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数学建模:14 时间序列

步骤

  1. 数据预处理:SPSS填补缺失值;生成时间变量、画出时间序列图
  2. 观察时间序列图,判断有没有季节性波动、且是季度或月度数据 - 季节性规律 + 季节性波动恒定:季节性分解的加法模型- 季节性规律 + 季节性波动随时间有变化(如递增):乘法模型
  3. 数据围绕均值上下波动,无趋势、季节性:数据是平稳序列
  4. 用SPSS专家建模得出最佳模型
  5. 结果是 ARIMA(p,0,q) 模型,画出时间序列的样本 ACF 和 PACF 图形进行分析;
  6. 是 ARIMA(p,1,q) 模型,先对数据进行 1 阶差分后,再用 ACF 和 PACF 图形分析;
  7. 结果与季节性相关(如温特加法乘法模型、SARIMA),用时间序列分解

基本概念

时间序列:也称动态序列,是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列

组成要素:

  1. 时间要素:年、季度、月、周、日、小时、分钟、秒
  2. 数值要素

时点序列:数值要素反映现象在一定时点上的瞬间水平
时期序列:数值要素反映现象在一定时期内发展的结果
时期序列可加、时点序列不可加

时间序列分解

分解为:

  • 长期趋势 (Secular trend, T)
  • 季节趋势(Seasonal Variation, S) :一般以月、季、周为时间单位,不能以年作单位
  • 循环变动(CyclicalVariation, C) :以年为周期
  • 不规则变动(IrregularVariation, I) :白噪声 / 扰动项

叠加 / 乘积模型

叠加:数据的因变量/指标数值的最终变动 Y = T+S+C+I

乘积:Y = T×S×C×I

使用时间序列分解为上述模型的条件:

  • 数据有年内的周期性,如月份/季度,年份数据就不行
  • 在时间序列图上随时间推移,波动越来越大 --- 乘积模型;波动恒定 --- 叠加模型;不存在季节波动 --- 两个都可

使用SPSS的实例

首先处理时间序列中的缺失值:缺失值在首尾,直接删除数据;在中部则不能删除,要替换缺失值

上图中替换缺失值的方法:

  • 序列平均值:整个序列的平均数
  • 临近点的平均数:相邻若干个点的平均数(默认2个点)
  • 临近点的中位数
  • 线性插值:相邻的两个点的平均数
  • 邻近点的线性趋势:将时期作为x 时间序列值作为y进行回归

定义时间变量:

画出时间序列图,看用叠加 or 乘积模型,并对图做解释:有季节周期性,波动不大 - 叠加;季节周期性,波动大 - 乘积

进行季节性分解(即把 Y 分解为 T、S、C、I)

解读结果:季节因子的正负,如果是乘积模型则是倍数关系

画出分解后的序列图:

步骤

时间序列分解用于预测未来

• 作时间序列图;

• 判断时间序列包含的变动成分;

• 时间序列分解(有周期性且包含长期趋势、季节变动或循环变动);

• 建立时间序列分析模型;

• 预测未来的指标数值。

指数平滑模型

名称适用条件与之类似的ARIMA模型简单指数平滑法(Simple模型)不含趋势T、不含季节S成分ARIMA(0,1,1)
线性趋势模型(linear trend)
线性趋势、不含季节
ARIMA(0,2,2)

阻尼趋势模型(Damped trend)

线性趋势逐渐减弱、不含季节成分

ARIMA(1,1,2)

简单季节性(Simple seasonal)

含有稳定的季节成分、不含趋势
SARIMA(0,1,1)\times (0,1,1)_{s}
温特加法模型(Winters' additive)

含有线性趋势和稳定的季节成分
SARIMA(0,1,0)\times (0,1,1)_{s}
温特乘法模型(Winters' multiplicative)

含有线性趋势和不稳定的季节成分
不存在

Simple模型

简单指数平滑法(Simple模型)不含趋势T、季节S成分ARIMA(0,1,1)

关于平滑系数𝛼的选取原则:

1、时间序列不规则的起伏变化、长期趋势接近一个稳定常数,α值一般较小(取0.05‐0.02之间)

2、时间序列迅速明显的变化倾向,则α应该取较大值(取0.3‐0.5)

3、时间序列变化缓慢,亦应选较小的值(一般在0.1‐0.4之间)

**只能预测往后一期数据!!!由公式决定 **因为预测后两期的数据需要后一期的数据,而后一期的数据等待被预测 还未知

线性趋势模型

(Holt)线性趋势模型(linear trend)
线性趋势、不含季节
ARIMA(0,2,2)

缺点:对未来预测值过高,特别是长期预测

布朗线性趋势模型

α = β 时,即认为水平与趋势平滑参数相等

阻尼趋势模型

阻尼趋势模型(Damped trend)

线性趋势逐渐减弱且不含季节成分

ARIMA(1,1,2)

解决Holt线性趋势模型对未来长期预测值过高:加入阻尼效应

简单季节性

简单季节性(Simple seasonal)

含有稳定的季节成分、不含趋势
SARIMA(0,1,1)\times (0,1,1)_{s}

温特加法模型

温特加法模型(Winters' additive)

