本节介绍频率特性法的基本概念
本节介绍典型环节的幅相频率特性和对数频率特性
本节介绍绘制开环系统的Nyquist图和Bode图
文章目录
前一章讲了根轨迹法，属于一种复域分析方法。而除了在复域中处理输入输出，还可以在频域中处理（实际上频域中处理更加常用），所以这里介绍频率特性分析法。
频域分析，实际上就是研究稳态正弦响应的 幅值 和 相角 随频率的变化规律。
频域分析法通过研究开环频率特性进而研究闭环稳定性及性能。
与根轨迹相同，也是一种图解分析法，所以方便实用但也有一定的近似性。
频率特性的基本概念
什么是频率响应？
频率特性是指线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率变化的规律性
比如在这里解出来uc(t)，里面含有
ω
\omega
ω，说明输出与输入的频率有关。这个规律就叫做频率特性
输出第一项将随着时间增大而趋于0，称为衰减信号或瞬态分量
而第二项是一个正弦函数形式，频率为
ω
\omega
ω，称为**稳态分量**
取出稳态分量，也就是得到稳态正弦响应。这个正弦函数的幅值
∣
G
(
j
ω
)
∣
|G(j\omega)|
∣G(jω)∣和相位
ϕ
(
ω
)
\phi(\omega)
ϕ(ω)均为频率
ω
\omega
ω的函数，因此可以构建一个**频率传递函数**，分别对应其幅值和相角，记为：
G
(
j
ω
)
=
∣
G
(
j
ω
)
∣
e
j
ϕ
(
ω
)
G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}
G(jω)=∣G(jω)∣ejϕ(ω)
G
(
j
ω
)
G(j\omega)
G(jω)就是系统的频率特性。
频率特性的定义
- 方法1: 分别定义幅值和相角 { ∣ G ( i ω ) ∣ = ∣ c s ( t ) ∣ ∣ r ( t ) ∣ ∠ G ( j ω ) = ∠ c s ( t ) − ∠ r ( t ) \left{ \begin{aligned} |G(i\omega)|=&\frac{|c_s(t)|}{|r(t)|}\ \angle G(j\omega)=&\angle c_s(t)-\angle r(t) \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧∣G(iω)∣=∠G(jω)=∣r(t)∣∣cs(t)∣∠cs(t)−∠r(t) 这两个公式分别称为幅频特性和相频特性
- 方法2: 利用复域传递函数 G ( j ω ) = G ( s ) ∣ s = j ω G(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega} G(jω)=G(s)∣s=jω
- 方法3: 利用fourier变换 G ( j ω ) = C ( j ω ) R ( j ω ) G(j\omega)=\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} G(jω)=R(jω)C(jω)
也就是先通过复域传递函数，进行拉氏反变换，然后把s替换成 j ω j\omega jω，化简之后发现变成了傅氏反变换的形式，因此推导出这个公式。
接下来根据定义做一道例题：
由于稳态正弦响应一定是与输入频率相同的正弦函数，所以只需要确定出幅值和相位就可以写出函数了。
要表示系统频率特性，可以采用多种不同的方法：
幅相频率特性 Nyquist
也叫做极座标图。在复平面上，频率特性可以表示为一个向量，向量的长度表示频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角为频率响应的相位，这样就构成了Nyquist图。
典型环节的幅相特性曲线
比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节
现在再来看Nyquist图，颇有一种根轨迹的感觉。平面叫做G平面，也就是说平面上的每一个点都表示一个
G
(
j
ω
)
G(j\omega)
G(jω)。随着
ω
\omega
ω的取值从0到无穷，频率特性留下的轨迹就成为了幅相特性曲线。
根据一个点的位置，可以知道
