神经网络模型--数学建模

目录

1.神经网络模型简介

神经网络是一种人工智能算法，它受到了生物神经网络的启发。类似于生物神经网络，神经网络也由许多相互连接的简单单元组成，这些单元被称为神经元。

神经网络通常被分为三个主要部分：输入层、隐藏层和输出层。输入层接受输入数据，输出层输出结果，而隐藏层在输入和输出层之间处理信息。

每个神经元接收来自其他神经元的输入，并将这些输入加权总和，并通过激活函数来产生输出。激活函数可以是线性函数，也可以是非线性函数，如sigmoid、ReLU等。

神经网络通过训练来学习输入和输出之间的关系。在训练期间，网络通过反向传播算法来调整权重和偏置，以使网络产生更准确的输出。反向传播算法通过计算输出结果和实际结果之间的误差，并反向传播到网络中的每个神经元来更新权重和偏置。

神经网络在许多领域都有广泛的应用，包括模式识别、语音识别、自然语言处理、图像处理、游戏AI等。例如，在图像处理中，神经网络可以识别和分类图像中的不同对象；在自然语言处理中，神经网络可以对文本进行情感分析、机器翻译等；在游戏AI中，神经网络可以通过训练来学习玩家的行为模式，并生成最佳策略。

2.神经网络在数学建模中用途

1. 预测模型：神经网络可以用于预测模型，例如股票价格预测、天气预测、交通流量预测等。通过训练神经网络来学习历史数据和预测目标之间的关系，可以得到一个准确的预测模型。
2. 分类模型：神经网络可以用于分类问题，例如图像分类、文本分类、音频分类等。通过训练神经网络来学习不同类别之间的差异，可以得到一个有效的分类模型。
3. 聚类模型：神经网络可以用于聚类问题，例如将相似的数据点分组。通过训练神经网络来学习数据点之间的相似性，可以得到一个有效的聚类模型。
4. 优化问题：神经网络可以用于优化问题，例如通过调整参数来最小化成本函数、最大化利润等。通过训练神经网络来学习参数之间的关系，可以得到一个有效的优化模型。

总的来说，神经网络在数学建模中的应用非常广泛，可以用于解决各种各样的问题，例如分类、预测、聚类、优化等。神经网络可以处理大量的数据，并自动从数据中学习复杂的模式和关系，因此在处理大量数据和高度非线性问题时具有优势。

3.神经网络在数学建模中应用案例

3.1交通流量预测

使用神经网络来预测交通流量，例如在城市中预测交通拥堵情况或在高速公路上预测交通流量。神经网络可以从历史交通数据中学习，进而预测未来的交通情况。

由于交通流量预测涉及到数据获取和预处理等问题，这里只提供神经网络模型的代码实现。

下面是一个简单的交通流量预测神经网络模型的代码实现：

import pandas as pd
import numpy as np
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense, LSTM

# 加载数据集
data = pd.read_csv('traffic.csv')

# 数据预处理
def prepare_data(data, lags=1):
    # 将数据集转换为numpy数组
    values = data.values
    # 将数据集中的所有数据转换为浮点数类型
    values = values.astype('float32')
    # 标准化数据
    mean = np.mean(values, axis=0)
    std = np.std(values, axis=0)
    values = (values - mean) / std
    # 将数据集转换为监督学习问题
    X, y = [], []
    for i in range(lags, len(values)):
        X.append(values[i-lags:i, :])
        y.append(values[i, -1])
    X, y = np.array(X), np.array(y)
    return X, y, mean, std

# 定义模型
def build_model(lags):
    model = Sequential()
    model.add(LSTM(50, input_shape=(lags, X_train.shape[2])))
    model.add(Dense(1))
    model.compile(loss='mse', optimizer='adam')
    return model

# 准备数据
lags = 3
X, y, mean, std = prepare_data(data, lags)
# 划分训练集和测试集
train_size = int(len(X) * 0.7)
X_train, X_test, y_train, y_test = X[:train_size], X[train_size:], y[:train_size], y[train_size:]
# 构建模型
model = build_model(lags)
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train, epochs=100, batch_size=32, verbose=2)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 反标准化
y_pred = (y_pred * std[-1]) + mean[-1]
y_test = (y_test * std[-1]) + mean[-1]
# 计算误差
mse = np.mean(np.square(y_pred - y_test))
print('MSE:', mse)

其中，

traffic.csv

是一个包含交通流量数据的 CSV 文件，每一行代表一个时间点的数据，包括多个特征，如日期、时间、天气、假日等，以及交通流量。在这个示例中，我们只使用交通流量这一个特征。

