目录
1 前言
本文为自己自学内容的记录，其中多有借鉴别人博客的地方，一并在参考文献中给出链接，其中大部分截图来自李宏毅深度学习PPT课件。其中内容有理解不到位的地方，各位大佬在评论区给出修改意见，感恩。
本文前置知识高斯混合模型和EM算法，如果不了解这两种算法直接看VAE模型会有理解上的障碍。
2 VAE模型
2.1 VAE模型推导
VAE模型的初始化推导和EM算法的推导有相似之处，不同的是在VAE模型中隐变量
Z
Z
Z是一个连续的无穷维而不是跟高斯分布一样为有限的离散变量，所以在VAE的参数估计中用到了神经网络。
VAE是一个深度生成模型，其最终目的是生成出概率分布
P
(
x
)
P(x)
P(x)，
x
x
x即输入数据。在VAE中，通过高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)来生成
P
(
x
)
P(x)
P(x)，也就是说
P
(
x
)
P(x)
P(x)是由一系列高斯分布叠加而成的，每一个高斯分布都有它自己的参数
μ
\mu
μ 和
σ
\sigma
σ。
为此假设隐变量
z
z
z服从
z
∼
N
(
0
,
I
)
\mathrm{z} \sim \mathrm{N}(0, \mathrm{I})
z∼N(0,I)(注意
z
z
z是一个向量，生成自一个高斯分布)，并且找一个映射关系将向量
z
z
z映射成这一系列高斯分布的参数向量
μ
(
z
)
\mu(z)
μ(z)和
σ
(
z
)
\sigma (z)
σ(z)。有了这一系列高斯分布的参数，就可以得到叠加后的
P
(
x
)
P(x)
P(x)的形式，即
x
∣
z
∼
N
(
μ
(
z
)
,
σ
(
z
)
)
\mathrm{x} \mid \mathrm{z} \sim \mathrm{N}(\mu(\mathrm{z}), \sigma(\mathrm{z}))
x∣z∼N(μ(z),σ(z))（这里的“形式”仅是对某一个向量
z
z
z所得到的）这里可以结合高斯混合模型理解，也可以结合参考文献【2】中的例子理解，总之就是假设隐变量
Z
Z
Z服从某一种分布，而观察到的样本
X
X
X属于
Z
Z
Z的某一个分布的概率。
那么要找的这个映射关系
P
(
x
∣
z
)
P(x|z)
P(x∣z)如何获得？这里就需要用到神经网络，那么为什么不用极大似然估计，因为在VAE模型中隐变量数量假设是高维无限的，没有办法用积分去做，所以用神经网络去拟合（神经网络可以拟合任意函数）。如下图所示：
输入向量
z
z
z，得到参数向量
μ
(
z
)
\mu (z)
μ(z)和
σ
(
z
)
\sigma (z)
σ(z)。这个映射关系是要在训练过程中更新NN权重得到的。这部分作用相当于最终的解码器(decoder)。
对于某一个向量
z
z
z我们知道了如何找到
P
(
x
)
P(x)
P(x)，那么对连续变量
z
z
z依据全概率公式有:
P
(
x
)
=
∫
z
P
(
z
)
P
(
x
∣
z
)
d
z
\mathrm{P}(\mathrm{x})=\int_{\mathrm{z}} \mathrm{P}(\mathrm{z}) \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z}) \mathrm{dz}
P(x)=∫zP(z)P(x∣z)dz
但是很难直接计算积分部分，因为我们很难穷举出所有的向量
z
z
z用于计算积分。又因为
P
(
x
)
P(x)
P(x) 难以计算，那么真实的后验概率
P
(
z
∣
x
)
=
P
(
z
)
P
(
x
∣
z
)
/
P
(
x
)
P(z∣x)=P(z)P(x∣z)/P(x)
P(z∣x)=P(z)P(x∣z)/P(x) 同样是不容易计算的，这也就是为什么下文要引入
q
(
z
∣
x
)
q(z|x)
q(z∣x)来近似真实后验概率
P
(
z
∣
x
)
P(z|x)
P(z∣x)。
因此我们用极大似然估计来估计
P
(
x
)
P(x)
P(x)，有似然函数
L
L
L：
L
=
∑
x
log
P
(
x
)
\mathrm{L}=\sum_{\mathrm{x}} \log \mathrm{P}(\mathrm{x})
L=x∑logP(x)
这里额外引入一个分布
q
(
z
∣
x
)
q(z|x)
q(z∣x)，
z
∣
x
∼
N
(
μ
′
(
x
)
,
σ
′
(
x
)
)
z|x \sim N\big(\mu^\prime(x), \sigma^\prime(x)\big)
z∣x∼N(μ′(x),σ′(x))，这个分布表示形式如下：
这个分布同样是用一个神经网络来完成，向量
z
z
z根据NN输出的参数向量
μ
′
(
x
)
\mu '(x)
μ′(x) 和
σ
′
(
x
)
\sigma '(x)
σ′(x) 运算得到，这部分作用相当于编码器(encoder)。
注意：这里为什么需要引入额外的分布
q
(
z
∣
x
)
q(z|x)
q(z∣x)，跟EM算法的求解过程做对比，在EM算法中
q
(
z
)
q(z)
q(z)是可以取到
P
(
z
∣
x
)
P(z|x)
P(z∣x)，从而令散度等于零不断的抬升下界进行极大似然估计，但是在VAE中由于
P
(
z
∣
x
)
P(z|x)
P(z∣x)是很难求的所以引入一个变量q(x)对其进行近似。
接下来进行公式的推导，由于在EM算法中已经推导出了ELBO+KL的形式，这里就直接拿来用：
log
P
(
x
∣
θ
)
=
∫
Z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
x
,
z
∣
θ
