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机器学习西瓜书——第七章 贝叶斯分类器

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7.1 贝叶斯决策论

贝叶斯决策论是在概率框架下实施决策的基本方法。对分类任务来说,在所有相关概率都已知的理想情形下,贝叶斯决策论考虑如何基于这些概率和误判损失来选择最优的类别标记。下面我们以多分类任务为例来解释其基本原理。

假设有

    N
   
  
  
   N
  
 
N种可能的类别标记,即

 
  
   
    Y
   
   
    =
   
   
    
     {
    
    
     
      c
     
     
      1
     
    
    
     ,
    
    
     
      c
     
     
      2
     
    
    
     ,
    
    
     …
    
    
     ,
    
    
     
      c
     
     
      N
     
    
    
     }
    
   
   
    ,
   
   
    
     λ
    
    
     
      i
     
     
      j
     
    
   
  
  
   \mathcal{Y}=\left\{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N}\right\}, \lambda_{i j}
  
 
Y={c1​,c2​,…,cN​},λij​是将一个真实标记为

 
  
   
    
     c
    
    
     j
    
   
  
  
   c_j
  
 
cj​的样本误分类为

 
  
   
    
     c
    
    
     i
    
   
  
  
   c_i
  
 
ci​所产生的损失。基于后验概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    
     c
    
    
     i
    
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c_i|x)
  
 
P(ci​∣x)可获得将样本

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x分类为

 
  
   
    
     c
    
    
     i
    
   
  
  
   c_i
  
 
ci​所产生的期望损失,即在样本

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x上的“条件风险”:

 
  
   
    
     R
    
    
     
      (
     
     
      
       c
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      x
     
     
      )
     
    
    
     =
    
    
     
      ∑
     
     
      
       j
      
      
       =
      
      
       1
      
     
     
      N
     
    
    
     
      λ
     
     
      
       i
      
      
       j
      
     
    
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       c
      
      
       j
      
     
     
      ∣
     
     
      x
     
     
      )
     
    
   
   
    R\left(c_{i} \mid \boldsymbol{x}\right)=\sum_{j=1}^{N} \lambda_{i j} P\left(c_{j} \mid \boldsymbol{x}\right)
   
  
 R(ci​∣x)=j=1∑N​λij​P(cj​∣x)

我们的任务是寻找一个判别准则

    h
   
   
    :
   
   
    X
   
   
    ↦
   
   
    Y
   
  
  
   h: \mathcal{X} \mapsto \mathcal{Y}
  
 
h:X↦Y以最小化总体风险:

 
  
   
    
     R
    
    
     (
    
    
     h
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      E
     
     
      x
     
    
    
     [
    
    
     R
    
    
     (
    
    
     h
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     ]
    
   
   
    R(h)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}[R(h(\boldsymbol{x}) \mid \boldsymbol{x})]
   
  
 R(h)=Ex​[R(h(x)∣x)]

显然,对每个样本

    x
   
  
  
   x
  
 
x,若

 
  
   
    h
   
  
  
   h
  
 
h能最小化条件风险

 
  
   
    R
   
   
    (
   
   
    h
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    )
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   R(h(x)|x)
  
 
R(h(x)∣x),则总体风险

 
  
   
    R
   
   
    (
   
   
    h
   
   
    )
   
  
  
   R(h)
  
 
R(h)也将被最小化。这样就产生了贝叶斯判定准则:为最小化总体风险,只需在每个样本上选择那个能使条件风险

 
  
   
    R
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   R(c|x)
  
 
R(c∣x)最小的类别标记,即

 
  
   
    
     
      h
     
     
      ∗
     
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       arg
      
      
       ⁡
      
      
       min
      
      
       ⁡
      
     
     
      
       c
      
      
       ∈
      
      
       Y
      
     
    
    
     R
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
   
   
    h^{*}(\boldsymbol{x})=\underset{c \in \mathcal{Y}}{\arg \min } R(c \mid \boldsymbol{x})
   
  
 h∗(x)=c∈Yargmin​R(c∣x)

此时,

     h
    
    
     ∗
    
   
  
  
   h^*
  
 
h∗称为贝叶斯最优分类器,与之对应的总体风险

 
  