代码的主要流程如下：

1. 加载数据集并进行预处理，将数据集转换为 numpy 数组并进行标准化处理。
2. 将数据集转换为监督学习问题，即将过去几个时间点的交通流量作为特征，当前时间点的交通流量作为标签。
3. 划分训练集和测试集。
4. 构建 LSTM 神经网络模型。
5. 训练模型。
6. 预测测试集上

3.2 股票价格预测

使用神经网络来预测股票价格的走势，可以帮助投资者做出更好的投资决策。神经网络可以从历史股票价格和其他市场数据中学习，进而预测未来的股票价格。

以下是一个简单的股票价格预测案例代码，使用了神经网络模型：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense, Dropout, LSTM

# 导入数据
data = pd.read_csv('stock_prices.csv')
# 只保留收盘价
data = data[['Close']]
# 将数据缩放到0-1范围内
scaler = MinMaxScaler(feature_range=(0, 1))
data = scaler.fit_transform(np.array(data).reshape(-1, 1))

# 准备数据
train_size = int(len(data) * 0.7)
test_size = len(data) - train_size
train_data, test_data = data[0:train_size,:], data[train_size:len(data),:]

def create_dataset(dataset, time_step=1):
    X, Y = [], []
    for i in range(len(dataset) - time_step - 1):
        a = dataset[i:(i + time_step), 0]
        X.append(a)
        Y.append(dataset[i + time_step, 0])
    return np.array(X), np.array(Y)

time_step = 100
X_train, Y_train = create_dataset(train_data, time_step)
X_test, Y_test = create_dataset(test_data, time_step)

# 建立神经网络模型
model = Sequential()
model.add(LSTM(50, return_sequences=True, input_shape=(100, 1)))
model.add(Dropout(0.2))
model.add(LSTM(50, return_sequences=True))
model.add(Dropout(0.2))
model.add(LSTM(50))
model.add(Dropout(0.2))
model.add(Dense(1))
model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer='adam')

# 训练模型
model.fit(X_train, Y_train, validation_data=(X_test, Y_test), epochs=100, batch_size=64, verbose=1)

# 测试模型
train_predict = model.predict(X_train)
test_predict = model.predict(X_test)

# 将预测数据缩放回原始范围
train_predict = scaler.inverse_transform(train_predict)
Y_train = scaler.inverse_transform([Y_train])
test_predict = scaler.inverse_transform(test_predict)
Y_test = scaler.inverse_transform([Y_test])

# 画出预测结果
plt.plot(Y_test[0], label='True')
plt.plot(test_predict[:,0], label='Predicted')
plt.legend()
plt.show()

其中，输入数据为一个股票的历史收盘价序列，经过预处理和训练后，通过预测未来时间点的收盘价实现了股票价格预测。该代码中使用了LSTM神经网络模型，并使用了均方误差作为损失函数，Adam优化器进行训练。

3.3图像识别

使用神经网络来识别图像中的物体、场景和人脸等信息。神经网络可以从大量的图像数据中学习，进而识别出新的图像中的信息。

图像识别是神经网络应用的一个重要领域。以下是一个简单的图像识别案例代码，用于识别手写数字图片：

import numpy as np
import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
from tensorflow.keras import layers

# 导入手写数字数据集
mnist = keras.datasets.mnist
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()

# 归一化数据集
x_train = x_train.astype("float32") / 255.0
x_test = x_test.astype("float32") / 255.0

# 构建模型
model = keras.Sequential(
    [
        keras.Input(shape=(28, 28)),
        layers.Reshape(target_shape=(28 * 28)),
        layers.Dense(256, activation="relu"),
        layers.Dense(128, activation="relu"),
        layers.Dense(10),
    ]
)

# 编译模型
model.compile(
    loss=keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True),
    optimizer=keras.optimizers.RMSprop(),
    metrics=["accuracy"],
)

# 训练模型
model.fit(x_train, y_train, batch_size=64, epochs=5, validation_split=0.2)

# 评估模型
model.evaluate(x_test, y_test, batch_size=64)

# 预测手写数字图片
predictions = model.predict(x_test[:5])
print(np.argmax(predictions, axis=1))

这个代码使用了 TensorFlow 框架，利用神经网络模型训练了手写数字数据集，实现了手写数字图片的识别。其中，模型使用了两个全连接层，每个层使用了 ReLU 激活函数。训练完成后，使用测试数据集对模型进行评估，并使用模型对前五个测试数据进行预测。

3.4自然语言处理

使用神经网络来处理自然语言，例如进行机器翻译、情感分析、文本分类等。神经网络可以从大量的文本数据中学习，进而处理新的自然语言数据。

以下是一个简单的自然语言处理案例代码，用于实现基于情感分析的文本分类：

import pandas as pd
import numpy as np
import re
import nltk
from nltk.corpus import stopwords
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix
from sklearn.model_selection import train_test_split
 