)
q
(
z
∣
x
)
d
z
+
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
∣
x
,
θ
)
)
\log P(\mathrm{x} \mid \theta)=\int_{Z} q(\mathrm{z}|\mathrm{x}) \log \frac{P(\mathrm{x}, \mathrm{z} \mid \theta)}{q(\mathrm{z}|\mathrm{x})} d \mathrm{z}+D_{K L}(q(\mathrm{z}|\mathrm{x}) \| P(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}, \theta))
logP(x∣θ)=∫Zq(z∣x)logq(z∣x)P(x,z∣θ)dz+DKL(q(z∣x)∥P(z∣x,θ))
根据KL divergence的性质
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
∣
x
,
θ
)
)
≥
0
D_{K L}(q(\mathrm{z}|\mathrm{x}) \| P(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}, \theta)) \geq 0
DKL(q(z∣x)∥P(z∣x,θ))≥0 当且仅当
q
(
z
∣
x
)
=
P
(
z
∣
x
,
θ
)
q(\mathrm{z}|\mathrm{x})=P(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}, \theta)
q(z∣x)=P(z∣x,θ)取等号，因此有
log
P
(
x
∣
θ
)
≥
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
x
,
z
∣
θ
)
q
(
z
∣
x
)
d
z
\log P(\mathrm{x} \mid \theta) \geq \int_{z} q(\mathrm{z}|\mathrm{x}) \log \frac{P(\mathrm{x}, \mathrm{z} \mid \theta)}{q(\mathrm{z}|\mathrm{x})} d \mathrm{z}
logP(x∣θ)≥∫zq(z∣x)logq(z∣x)P(x,z∣θ)dz
因此便得到了
log
P
(
X
∣
θ
)
\log P(X \mid \theta)
logP(X∣θ)的一个下界称为Evidence Lower Bound (ELBO)，简称
L
b
L_b
Lb。最大化
L
b
L_b
Lb 就等价于最大化似然函数
L
L
L。那么接下来具体看
L
b
L_b
Lb :
L
b
=
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
z
,
x
)
q
(
z
∣
x
)
d
z
=
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
(
P
(
z
)
q
(
z
∣
x
)
⋅
P
(
x
∣
z
)
)
d
z
=
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
z
)
q
(
z
∣
x
)
d
z
+
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
x
∣
z
)
d
z
=
−
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
)
)
+
∫
z
q
(
z
∣
x
)
log
P
(
x
∣
z
)
d
z
=
−
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
)
)
+
E
q
(
z
∣
x
)
[
log
P
(
x
∣
z
)
]
\begin{aligned} \mathrm{L}_{\mathrm{b}} &=\int_{z} \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \log \frac{\mathrm{P}(\mathrm{z}, \mathrm{x})}{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})} \mathrm{dz} \\ &=\int_{\mathrm{z}} \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \log \left(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{z})}{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z})\right) \mathrm{dz} \\ &=\int_{\mathrm{z}} \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \log \frac{\mathrm{P}(\mathrm{z})}{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})} \mathrm{dz}+\int_{\mathrm{z}} \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z}) \mathrm{dz} \\ &=-\mathrm{D}_{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \| \mathrm{P}(\mathrm{z}))+\int_{\mathrm{z}} \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z}) \mathrm{dz} \\ &=-\mathrm{D}_{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \| \mathrm{P}(\mathrm{z}))+\mathrm{E}_{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})}[\log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z})] \end{aligned}
Lb=∫zq(z∣x)logq(z∣x)P(z,x)dz=∫zq(z∣x)log(q(z∣x)P(z)⋅P(x∣z))dz=∫zq(z∣x)logq(z∣x)P(z)dz+∫zq(z∣x)logP(x∣z)dz=−DKL(q(z∣x)∥P(z))+∫zq(z∣x)logP(x∣z)dz=−DKL(q(z∣x)∥P(z))+Eq(z∣x)[logP(x∣z)]
推导到这一步就会发现这种形式的公式是看VAE相关论文经常给出的形式。同时到了这一步也可以看出，最大化似然函数
L
L
L就是最大化
L
b
L_b
Lb，也即最小化
−
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
)
)
-\mathrm{D}_{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \| \mathrm{P}(\mathrm{z}))
−DKL(q(z∣x)∥P(z))和最大化
E
q
(
z
∣
x
)
[
log
P
(
x
∣
z
)
]
\mathrm{E}_{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})}[\log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z})]
Eq(z∣x)[logP(x∣z)]。
- 最小化 − D K L ( q ( z ∣ x ) ∥ P ( z ) ) -\mathrm{D}{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) | \mathrm{P}(\mathrm{z})) −DKL(q(z∣x)∥P(z))，使后验分布近似值 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)接近先验分布 P ( z ) P(z) P(z)。也就是说通过 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)生成的编码 z z z不能太离谱，要与某个分布相当才行，这里是对中间编码生成起了限制作用。当 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)和 P ( z ) P(z) P(z)都是高斯分布时，推导式有(参考文献【4】中Appendix B)： D K L ( q ( z ∣ x ) ∥ P ( z ) ) = − 1 2 ∑ j J ( 1 + log ( σ j ) 2 − ( μ j ) 2 − ( σ j ) 2 ) \mathrm{D}{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) | \mathrm{P}(\mathrm{z}))=-\frac{1}{2} \sum_{\mathrm{j}}^{\mathrm{J}}\left(1+\log \left(\sigma_{\mathrm{j}}\right)^{2}-\left(\mu_{\mathrm{j}}\right)^{2}-\left(\sigma_{\mathrm{j}}\right)^{2}\right) DKL(q(z∣x)∥P(z))=−21j∑J(1+log(σj)2−(μj)2−(σj)2) 其中 J J J表示向量 z z z的总维度数， σ j \sigma_j σj和 μ j \mu_j μj表示 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)输出的参数向量 σ \sigma σ和 μ \mu μ的第 j j j个元素。(这里的 σ \sigma σ和 μ \mu μ等于前文中 μ ′ ( x ) \mu '(x) μ′(x)和 σ ′ ( x ) \sigma '(x) σ′(x).
- 最大化 E q ( z ∣ x ) [ log P ( x ∣ z ) ] \mathrm{E}_{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})}[\log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z})] Eq(z∣x)[logP(x∣z)],即在给定编码器输出 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)下解码器输出 P ( x ∣ z ) P(x|z) P(x∣z)越大越好。这部分也就相当于最小化Reconstruction Error(重建损失)
