一定是半正定的（证明见此）。但是在实验中我们基本不用担心这个问题，因为XTXX^TXXTX有极大可能是正定的，我们只在代码中加一个断言（assert），不多关注这个条件。
共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长，可以参考这个系列，这里只给出算法步骤（在上面链接的第三篇开头）：
（0）初始化
x(0);x_{(0)};x(0);
（1）初始化
d(0)=r(0)=b−Ax(0);d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d(0)=r(0)=b−Ax(0);
（2）令
α(i)=r(i)Tr(i)d(i)TAd(i);\alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};α(i)=d(i)TAd(i)r(i)Tr(i);
（3）迭代
x(i+1)=x(i)+α(i)d(i);x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x(i+1)=x(i)+α(i)d(i);
（4）令
r(i+1)=r(i)−α(i)Ad(i);r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r(i+1)=r(i)−α(i)Ad(i);
（5）令
β(i+1)=r(i+1)Tr(i+1)r(i)Tr(i),d(i+1)=r(i+1)+β(i+1)d(i).\beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.β(i+1)=r(i)Tr(i)r(i+1)Tr(i+1),d(i+1)=r(i+1)+β(i+1)d(i).
（6）当
∣∣r(i)∣∣∣∣r(0)∣∣<ϵ\frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon∣∣r(0)∣∣∣∣r(i)∣∣<ϵ时，停止算法；否则继续从（2）开始迭代。ϵ\epsilonϵ为预先设定好的很小的值，我这里取的是10−5.10^{-5}.10−5.
下面我们按照这个过程实现代码：
'''共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数- dataset 数据集- m 多项式次数, 默认为 5- regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化'''defCG(dataset, m =5, regularize =0):X = np.array([dataset[:,0]** i for i inrange(m +1)]).TA = np.dot(X.T, X)+ regularize * np.eye(m +1)assert np.all(np.linalg.eigvals(A)>0),'矩阵不满足正定!'b = np.dot(X.T, dataset[:,1])w = np.random.rand(m +1)epsilon =1e-5# 初始化参数d = r = b - np.dot(A, w)r0 = rwhileTrue:alpha = np.dot(r.T, r)/ np.dot(np.dot(d, A), d)w += alpha * dnew_r = r - alpha * np.dot(A, d)beta = np.dot(new_r.T, new_r)/ np.dot(r.T, r)d = beta * d + new_rr = new_r# 基本收敛，停止迭代if np.linalg.norm(r)/ np.linalg.norm(r0)< epsilon:breakreturn w
相比于朴素的梯度下降法，共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差：在
m=7m=7m=7时，其与最小二乘法对比如下：
此时，仍然可以通过正则项部分缓解（图为
m=7,λ=1m=7,\lambda=1m=7,λ=1）：
最后附上四种方法的拟合图像（基本都一样）和主函数，可以根据实验要求调整参数：
if __name__ =='__main__':warnings.simplefilter('error')dataset = get_dataset(bound =(-3,3))# 绘制数据集散点图for[x, y]in dataset:plt.scatter(x, y, color ='red')# 最小二乘法coef1 = fit(dataset)# 岭回归coef2 = ridge_regression(dataset)# 梯度下降法coef3 = GD(dataset, m =3)# 共轭梯度法coef4 = CG(dataset)# 绘制出四种方法的曲线draw(dataset, coef1, color ='red', label ='OLS')draw(dataset, coef2, color ='black', label ='Ridge')draw(dataset, coef3, color ='purple', label ='GD')draw(dataset, coef4, color ='green', label ='CG(lambda:0)')# 绘制标签, 显示图像plt.legend()plt.show()
本文转载自: https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062
版权归原作者 Castria 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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