   
    R
   
   
    (
   
   
    
     h
    
    
     ∗
    
   
   
    )
   
  
  
   R(h^*)
  
 
R(h∗)称为贝叶斯风险。

 
  
   
    1
   
   
    −
   
   
    R
   
   
    (
   
   
    
     h
    
    
     ∗
    
   
   
    )
   
  
  
   1 - R(h^*)
  
 
1−R(h∗)反映了分类器所能达到的最好性能,即通过机器学习所能产生的模型精度的理论上限。

具体来说,若目标是最小化分类错误率,则误判损失

     λ
    
    
     
      i
     
     
      j
     
    
   
  
  
   \lambda_{i j}
  
 
λij​可以写为

 
  
   
    
     
      λ
     
     
      
       i
      
      
       j
      
     
    
    
     =
    
    
     
      {
     
     
      
       
        
         
          
           0
          
          
           ,
          
         
        
       
       
        
         
          
            if 
          
          
           i
          
          
           =
          
          
           j
          
         
        
       
      
      
       
        
         
          
           1
          
          
           ,
          
         
        
       
       
        
         
           otherwise 
         
        
       
      
     
    
   
   
    \lambda_{i j}= \begin{cases}0, & \text { if } i=j \\ 1, & \text { otherwise }\end{cases}
   
  
 λij​={0,1,​ if i=j otherwise ​

此时条件风险为

     R
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     1
    
    
     −
    
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
   
   
    R(c|x)=1-P(c|x)
   
  
 R(c∣x)=1−P(c∣x)

于是,最小化分类错误率的贝叶斯最优分类器为:

      h
     
     
      ∗
     
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       arg
      
      
       ⁡
      
      
       max
      
      
       ⁡
      
     
     
      
       c
      
      
       ∈
      
      
       Y
      
     
    
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
   
   
    h^{*}(\boldsymbol{x})=\underset{c \in \mathcal{Y}}{\arg \max } P(c \mid \boldsymbol{x})
   
  
 h∗(x)=c∈Yargmax​P(c∣x)

即对每个样本

    x
   
  
  
   x
  
 
x,选择能使后验概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)最大的类别标记

想要使用贝叶斯判定准则来最小化决策风险,首先要获得后验概率

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)。然而,在现实任务中这通常难以直接获得。从这个角度来看,机器学习所要实现的是基于有限的训练样本集尽可能准确地估计出后验概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)。大体来说,主要有两种策略:给定

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x,可通过直接建模

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)来预测c,这样得到的是“判别式模型”;也可以先对联合概率分布

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ,
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x,c)
  
 
P(x,c)建模,然后再由此获得

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x),这样得到的是“生成式模型”。

显然,前面介绍的决策树、BP神经网络、支持向量机等,都可纳入判别式模型的范畴。对生成式模型来说,必然考虑

     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       ,
      
      
       c
      
      
       )
      
     
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
     
    
    
     =
    
    
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       c
      
      
       )
      
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       ∣
      
      
       c
      
      
       )
      
     
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
     
    
   
   
    P(c \mid \boldsymbol{x})=\frac{P(\boldsymbol{x}, c)}{P(\boldsymbol{x})}=\frac{P(c)P(\boldsymbol{x}|c)}{P(\boldsymbol{x})}
   
  
 P(c∣x)=P(x)P(x,c)​=P(x)P(c)P(x∣c)​

其中,

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c)是类“先验”概率;

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)是样本

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x相对于类标记

 
  
   
    c
   
  
  
   c
  
 
c的类条件概率,或者称为“似然”;

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(x)
  
 
P(x)是用于归一化的“证据”因子。对给定样本

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x,证据因子

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(x)
  
 
P(x)与类标记无关,因此估计

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)的问题就转化为如何基于训练数据D来估计先验

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c)和似然

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c).