G
(
j
ω
)
G(j\omega)
G(jω)的幅值和相位，但并不能直接读出
ω
\omega
ω
之前都是已知系统传递函数来画图。但也可以从Nyquist图反求系统传递函数：
震荡环节
震荡环节和之前最大的不同就是根据
ξ
\xi
ξ的不同，Nyquist图的形状也不同。
研究曲线的形状，求幅值的最值：
1.在
ξ
\xi
ξ较大时，随
ω
\omega
ω增大，幅值单调减小，也就是曲线一直趋近原点。时间响应该震荡依旧震荡
而
ξ
\xi
ξ较小时，随
ω
\omega
ω增大，幅值先增大后减小，也就是曲线先远离原点，再趋近原点。
2.引入谐振频率和谐振峰值来表示幅值最大点的频率和幅值。
由图像反求传递函数：
二阶复合微分环节
「这个不稳定二阶微分，还有前面的不稳定一阶复合微分，是我自己瞎取的名字，方便和不稳定震荡环节、不稳定惯性环节相对应」
延迟环节
开环幅相特性曲线
之前是每一个环节分开来。现在直接从开环传递函数入手。仍然是分成幅值和相角两个方面分别计算，再合成为矢量。根据
ω
\omega
ω的变化绘制成曲线。
绘制开环幅相特性一般不要求高精度，所以根据起点、终点，大概勾勒出形状即可。如果有更高的要求，可以代入与实轴的交点等条件增加精度。
0 1 2 3型系统的开环Nyquist
看这个例题：
也就是说不同的系统型别，开环幅相特性曲线朝向是不同的。而对于某一型的系统，可以根据这个例题，直接勾勒出对应的曲线形状。
来看个例题：
基本思路：实部虚部分开，计算与实轴的交点，找出渐近线，再根据相应系统的型别对应的曲线形状勾勒出曲线。
那如果不是0 1 2 3型系统，而是其他型别该怎么办？
其他型别系统的开环Nyquist
那就先根据起点和终点勾勒出一个形状，再实部虚部分开计算与座标轴的交点，描绘曲线。
对数频率特性 Bode
Nyquist图计算比较繁琐，而且无法直观看出每个零点和极点的影响。而Bode图更加方便因此工程实际中使用更多。
Bode图由对数幅频曲线和对数相频曲线两部分组成。
半对数座标系
Bode图是画在半对数座标系里面的。
横轴：频率
ω
\omega
ω，但按照频率的对数
lg
ω
\lg \omega
lgω标定
纵轴1：对数幅值（Logarithm magnitude，简称Lm）
L
m
G
(
j
ω
)
=
20
lg
∣
G
(
j
ω
)
∣
LmG(j \omega)=20\lg |G(j\omega)|
LmG(jω)=20lg∣G(jω)∣，线性标定
纵轴2：相角，线性标定
两个纵轴都很好理解，一个是对幅值取对数×20，一个就是相角本身，也都是线性标度。
而对于横轴，由于划分刻度是按照对数，因此疏密不一。这里一定要注意：横座标上的某个点，直接读出其座标值，是频率，而不是频率对数
对数分度，有"等距等比"的性质，也就是当变量增大或减小10倍（记为dec，称为十倍频或者旬距）时，座标间的距离变化一个单位长度。
典型环节的对数频率特性曲线
part1：比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节
惯性环节和一阶复合微分环节的特征是
±
20
d
B
/
d
e
c
\pm20dB/dec
±20dB/dec
注意：
这里的
L
(
ω
)
L(\omega)
L(ω)曲线都是画的直线，是经过了近似处理，为研究方便的。
φ
(
ω
)
\varphi(\omega)
φ(ω)曲线全部都是中心对称的，这里只证明了一个。画的时候可以根据对称性更轻松画出。
震荡 二阶复合微分 延迟环节
震荡环节和二阶复合微分环节的特征是
±
40
d
B
/
d
e
c
\pm40dB/dec
±40dB/dec
例题与其他概念
例题由图像倒求传递函数
概念有这么几个，了解即可。
转折频率
对数幅值频率特性拐弯的点
对于惯性、一阶复合微分：
1
T
\frac{1}{T}
T1
对于震荡、二阶复合微分：
ω
n
\omega_n
ωn
之前都是画的近似曲线，变成折线，但实际上在转折频率处
L
(
ω
)
L(\omega)
L(ω)已经有改变了。以惯性环节为例，**在转折频率处有-3dB的衰减**
截止频率
对数幅值频率特性为0的点，也就是
∣
G
(
j
ω
c
)
∣
=
1
|G(j\omega_c)|=1