含有线性趋势和稳定的季节成分
SARIMA(0,1,0)\times (0,1,1)_{s}

SPSS会返回各个参数的估计值,预测型不需要关注参数的显著性,解释型才要

温特乘法模型

温特乘法模型(Winters' multiplicative)

含有线性趋势和不稳定的季节成分
不存在

乘法模型预测出来比加法模型的波动大

一元时间序列分析的模型

基础概念

平稳时间序列、白噪声序列

(弱)平稳的条件:

白噪声序列:均值为0的特殊平稳时间序列

有(季节性)波动的不是平稳的时间序列,因为均值在某一季度达到最大,不是固定常数

差分方程及其特征方程

差分:用于转化为平稳的时间序列

AR自回归的差分方程:与自身之前的因素有关

MA移动平均的差分方程:与以往的随机扰动项相关

特征方程的解决定时间序列是否平稳,怎么求特征方程:x的最高阶数就是 y 中滞后的期数

滞后算子

滞后 p 期 就是 L的 p 次方;d 阶差分 就是 (1-L)^p*yt;季节差分 m为周期

AR(p)模型(auto regressive) 自回归

   自回归只适用于**预测与自身前期相关的经济现象**,即**受自身历史因素影响较大**的经济现象,如矿的开采量,各种自然资源产量等

   对于**受社会因素影响较大**的经济现象(即存在其他影响因素构成的变量,用自回归会有**内生性**),不宜采用自回归,而应使用可纳入其他变量的向量自回归模型(多元时间序列)

与自身以前的数据有关,所以模型中包含以前的 y;还包含一个单独的参数、随机扰动项:

特征方程判断平稳性

计算的例子

MA(q)模型(moving average)

MA模型和AR模型的关系

移动平均模型的可逆性:可以将1阶移动平均模型MA转换为无穷阶的自回归模型AR,可以将MA(q)模型也转换为无穷阶的自回归过程

MA参数较少,简化了AR

只要q是常数,MA(q)模型一定平稳

ARMA(p,q)模型

由AR与MA组成,MA一般是平稳的,所以ARMA的平稳性判定方法就是AR的判定方法:特征方程根的模长

选择p、q的方法

ACF自相关系数、PACF偏自相关系数

将数据转化为平稳序列后才能用ACF、PACF;自相关系数可用于判断是否是白噪声

PACF:两个数据的ACF受这两个数中间数据的影响,而PACF剔除了中间数据的影响

ACF、PACF判断用哪个模型合适:AR MA ARMA

AR模型中有与自己以往数据相关的变量 y ,所以与自身以往有关(没有剔除中间数据关系)的系数ACF拖尾,PACF截尾(PACF剔除了中间数据关系,yt 的值只与 y(t-p) 即前p期的值有关,与再之前的值无关 所以截尾),阶数p就是PACF的截尾处

MA中只有随机扰动项有关的系数,所以ACF截尾,但PACF拖尾

ARMA都拖尾

实际作图中有两条线,线内的值当作0处理:

ARMA很难识别阶数,用极大似然估计

AIC、BIC准则

目的是在模型选择过程中,平衡模型复杂度(模型参数个数决定,越少越好)、模型对数据解释能力(回归中用拟合优度或误差平方和SSE,误差平方和越小、拟合优度越大,解释能力越好;这里使用极大似然估计,极大似然函数的值越大越好)的关系

只追求解释能力:过拟合问题

根据 AIC、BIC 的大小,选出最小的那个模型

检验模型是否识别完全

根据上面步骤选完模型后,检查残差是不是白噪声;

残差不是白噪声,则说明还有部分信息没有被模型所识别,需要修正模型

是白噪声,则说明我们选取的模型能完全识别出时间序列数据的规律,即模型可接受

根据前面提到过的来判断是不是白噪声:

假设检验:是白噪声

p小于0.05 就需要修正;不小于则模型可以

ARIMA(p,d,q)模型 差分

前面讨论的都是平稳时间序列,这里讨论 d 阶单位根的序列 —— 差分处理 转化为平稳的

SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

加入了季节的因子:

SPSS实例及论文内容

先填补缺失值

画出时序图并分析:图总体有(向上)的趋势,有明显的季节性变化,考虑使用时间序列分解;波动较为恒定,使用加法的时间序列分解

画出加法时间序列分解图并分析:季节因子等(见前面的笔记)

然后我们利用SPSS的专家建模器为我们选择了(温特加法模型)(把下图的工作 原理写入论文):

把温特加法模型的公式及参数解释、SPSS得出的参数估计值写入论文:

然后对白噪声进行残差检验与分析(SPSS专家建模中勾选下面的残差ACF、PACF):

(把上图和表写入论文)

在 95% 置信水平下,我们得到预测值...并进行分析:

根据参数估计值写出公式:

附录

股票预测更好的模型:GARCH模型(广义的自回归条件异方差模型)

注意异常值,可用SPSS去除异常值:

标签: 算法 人工智能

本文转载自: https://blog.csdn.net/m0_54625820/article/details/128709081
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