类先验概率

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c)表达了样本空间中各类样本所占的比例,根据大数定律,当训练集包含充足的独立同分布样本时,

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c)可通过各类样本出现的频率来进行估计。

对类条件概率

    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)来说,由于它涉及关于

 
  
   
    x
   
  
  
   x
  
 
x所有属性的联合概率,直接根据样本出现的频率来估计将会遇到严重的困难。例如,假设样本的

 
  
   
    d
   
  
  
   d
  
 
d个属性都是二值的,则样本空间将由

 
  
   
    
     2
    
    
     d
    
   
  
  
   2^d
  
 
2d种可能的取值,在现实应用中,这个值往往远大于训练样本数

 
  
   
    m
   
  
  
   m
  
 
m,也就是说,很多样本取值在训练集中根本没有出现,直接使用频率来估计

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)显然不可行,因为“未被观测到”与“出现概率为零”通常是不同的。

7.2 极大似然估计

估计类条件概率的一种常用策略是先假定其具有某种确定的概率分布形式,再基于训练样本对概率分布的参数进行估计。具体地,记关于类别

    c
   
  
  
   c
  
 
c的类条件概率为

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c),假设

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)具有确定的形式并且被参数向量

 
  
   
    
     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​唯一确定,则我们的任务就是利用训练集

 
  
   
    D
   
  
  
   D
  
 
D估计参数

 
  
   
    
     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​。为明确起见,我们将

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)记为

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    
     θ
    
    
     c
    
   
   
    )
   
  
  
   P(x|\theta_c)
  
 
P(x∣θc​)。

事实上,概率模型的训练过程就是参数估计过程。对于参数估计,统计学界的两个学派分别提供了不同的解决方案:频率主义学派认为参数虽然未知,但却是客观存在的固定值,因此,可通过优化似然函数等准则来确定参数值;贝叶斯学派则认为参数是未观察到的随机变量,其本身也可有分布,因此,可假定参数服从一个先验分布,然后基于观测到的数据来计算参数的后验分布。本节介绍源自频率主义学派的极大似然估计(ELM),这是根据数据采样来估计概率分布参数的经典方法。

     D
    
    
     c
    
   
  
  
   D_c
  
 
Dc​表示训练集

 
  
   
    D
   
  
  
   D
  
 
D中第

 
  
   
    c
   
  
  
   c
  
 
c类样本组成的集合,假设这些样本是独立同分布的,则参数

 
  
   
    
     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​对于数据集

 
  
   
    
     D
    
    
     c
    
   
  
  
   D_c
  
 
Dc​的似然是:

 
  
   
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       D
      
      
       c
      
     
     
      ∣
     
     
      
       θ
      
      
       c
      
     
     
      )
     
    
    
     =
    
    
     
      ∏
     
     
      
       x
      
      
       ∈
      
      
       
        D
       
       
        c
       
      
     
    
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      x
     
     
      ∣
     
     
      
       θ
      
      
       c
      
     
     
      )
     
    
   
   
    P\left(D_{c} \mid \boldsymbol{\theta}_{c}\right)=\prod_{\boldsymbol{x} \in D_{c}} P\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{c}\right)
   
  
 P(Dc​∣θc​)=x∈Dc​∏​P(x∣θc​)

     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​进行极大似然估计,就是去寻找能最大化似然

 
  
   
    P
   
   
    
     (
    
    
     
      D
     
     
      c
     
    
    
     ∣
    
    
     
      θ
     
     
      c
     
    
    
     )
    
   
  
  
   P\left(D_{c} \mid \boldsymbol{\theta}_{c}\right)
  
 
P(Dc​∣θc​)的参数值

 
  
   
    
     
      θ
     
     
      ^
     
    
    
     c
    
   
  
  
   \hat{\boldsymbol{\theta}}_{c}
  
 
θ^c​.直观上看,极大似然估计是试图在

 
  
   
    
     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​所有可能的取值中,找到一个能使数据出现的“可能性”最大的值。

上式的连乘操作容易造成下溢,通常使用对数似然:

         L
        
        
         L
        
        
         
          (
         
         
          
           θ
          
          
           c
          
         
         
          )
         
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         log
        
        
         ⁡
        
        
         P
        
        
         
          (
         
         
          
           D
          
          
           c
          
         
         
          ∣
         
         
          
           θ
          
          
           c
          
         
         