由此我们可以得出VAE的原理图：
通常忽略掉decoder输出的
σ
(
x
)
\sigma(x)
σ(x)一项，仅要求
μ
(
x
)
\mu(x)
μ(x)与
x
x
x越接近越好。
对某一输入数据
x
x
x来说，VAE的损失函数即（
L
b
L_b
Lb取负号）:
min
Loss
V
A
E
=
D
K
L
(
q
(
z
∣
x
)
∥
P
(
z
)
)
−
E
q
(
z
∣
x
)
[
log
P
(
x
∣
z
)
]
\min \operatorname{Loss}_{\mathrm{V} \mathrm{AE}}=\mathrm{D}_{\mathrm{KL}}(\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x}) \| \mathrm{P}(\mathrm{z}))-\mathrm{E}_{\mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})}[\log \mathrm{P}(\mathrm{x} \mid \mathrm{z})]
minLossVAE=DKL(q(z∣x)∥P(z))−Eq(z∣x)[logP(x∣z)]
2.2 重参化技巧
在前面VAE的介绍中样本经过Encoder生成了隐变量的一个分布
z
∼
q
(
z
∣
x
)
\mathrm{z} \sim \mathrm{q}(\mathrm{z} \mid \mathrm{x})
z∼q(z∣x)，然后从这个分布中采样
z
z
z进行Decoder，注意“采样”这个操作是不可微的，因此不能做反向传播，所以用reparameterization trick来解决这个问题，示意图如下：
将上图左图原来的采样操作通过reparameterization trick变换为右图的形式。
我们引入一个外部向量
ϵ
∼
N
(
0
,
I
)
ϵ∼N(0,I)
ϵ∼N(0,I)，通过
z
=
μ
+
σ
⊙
ϵ
z = μ + σ ⊙ ϵ
z=μ+σ⊙ϵ计算编码
z
z
z （
⊙
\odot
⊙表示element-wise乘法，
ϵ
\epsilon
ϵ的每一维都服从标准高斯分布即
ϵ
i
∼
\epsilon_i \sim
ϵi∼ N(0,1)，由此loss的梯度可以通过
μ
\mu
μ和
σ
\sigma
σ分支传递到encoder model处（
ϵ
\epsilon
ϵ并不需要梯度信息来更新）。
这里利用了这样一个事实[3]：考虑单变量高斯分布，假设
z
∼
p
(
z
∣
x
)
=
N
(
μ
,
σ
2
)
z∼p(z∣x)=N(μ,σ 2 )
z∼p(z∣x)=N(μ,σ2)，从中采样一个
z
z
z，就相当于先从
N
(
0
,
1
)
N(0,1)
N(0,1)中采样一个
ϵ
\epsilon
ϵ，再令
z
=
μ
+
σ
⊙
ϵ
z=\mu + \sigma \odot \epsilon
z=μ+σ⊙ϵ
最终的VAE的形式如下：
3 QA
3.1 生成体现在什么地方
3.2 AE和VAE的区别
将把
x
x
x表示为输入数据，把
z
z
z表示为潜在变量(编码表示)。在普通的自编码器中，编码器将输入
x
x
x转换为潜在变量
z
z
z，而解码器将
z
z
z转换为重构的输出。而在可变自编码器中，编码器将
x
x
x转换为潜在变量
p
(
z
∣
x
)
p(z|x)
p(z∣x)的概率分布，然后对潜在变量
z
z
z随机采样，再由解码器解码成重构输出。自编码器(确定性)和可变自编码器(概率性)的区别。
4 另一种角度理解VAE
5 总结
其实那么多数学公式推导，我自己都有点晕，但是本质上就是用自编码器去产生很多高斯分布，去拟合样本的分布，然后某个x对应的高斯分布里采样z，然后复原成x，跟GAN区别就是这个是完全去模仿分布，只能生成数据中已有的图片，很难创造新的图片，最多也就是插值图片了。
也可以理解成图片的特征向量z采样于某种高斯分布，我们要把他给找出来，我们希望这个分布贴近标准正太分布，然后通过编码器生成对应均值和方差，然后采样z，希望z又能复原图片，这样就找到了这个z背后的高斯分布。这个高斯分布的均值就是最大概率生成特征z，可以复原图片，当然均值旁边采样出来的z可能可以复原的不是很像，但是也是在数据集里的，如果有2个图片的特征分布都在这个点有所重合的话，可能就是2个图片中间的插值图片了。
不足
VAE在产生新数据的时候是基于已有数据来做的，或者说是对已有数据进行某种组合而得到新数据的，它并不能生成或创造出新数据。另一方面是VAE产生的图像比较模糊。
而大名鼎鼎的GAN利用对抗学习的方式，既能生成新数据，也能产生较清晰的图像。后续的更是出现了很多种变形。
6 参考文献
[1]【深度学习】VAE(Variational Auto-Encoder)原理
[2]【干货】深入理解变分自编码器
[3]变分自编码器VAE：原来是这么一回事 | 附开源代码
[4]Auto-encoding variational bayes
[5]【机器学习】白板推导系列(三十二) ～ 变分自编码器(VAE)
[6]PyTorch实现VAE
[7]使用(VAE)生成建模,理解可变自动编码器背后的数学原理
本文转载自: https://blog.csdn.net/zfhsfdhdfajhsr/article/details/127218635
版权归原作者 一穷二白到年薪百万 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
版权归原作者 一穷二白到年薪百万 所有， 如有侵权，请联系我们删除。