OPENFHE库介绍

OpenFHE （原 PALISADE）

介绍

Duality Technologies 主导

• Duality Technologies 成立于 2016 年，总部位于美国马萨诸塞州剑桥市，由著名的密码专家和数据科学家联合创立。公司致力于研究大数据/云环境下的数据安全与隐私保护技术，为企业组织提供了一个安全的数字协作平台，目前在美国和以色列开展业务。目前获得了由 Team8 领导的 400 万美元投资。2019 年入选 RSA 大会的创新沙盒前十强，成为两家入选的数据安全公司之一（另一家是 Wirewheel 公司）
• Duality 使企业能够与他们的商业生态系统（客户、供应商和合作伙伴）安全地协作处理敏感数据。 通过实施隐私增强技术（PETs），Duality 实现了对加密数据的安全分析和人工智能，同时遵守数据隐私法规并保护宝贵的知识产权。领先的行业和政府组织与 Duality 合作，使其数据价值最大化，包括 DARPA、英特尔、丰业银行、甲骨文、IBM、世界经济论坛（WEF）等。
• PALISADE 库人员是联合创始人 +CTO，BGV 创始人（V）是首席密码学家

• 以及其他公司参与

OpenFHE（2022 年 7 月发布）

• OpenFHE，一个新的开源 FHE 软件库，它结合了以前的 FHE 项目，如 PALISADE、HElib 和 HEAAN 的一些设计思想，并包括一些新的设计概念和思想。主要的新设计特点可以归纳为以下几点。(1 从一开始就假设所有实现的 FHE 方案将支持引导和方案切换；(2)OpenFHE 使用标准的硬件抽象层(HAL)支持多种硬件加速后端；(3)OpenFHE 包括用户友好模式和编译器友好模式，前者所有维护操作，如模数切换、密钥切换和引导-平移，都由库自动调用，后者由外部编译器做出这些决定。
• OpenFHE 专为可用性和性能而设计，提供更简单的 API、模块化、跨平台支持和硬件加速器集成。OpenFHE 支持所有主要的 FHE 方案，包括 BGV、BFV、CKKS、DM (FHEW) 和 CGGI (TFHE) 方案。我们支持多种引导设计，并且我们在积极开发中拥有更高效的引导方案。
• OpenFHE 是 PALISADE 的后继者由 PALISADE、HElib、HEAAN 和 FHEW 库的（部分）作者设计。OpenFHE 软件库结合了从这些先前的 FHE 项目中选择的设计理念，并包含几个新的设计理念和理念。有关该设计的更多信息，
• OpenFHE 得到 DARPA 的慷慨支持。 OpenFHE 是一个社区驱动的开源项目，由不同的贡献者群体开发。OpenFHE 正式隶属于 NumFocus 稳定的开源软件项目。

同态加密支持

全同态加密（FHE）是一个强大的加密基元，可以在不接触到秘密密钥的情况下对加密数据进行计算。OpenFHE 是一个开源的 FHE 库，包括所有常见 FHE 方案的有效实现：

• 整数算术的 Brakerski/Fan-Vercauteren（BFV）方案
• 用于整数算术的 Brakerski-Gentry-Vaikuntanathan（BGV）方案
• 用于实数算术的 Cheon-Kim-Kim-Song（CKKS）方案（包括近似的引导）。
• 用于布尔电路评估的 Ducas-Micciancio（DM/FHEW）和 Chillotti-Gama-Georgieva-Izabachene（CGGI/TFHE）方案

OpenFHE 还包括以下 FHE 的多方扩展:

• BGV、BFV 和 CKKS 方案的阈值 FHE
• BGV、BFV 和 CKKS 方案的代理重加密

OpenFHE 实现了高效的剩余数系统 (RNS) 算法以实现高性能。

google 应用（FHE C++ Transpiler）

• 据 Duality 技术公司的新闻稿，谷歌已将其在 GitHub 上开源的使用 XLS SDK 开发的开源项目完全同态加密（FHE）转译器与领先的开源完全同态加密(fully homomorphic encryption)库 OpenFHE 合并。通过使加密知识更简单、更容易接近，开发者对 FHE 的采用将增加。
• 同态加密（FHE）转译器（FHE C++ Transpiler）2022.9.14 整合
• FHE C++ Transpiler 是一项开源技术，将允许任何 C++ 开发人员在不解密的情况下对加密数据进行转换。这个转译器将谷歌的 XLS 库与多个 FHE 后端（目前是 TFHE 库和 OpenFHE 的 BinFHE 库）连接起来。它将允许开发者（包括那些没有密码学专业知识的人）编写在加密数据上运行的代码，而不透露数据内容或计算结果。这个系统应该有助于为实用 FHE 系统的进一步发展奠定基础。
• 该系统目前只支持 Linux，并需要 GCC 第 9 版（或更高）和 Bazel 4.0.0。这目前是一个探索性的概念验证。虽然它可以在实践中部署，但 FHE-C++ 操作的运行时间可能太长，目前还不实用。该转置器严重依赖所选择的 FHE 库来保证安全。由于 OpenFHE 和 TFHE 库都比较新，还没有强大的被广泛接受的密码分析。因此，在将该系统的输出纳入实时生产部署之前，请注意这两个库中可能存在尚未发现的漏洞。