          )
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          ∑
         
         
          
           x
          
          
           ∈
          
          
           
            D
           
           
            c
           
          
         
        
        
         log
        
        
         ⁡
        
        
         P
        
        
         
          (
         
         
          x
         
         
          ∣
         
         
          
           θ
          
          
           c
          
         
         
          )
         
        
       
      
     
    
   
   
    \begin{aligned} L L\left(\boldsymbol{\theta}_{c}\right) &=\log P\left(D_{c} \mid \boldsymbol{\theta}_{c}\right) \\ &=\sum_{\boldsymbol{x} \in D_{c}} \log P\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\theta}_{c}\right) \end{aligned}
   
  
 LL(θc​)​=logP(Dc​∣θc​)=x∈Dc​∑​logP(x∣θc​)​

此时参数

     θ
    
    
     c
    
   
  
  
   \theta_c
  
 
θc​的极大似然估计

 
  
   
    
     
      θ
     
     
      ^
     
    
    
     c
    
   
  
  
   \hat{\boldsymbol{\theta}}_{c}
  
 
θ^c​为

 
  
   
    
     
      
       θ
      
      
       ^
      
     
     
      c
     
    
    
     =
    
    
     
      
       arg
      
      
       ⁡
      
      
       max
      
      
       ⁡
      
     
     
      
       θ
      
      
       c
      
     
    
    
     L
    
    
     L
    
    
     
      (
     
     
      
       θ
      
      
       c
      
     
     
      )
     
    
   
   
    \hat{\boldsymbol{\theta}}_{c}=\underset{\boldsymbol{\theta}_{c}}{\arg \max } L L\left(\boldsymbol{\theta}_{c}\right)
   
  
 θ^c​=θc​argmax​LL(θc​)

需注意的是,这种参数化的方法虽能使类条件概率估计变得相对简单,但估计结果的准确性严重依赖所假设的概率分布形式是否符合潜在的真实数据分布。在现实应用中,欲做出能较好地接近潜在真实分布的假设,往往需在一定程度上利用关于应用任务本身的经验知识,否则若仅凭“猜测”来假设概率分布形式,很可能产生误导性的结果。

7.3 朴素贝叶斯分类器

基于贝叶斯公式来估计后验概率

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)的主要困难在于:类条件概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x|c)
  
 
P(x∣c)是所有属性上的联合概率,难以从有限的训练样本直接估计而得。为了避开这个障碍,朴素贝叶斯分类器采用了“属性条件独立性假设”:对已知类别,假设所有属性相互独立。换言之,假设每个属性独立地对分类结果发生影响。基于属性条件独立性假设可得:

 
  
   
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       c
      
      
       )
      
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       ∣
      
      
       c
      
      
       )
      
     
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
     
    
    
     =
    
    
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       c
      
      
       )
      
     
     
      
       P
      
      
       (
      
      
       x
      
      
       )
      
     
    
    
     
      ∏
     
     
      
       i
      
      
       =
      
      
       1
      
     
     
      d
     
    
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      c
     
     
      )
     
    
   
   
    P(c \mid \boldsymbol{x})=\frac{P(c) P(\boldsymbol{x} \mid c)}{P(\boldsymbol{x})}=\frac{P(c)}{P(\boldsymbol{x})} \prod_{i=1}^{d} P\left(x_{i} \mid c\right)
   
  
 P(c∣x)=P(x)P(c)P(x∣c)​=P(x)P(c)​i=1∏d​P(xi​∣c)

其中

    d
   
  
  
   d
  
 
d为属性数目,

 
  
   
    
     x
    
    
     i
    
   
  
  
   x_i
  
 
xi​在第

 
  
   
    i
   
  
  
   i
  
 
i个属性上的取值。

对所有类别来说

    P
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(x)
  
 
P(x)相同,于是,最小化分类错误率的贝叶斯最优分类器的贝叶斯判别准则有:

 
  
   
    
     
      h
     
     
      
       n
      
      
       b
      
     
    
    
     (
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       arg
      
      
       ⁡
      
      
       max
      
      
       ⁡
      
     
     
      
       c
      
      
       ∈
      
      
       Y
      
     
    
