高等工程数学 —— 第五章 （4）罚函数法

高等工程数学 —— 第五章 （4）罚函数法

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外点罚函数法

做题时就是构造一个

      σ 
     
    
      P 
     
    
   
     \sigma P 
    
   
 σP然后计算两种情况的一阶必要条件未知量的值，若符合不等式约束就对其进行二阶必要条件验证。若成立就对 
  
   
    
    
      σ 
     
    
   
     \sigma 
    
   
 σ取无穷大然后得到最优解。

例：

• 这里求解 x ( σ ) x(\sigma) x(σ)时对于 x 1 + x 2 ≤ 4 x_1+x_2 \leq 4 x1​+x2​≤4这种情况解得 x 1 = 3 x_1 = 3 x1​=3, x 2 = 2 x_2 = 2 x2​=2。此时发现不满足 x 1 + x 2 ≤ 4 x_1+x_2 \leq 4 x1​+x2​≤4条件。
• 因此我们对于 x 1 + x 2 ≥ 4 x_1+x_2 \geq 4 x1​+x2​≥4这种情况求解。

• 对其进行二阶充分条件的验证

• 对 σ \sigma σ取无穷大可得可行点与最优值。

内点罚函数法

只适用于只有不等式约束的非线性最优化问题。

选取障碍函数构建罚函数，然后用一阶必要条件来求解可行点的值，再用二阶充分条件来验证。最后我们对

      μ 
     
    
   
     \mu 
    
   
 μ趋近于0来得到最后的结果。

例1：

• 此处我们可以解出 x 1 = μ + 1 , x 2 = μ x_1 = \sqrt{\mu+1} , x_2 = \mu x1​=μ+1​,x2​=μ

• 用二阶充分条件验证后将 μ \mu μ取0求解。

例2：

例3：

广义乘子法

这个好像用的比较少一点，但是老师说不排除不考，简单应用还是要会的。

等式约束问题

记住上述两个公式会做题就行了。

例：

这里得到

      v 
     
     
     
       ( 
      
     
       k 
      
     
       ) 
      
     
    
   
  
    v^{(k)} 
   
  
v(k)的步骤如下：

• 有一个简单的方法，我们可以令 v ( k + 1 ) = v ( k ) v^{(k+1)} = v^{(k)} v(k+1)=v(k)来求解这个递增的上界。即 v ( k ) = 1 6 v ( k ) + 1 3 v^{(k)} = \frac 16v^{(k)} + \frac 13 v(k)=61​v(k)+31​

不等式约束问题

看例题吧，希望不考：

• 这里 v ( k ) → 2 v^{(k)} \to 2 v(k)→2也是令 v ( k + 1 ) = v ( k ) v^{(k+1)} = v^{(k)} v(k+1)=v(k)后求解 v ( k ) = 2 ( v ( k ) + σ ) 2 + σ v^{(k)} = \frac{2(v^{(k)}+\sigma)}{2+\sigma} v(k)=2+σ2(v(k)+σ)​得到的。

例：