# 读取数据
data = pd.read_csv("sentiment.csv", encoding='latin-1')
 
# 数据清洗
def preprocess_text(text):
    text = re.sub(r'[^\w\s]', '', text)  # 删除标点符号
    text = text.lower()  # 小写化
    text = [word for word in text.split() if word not in stopwords.words('english')]  # 删除停用词
    text = " ".join(text)  # 连接成字符串
    return text
 
data['text'] = data['text'].apply(preprocess_text)
 
# 特征工程
vectorizer = CountVectorizer()
X = vectorizer.fit_transform(data['text'])
y = data['sentiment']
 
# 数据划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
 
# 建立模型
model = MultinomialNB()
model.fit(X_train, y_train)
 
# 预测并评估模型
y_pred = model.predict(X_test)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)
print("Confusion Matrix:\n", conf_matrix)

该代码实现了对一个名为“sentiment.csv”的数据集进行情感分析，使用了朴素贝叶斯模型和计数向量化器。该数据集包含两列，分别为“text”和“sentiment”，前者包含了一些文本，后者表示了每个文本所属的情感类别。代码首先进行了数据清洗，包括删除标点符号、小写化、删除停用词等。接着，使用计数向量化器将文本转化为向量形式，作为朴素贝叶斯模型的输入。最后，将数据集随机划分为训练集和测试集，使用训练集训练朴素贝叶斯模型，并在测试集上进行预测和评估。评估指标包括准确率和混淆矩阵。

3.5智能控制

使用神经网络来控制机器人、汽车、工业系统等。神经网络可以学习环境和任务之间的关系，进而实现自主控制和决策。

以下是一个智能控制在数学建模中的案例代码，该代码使用了模糊控制算法来控制风力发电机的输出功率。模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，能够处理非线性和复杂的系统控制问题。在这个案例中，模糊控制算法用于优化风力发电机的转速和叶片角度，以达到最大的输出功率。

import numpy as np
import skfuzzy as fuzz
from skfuzzy import control as ctrl

# 输入变量
wind_speed = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 25, 1), 'wind_speed')
blade_angle = ctrl.Antecedent(np.arange(0, 45, 1), 'blade_angle')

# 输出变量
power_output = ctrl.Consequent(np.arange(0, 5000, 1), 'power_output')

# 自定义隶属度函数
wind_speed['low'] = fuzz.trimf(wind_speed.universe, [0, 0, 7])
wind_speed['medium'] = fuzz.trimf(wind_speed.universe, [0, 7, 15])
wind_speed['high'] = fuzz.trimf(wind_speed.universe, [7, 25, 25])

blade_angle['low'] = fuzz.trimf(blade_angle.universe, [0, 0, 20])
blade_angle['medium'] = fuzz.trimf(blade_angle.universe, [0, 20, 40])
blade_angle['high'] = fuzz.trimf(blade_angle.universe, [20, 45, 45])

power_output['low'] = fuzz.trimf(power_output.universe, [0, 0, 2500])
power_output['medium'] = fuzz.trimf(power_output.universe, [0, 2500, 5000])
power_output['high'] = fuzz.trimf(power_output.universe, [2500, 5000, 5000])

# 规则定义
rule1 = ctrl.Rule(wind_speed['low'] & blade_angle['low'], power_output['low'])
rule2 = ctrl.Rule(wind_speed['low'] & blade_angle['medium'], power_output['low'])
rule3 = ctrl.Rule(wind_speed['low'] & blade_angle['high'], power_output['low'])
rule4 = ctrl.Rule(wind_speed['medium'] & blade_angle['low'], power_output['medium'])
rule5 = ctrl.Rule(wind_speed['medium'] & blade_angle['medium'], power_output['medium'])
rule6 = ctrl.Rule(wind_speed['medium'] & blade_angle['high'], power_output['high'])
rule7 = ctrl.Rule(wind_speed['high'] & blade_angle['low'], power_output['high'])
rule8 = ctrl.Rule(wind_speed['high'] & blade_angle['medium'], power_output['high'])
rule9 = ctrl.Rule(wind_speed['high'] & blade_angle['high'], power_output['high'])

# 控制系统定义
power_output_ctrl = ctrl.ControlSystem([rule1, rule2, rule3, rule4, rule5, rule6, rule7, rule8, rule9])
power_output_simulation = ctrl.ControlSystemSimulation(power_output_ctrl)

# 进行模糊控制
power_output_simulation.input['wind_speed'] = 10
power_output_simulation.input['blade_angle'] = 30
power_output_simulation.compute()

#

最后分享下：

30+算法模型及案例代码知识分享（纯干货）：

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