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     )
    
    
     
      ∏
     
     
      
       i
      
      
       =
      
      
       1
      
     
     
      d
     
    
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      c
     
     
      )
     
    
   
   
    h_{n b}(\boldsymbol{x})=\underset{c \in \mathcal{Y}}{\arg \max } P(c) \prod_{i=1}^{d} P\left(x_{i} \mid c\right)
   
  
 hnb​(x)=c∈Yargmax​P(c)i=1∏d​P(xi​∣c)

显然,朴素贝叶斯分类器的训练过程就是基于训练集

    D
   
  
  
   D
  
 
D来估计类先验概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c),并为每个属性估计条件概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    
     x
    
    
     i
    
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x_i|c)
  
 
P(xi​∣c).

     D
    
    
     c
    
   
  
  
   D_c
  
 
Dc​表示训练集

 
  
   
    D
   
  
  
   D
  
 
D中第

 
  
   
    c
   
  
  
   c
  
 
c类样本组成的集合,若有充足的独立同分布样本,则可容易地估计出类先验概率:

 
  
   
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       ∣
      
      
       
        D
       
       
        c
       
      
      
       ∣
      
     
     
      
       ∣
      
      
       D
      
      
       ∣
      
     
    
   
   
    P(c)=\frac{\left|D_{c}\right|}{|D|}
   
  
 P(c)=∣D∣∣Dc​∣​

对离散属性而言,令

     D
    
    
     
      c
     
     
      ,
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
    
   
  
  
   D_{c,x_i}
  
 
Dc,xi​​表示

 
  
   
    
     D
    
    
     c
    
   
  
  
   D_c
  
 
Dc​中第

 
  
   
    i
   
  
  
   i
  
 
i个属性上取值为

 
  
   
    
     x
    
    
     i
    
   
  
  
   x_i
  
 
xi​的样本组成的集合,则条件概率

 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    
     x
    
    
     i
    
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x_i|c)
  
 
P(xi​∣c)可估计为

 
  
   
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      c
     
     
      )
     
    
    
     =
    
    
     
      
       ∣
      
      
       
        D
       
       
        
         c
        
        
         ,
        
        
         
          x
         
         
          i
         
        
       
      
      
       ∣
      
     
     
      
       ∣
      
      
       
        D
       
       
        c
       
      
      
       ∣
      
     
    
   
   
    P\left(x_{i} \mid c\right)=\frac{\left|D_{c, x_{i}}\right|}{\left|D_{c}\right|}
   
  
 P(xi​∣c)=∣Dc​∣∣Dc,xi​​∣​

对连续属性可考虑概率密度函数,假定

    p
   
   
    
     (
    
    
     
      x
     
     
      i
     
    
    
     ∣
    
    
     c
    
    
     )
    
   
   
    ∼
   
   
    N
   
   
    
     (
    
    
     
      μ
     
     
      
       c
      
      
       ,
      
      
       i
      
     
    
    
     ,
    
    
     
      σ
     
     
      
       c
      
      
       ,
      
      
       i
      
     
     
      2
     
    
    
     )
    
   
  
  
   p\left(x_{i} \mid c\right) \sim \mathcal{N}\left(\mu_{c, i}, \sigma_{c, i}^{2}\right)
  
 
p(xi​∣c)∼N(μc,i​,σc,i2​),其中

 
  
   
    
     μ
    
    
     
      c
     
     
      ,
     
     
      i
     
    
   
  
  
   \mu_{c, i}
  
 
μc,i​和

 
  
   
    
     σ
    
    
     
      c
     
     
      ,
     
     
      i
     
    
    
     2
    
   
  
  
   \sigma_{c, i}^{2}
  
 
σc,i2​分别是第

 
  
   
    c
   
  
  
   c
  
 
c类样本在第

 
  
   
    i
   
  
  
   i
  
 
i个属性上取值的均值和方差,则有

 
  
   
    
     p
    
    
     
      (
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      c
     
     
      )
     
    
    
     =
    
    
     
      1
     
     
      
       
        
         2
        
        
         π
        
       
      