∣G(jωc)∣=1
开环对数频率特性
在这里可以发现，绘制开环对数频率特性的时候，无论是对数幅值还是相角，都符合线性定理，可以根据多个典型环节叠加而来。
绘制开环Bode图的步骤
- 将开环传递函数化为尾1标准型
- 列出每一个环节的转折频率
- 确定基准线（最小的转折频率左边的情况） 基准线过点（ ω = 1 , L ( 1 ) = 20 lg K \omega=1,L(1)=20\lg K ω=1,L(1)=20lgK） 斜率 − 20 v d B / d e c -20v\ dB/dec −20v dB/dec，v为系统型别
- 叠加做图： 惯性、一阶复合微分 ∓ 20 d B / d e c \mp20dB/dec ∓20dB/dec 震荡、二阶复合微分 ∓ 40 d B / d e c \mp40dB/dec ∓40dB/dec
- 修正： 两惯性环节转折频率很接近时 → \to →用圆弧修正 震荡环节 ξ < 0.38 或 ξ > 0.8 时 → \xi<0.38或\xi>0.8时\to ξ<0.38或ξ>0.8时→用曲线表示
- 检查： L ( ω ) L(\omega) L(ω)最右端斜率为 − 20 ( n − m ) d B / d e c -20(n-m)dB/dec −20(n−m)dB/dec 转折点个数=惯性、一阶复合微分、震荡、二阶复合微分环节个数和 φ ( ω ) → − 90 ° ( n − m ) \varphi(\omega)\to -90\degree(n-m) φ(ω)→−90°(n−m)
关于相角频率特性，这里只是大致勾勒一下。开环的相角频率特性同样是多个典型环节特性的叠加。
实在严谨的做图中，需要使用圆规测距描点，再连接成曲线。但因为工程实践不太看这个曲线，所以多做题根据手感勾一条一般问题不大。
紧接着借这道例题讲一下Nyquist图和Bode图的对应关系：
先看幅值，Bode图的一个幅值，对应Nyquist图上的一个圆，根据圆与曲线的交点就可以找出两图中对应的点。
再看相角，Bode图的一个相角，对应Nyquist图上的一条射线，同理可以找出两图对应的点。
例题：从对数频率特性反求传递函数
通过转折点、斜率可以知道系统的构型。本题全是直线，
ξ
\xi
ξ是不可求的，因此要求的参数只有一个K。
除了这种方法，这道题还有很多别的方法
这里绿色框的近似处理，跟前面讲典型环节时的近似处理是一样的意思，如果代入
ω
\omega
ω后s项大于1，把1舍去；反之，把s项舍去。
最后在这里拓展一下：
首先是基准线的函数关系式：
L
(
ω
)
=
20
l
g
∣
K
ω
v
∣
L(\omega)=20lg|\frac{K}{\omega^v}|
L(ω)=20lg∣ωvK∣
由此可以得出，已知基准线与横轴交点座标
ω
0
\omega_0
ω0时：
K
=
ω
0
v
，
ω
o
=
K
1
v
K=\omega_0^v，\omega_o=K^{\frac{1}{v}}
K=ω0v，ωo=Kv1
非最小相角系统
先来看一道例题：
之前在没有给出相频特性的情况下，默认所有环节都是稳定的。但是如果给出了相频特性，就需要根据这条曲线来确定具体哪些环节稳定而哪些环节不稳定了。
「这里是用了代数的方法去计算相角，做题的时候也可以画零点极点分布图来帮助确定相角。」
在这里就涉及到了非最小相角系统：
在右半S平面存在开环零、极点，或带有纯延时环节的系统称为非最小相角系统。
如果更加直观的解释，就是系统的各个环节中，含有某一个或几个不稳定环节或者纯延时环节。
也就是前面那个例题，在+ -，- +，- -的情况下，都属于非最小相角系统。
之所以叫做非最小相角系统，是因为相比最小相角系统，非最小相角系统相角变化的绝对值一般更大
但值得注意的是：非最小相角系统未必不稳定
对数幅相特性 Nichols
使用得比较少，只简单介绍一下。
相当于把Bode图的幅值、相角两条曲线合为一条。以相角
φ
(
ω
)
\varphi(\omega)
φ(ω)为横座标，对数幅值
L
(
ω
)
L(\omega)
L(ω)为纵座标，根据频率
ω
\omega
ω变化，描绘出对应的点形成的曲线。
版权归原作者 HuangZi-zi 所有， 如有侵权，请联系我们删除。