      
       
        σ
       
       
        
         c
        
        
         ,
        
        
         i
        
       
      
     
    
    
     exp
    
    
     ⁡
    
    
     
      (
     
     
      −
     
     
      
       
        
         (
        
        
         
          x
         
         
          i
         
        
        
         −
        
        
         
          μ
         
         
          
           c
          
          
           ,
          
          
           i
          
         
        
        
         )
        
       
       
        2
       
      
      
       
        2
       
       
        
         σ
        
        
         
          c
         
         
          ,
         
         
          i
         
        
        
         2
        
       
      
     
     
      )
     
    
   
   
    p\left(x_{i} \mid c\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{c, i}} \exp \left(-\frac{\left(x_{i}-\mu_{c, i}\right)^{2}}{2 \sigma_{c, i}^{2}}\right)
   
  
 p(xi​∣c)=2π​σc,i​1​exp(−2σc,i2​(xi​−μc,i​)2​)

下面我们以西瓜数据集3.0训练一个朴素贝叶斯分类器。
在这里插入图片描述
对以下测试例子进行分类:
在这里插入图片描述

首先估计类先验概率

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(c)
  
 
P(c),显然有

在这里插入图片描述
然后,为每个属性估计条件概率

    P
   
   
    (
   
   
    
     x
    
    
     i
    
   
   
    ∣
   
   
    c
   
   
    )
   
  
  
   P(x_i|c)
  
 
P(xi​∣c):

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
于是,有
在这里插入图片描述
由于

    0.038
   
   
    >
   
   
    6.80
   
   
    ×
   
   
    1
   
   
    
     0
    
    
     
      −
     
     
      5
     
    
   
  
  
   0.038>6.80×10^{-5}
  
 
0.038>6.80×10−5,因此,朴素贝叶斯分类器将测试样本判别为“好瓜”。

需要注意,若某个属性值在训练集中没有与某个类同时出现过,则直接按上述方法将会出现问题。例如,在使用西瓜数据集3.0训练朴素贝叶斯分类器时,对一个“敲声=清脆”的测试例,有

      P
     
     
      清脆|是 
     
    
    
     =
    
    
     P
    
    
     (
    
    
      敲声 
    
    
     =
    
    
      清脆 
    
    
     ∣
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      是 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      0
     
     
      8
     
    
    
     =
    
    
     0
    
   
   
    P_{\text {清脆|是 }}=P(\text { 敲声 }=\text { 清脆 } \mid \text { 好瓜 }=\text { 是 })=\frac{0}{8}=0
   
  
 P清脆|是 ​=P( 敲声 = 清脆 ∣ 好瓜 = 是 )=80​=0

则连城式计算出来的概率也为零,因此,无论该样本的其他属性是什么,哪怕在其他属性上明显像好瓜,分类的结果都将是“好瓜=否”,这显然不太合理。
为了避免其他属性携带的信息被训练集中未出现的属性值“抹去”,在估计概率值时通常需要进行“平滑”,常用“拉普拉斯修正”。具体来说,令

    N
   
  
  
   N
  
 
N表示训练集

 
  
   
    D
   
  
  
   D
  
 
D中可能的类别数,

 
  
   
    
     N
    
    
     i
    
   
  
  
   N_i
  
 
Ni​表示第

 
  
   
    i
   
  
  
   i
  
 
i个属性可能的取值数,修正得:

 
  
   
    
     
      
       
        
         
          P
         
         
          ^
         
        
        
         (
        
        
         c
        
        
         )
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          
           
            ∣
           
           
            
             D
            
            
             c
            
           
           
            ∣
           
          
          
           +
          
          
           1
          
         
         
          
           ∣
          
          
           D
          
          
           ∣
          
          
           +
          
          
           N
          
         
        
       
      
     
    
    
     
      
       
        
         
          P
         
         
          ^
         
        
        
         
          (
         
         
          
           x
          
          
           i
          
         
         
          ∣
         
         
          c
         
         
          )
         
        
       
      
     
     
      
       
        
        
         =
        
        
         
          
           
            ∣
           
           
            
             D
            
            
             
              c
             
             
              ,
             
             
              
               x
              
              
               i
              
             
            
           
           
            ∣
           
          
          
           +
          
          
           1
          
         
         
          
           
            ∣
           
           
            
             D
            
            
             c
            
           
           
            ∣
           
          
          
           +
          
          
           
            N
           
           
            i
           
          
         
        
       
      
     
    
   
   
    \begin{aligned} \hat{P}(c) &=\frac{\left|D_{c}\right|+1}{|D|+N} \\ \hat{P}\left(x_{i} \mid c\right) &=\frac{\left|D_{c, x_{i}}\right|+1}{\left|D_{c}\right|+N_{i}} \end{aligned}
   
  
 P^(c)P^(xi​∣c)​=∣D∣+N∣Dc​∣+1​=∣Dc​∣+Ni​∣Dc,xi​​∣+1​​

例如,在本节的例子中,类先验概率可估计为

      P
     
     
      ^
     
    
    
     (
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      是 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       8
      
      
       +
      
      
       1
      
     
     
      
       17
      
      
       +
      
      
       2
      
     
    
    
     ≈
    
    
     0.474
    
    
     ,
    
    
    
     
      P
     
     
      ^
     
    
    
     (
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      否 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       9
      
      
       +
      
      
       1
      
     
     
      
       17
      
      
       +
      
      
       2
      
     
    
    
     ≈
    
    
     0.526
    
   
   
    \hat{P}(\text { 好瓜 }=\text { 是 })=\frac{8+1}{17+2} \approx 0.474, \quad \hat{P}(\text { 好瓜 }=\text { 否 })=\frac{9+1}{17+2} \approx 0.526
   
  
 P^( 好瓜 = 是 )=17+28+1​≈0.474,P^( 好瓜 = 否 )=17+29+1​≈0.526

类似得,

      P
     
     
      ^
     
    
    
     青绿|是 
    
   
  
  
   \hat{P}_{\text {青绿|是 }}
  
 
P^青绿|是 ​和

 
  
   
    
     
      P
     
     
      ^
     
    
    
     青绿|否 
    
   
  
  
   \hat{P}_{\text {青绿|否 }}
  
 
P^青绿|否 ​可估计为

 
  
   
    
     
      
       P
      
      
       ^
      
     
     
      青绿|是 
     
    
    
     =
    
    
     
      P
     
     
      ^
     
    
    
     (
    
    
      色泽 
    
    
     =
    
    
      青绿 
    
    
     ∣
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      是 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       3
      
      
       +
      
      
       1
      
     
     
      
       8
      
      
       +
      
      
       3
      
     
    
    
     ≈
    
    
     0.364
    
   
   
    \hat{P}_{\text {青绿|是 }}=\hat{P}(\text { 色泽 }=\text { 青绿 } \mid \text { 好瓜 }=\text { 是 })=\frac{3+1}{8+3} \approx 0.364
   
  
 P^青绿|是 ​=P^( 色泽 = 青绿 ∣ 好瓜 = 是 )=8+33+1​≈0.364

 
  
   
    
     
      
       P
      
      
       ^
      
     
     
      青绿|否 
     
    
    
     =
    
    
     
      P
     
     
      ^
     
    
    
     (
    
    
      色泽 
    
    
     =
    
    
      青绿 
    
    
     ∣
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      否 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       3
      
      
       +
      
      
       1
      
     
     
      
       9
      
      
       +
      
      
       3
      
     
    
    
     ≈
    
    
     0.333
    
   
   
    \hat{P}_{\text {青绿|否 }}=\hat{P}(\text { 色泽 }=\text { 青绿 } \mid \text { 好瓜 }=\text { 否 })=\frac{3+1}{9+3} \approx 0.333
   
  
 P^青绿|否 ​=P^( 色泽 = 青绿 ∣ 好瓜 = 否 )=9+33+1​≈0.333

同时,上文提到的概率

     P
    
    
     
      清
     
     
      脆
     
     
      ∣
     
     
      是
     
    
   
  
  
   P_{清脆|是}
  
 
P清脆∣是​可估计为

 
  
   
    
     
      
       P
      
      
       ^
      
     
     
      清脆|是 
     
    
    
     =
    
    
     
      P
     
     
      ^
     
    
    
     (
    
    
      敲声 
    
    
     =
    
    
      清脆 
    
    
     ∣
    
    
      好瓜 
    
    
     =
    
    
      是 
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      
       0
      
      
       +
      
      
       1
      
     
     
      
       8
      
      
       +
      
      
       3
      
     
    
    
     ≈
    
    
     0.091
    
   
   
    \hat{P}_{\text {清脆|是 }}=\hat{P}(\text { 敲声 }=\text { 清脆 } \mid \text { 好瓜 }=\text { 是 })=\frac{0+1}{8+3} \approx 0.091
   
  
 P^清脆|是 ​=P^( 敲声 = 清脆 ∣ 好瓜 = 是 )=8+30+1​≈0.091

显然,拉普拉斯修正避免了因训练集样本不充分而导致概率估值为零的问题,并且在训练集变大时,修正过程所引入的先验的影响也会逐渐变得可忽略,使得估值逐渐趋向于实际概率值。拉普拉斯修正实质上假设了属性值与类别均匀分布,这是在朴素贝叶斯学习过程中额外引入的关于数据的先验。

7.4 半朴素贝叶斯分类器

为了降低估计后验概率

    P
   
   
    (
   
   
    c
   
   
    ∣
   
   
    x
   
   
    )
   
  
  
   P(c|x)
  
 
P(c∣x)的困难,朴素贝叶斯分类器采用了属性条件独立性假设,但在现实任务中这个假设往往很难成立。于是,人们尝试对属性条件独立性假设进行一定程度的放松,由此产生了一类称为“半朴素贝叶斯分类器”的学习方法。

半朴素贝叶斯分类器的基本想法是适当考虑一部分属性间的相互依赖信息,从而既不徐进行完全联合概率计算,又不至于彻底忽略了比较强的属性依赖关系。“独依赖估计”是半朴素贝叶斯分类器最常见的一种策略。顾名思义,所谓“独依赖”就是假设每个属性在类别之外最多仅依赖于一个其他属性,即

     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     ∣
    
    
     x
    
    
     )
    
    
     ∝
    
    
     P
    
    
     (
    
    
     c
    
    
     )
    
    
     
      ∏
     
     
      
       i
      
      
       =
      
      
       1
      
     
     
      d
     
    
    
     P
    
    
     
      (
     
     
      
       x
      
      
       i
      
     
     
      ∣
     
     
      c
     
     
      ,
     
     
      p
     
     
      
       a
      
      
       i
      
     
     
      )
     
    
   
   
    P(c \mid \boldsymbol{x}) \propto P(c) \prod_{i=1}^{d} P\left(x_{i} \mid c, p a_{i}\right)
   
  
 P(c∣x)∝P(c)i=1∏d​P(xi​∣c,pai​)

其中

    p
   
   
    
     a
    
    
     i
    
   
  
  
   p a_{i}
  
 
pai​为属性

 
  
   
    
     x
    
    
     i
    
   
  
  
   x_i
  
 
xi​所依赖的属性,称为

 
  
   
    
     x
    
    
     i
    
   
  
  
   x_i
  
 
xi​的父属性。此时,对每个属性

 
  
   
    
     x
    
    
     i
    
   
  
  
   x_i
  
 
xi​,若其父属性

 
  
   
    p
   
   
    
     a
    
    
     i
    
   
  
  
   p a_{i}
  
 
pai​已知,则可采用类似拉普拉斯修正的办法来估计概率值

 
  
   
    P
   
   
    
     (
    
    
     
      x
     
     
      i
     
    
    
     ∣
    
    
     c
    
    
     ,
    
    
     p
    
    
     
      a
     
     
      i
     
    
    
     )
    
   
  
  
   P\left(x_{i} \mid c, p a_{i}\right)
  
 
P(xi​∣c,pai​)。于是,问题的关键就转化为如何确定每个属性的父属性,不同的做法产生不同的独依赖分类器。

7.5 贝叶斯网

7.6 EM算法


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