BinFHE（Bootstrapping in FHEW-like Cryptosystems）

https://eprint.iacr.org/2020/086.pdf

• 摘要

FHEW 和 TFHE 是完全同态加密 (FHE) 密码系统，可以在每次门评估后通过自举来评估加密数据上的任意布尔电路。 FHEW 密码系统最初是基于标准（环形、循环安全）LWE 假设设计的，其初始实现能够在不到 1 秒的时间内运行自举。****TFHE 密码系统使用了一些更强的假设，例如（环，循环安全）LWE 在具有二进制秘密分布的环上，并应用了一些其他优化来将引导运行时间减少到小于 0.1 秒。

我们提出了一个统一的框架，包括 FHEW 和 TFHE 密码系统的原始和扩展变体，并在开源的 PALISADE 格密码学库中使用模块化算术来实现它。我们的分析表明，这些密码系统之间的主要区别在于所使用的引导程序。FHEW 的 Alperin-Sherif-Peikert（AP）与 TFHE 的 Gama-Izabachene-Nguyen-Xie（GINX）。TFHE 的所有其他算法优化同样适用于两个密码系统。GINX 的引导方法必须使用二进制秘密，不能直接应用于其他秘密分布。在比较这两种方案的过程中，我们提出了一种简单、轻量级的方法，将 GINX 引导法（例如 TFHE 所采用的方法）扩展到三元均匀和高斯秘密分布，这些秘密分布包括在 HE 社区安全标准中。我们对不同秘密分布的 AP 和 GINX 引导方法的比较表明，TFHE/GINX 密码系统对二元和三元秘密提供了更好的性能，而 FHEW/AP 对高斯秘密更快。我们建议考虑基于三元和高斯秘密的 FHEW 和 TFHE 密码系统的变体，以便由 HE 社区进行标准化。

Benchmark

虚拟机运行（4 核 4gb 内存）

BGV

明文

// First plaintext vector is encoded
    std::vector<int64_t> vectorOfInts1 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};
    Plaintext plaintext1               = cryptoContext->MakePackedPlaintext(vectorOfInts1);// The encoded vectors are encrypted
    std::stringstream s2;//Serial::Serialize(plaintext1, s1, SerType::BINARY);Serial::Serialize(ciphertext1, s2, SerType::BINARY);//std::cout <<"good"<<std::endl;
    std::cout <<"The extended times is "<<(double)(sizeof(s2)/sizeof(plaintext1))<<std::endl;//24
    std::cout <<sizeof(s2)<<std::endl;//392//std::cout <<(double)(sizeof(s2)/sizeof(vectorOfInts1))<<std::endl;

密文参数（65537，乘法深度 2）

密文参数（786433，乘法深度 20）

BFV

明文

密文参数（65537，乘法深度 2）

密文参数（786433，乘法深度20）

CKKS

明文

密文参数（浮点数精度 50，乘法深度 1，向量长度 8）

密文参数（浮点数精度 50，乘法深度 20，向量长度 8）

FHEW

安全系数：TOY, MEDIUM, STD128, STD192, and STD256

安全系数（TOY）

安全系数（STD128）——进程被杀死——密钥过大

TFHE（使用 GINX bootstrapping 的 FHEW）

• 不算正宗 TFHE
• bootstrapping as described in TFHE: Fast Fully Homomorphic Encryption over the Torus and in Bootstrapping in FHEW-like Cryptosystems

安全系数（TOY）

安全系数（STD128）

多密钥阈值 BGV/BFV/CKKS

多密钥阈值BGV（3方）

代码

voidRunBGVrnsAdditive(){
    CCParams<CryptoContextBGVRNS> parameters;
    parameters.SetPlaintextModulus(65537);

    CryptoContext<DCRTPoly> cc =GenCryptoContext(parameters);// Enable features that you wish to use//启动模块
    cc->Enable(PKE);
    cc->Enable(KEYSWITCH);
    cc->Enable(LEVELEDSHE);
    cc->Enable(ADVANCEDSHE);
    cc->Enable(MULTIPARTY);// Set-up of parameters// Print out the parameters//输出参数
    std::cout <<"p = "<< cc->GetCryptoParameters()->GetPlaintextModulus()<< std::endl;
    std::cout <<"n = "<< cc->GetCryptoParameters()->GetElementParams()->GetCyclotomicOrder()/2<< std::endl;
    std::cout <<"log2 q = "<<log2(cc->GetCryptoParameters()->GetElementParams()->GetModulus().ConvertToDouble())<< std::endl;// Initialize Public Key Containers for 3 parties//初始化三个密钥
    KeyPair<DCRTPoly> kp1;
    KeyPair<DCRTPoly> kp2;
    KeyPair<DCRTPoly> kp3;

    KeyPair<DCRTPoly> kpMultiparty;// Perform Key Generation Operation

    std::cout <<"Running key generation (used for source data)..."<< std::endl;// generate the public key for first share//生成第一个密钥kp1
    kp1 = cc->KeyGen();// generate the public key for two shares//利用kp1的公钥生成密钥kp2
    kp2 = cc->MultipartyKeyGen(kp1.publicKey);// generate the public key for all three secret shares//利用kp2的公钥生成密钥kp3
    kp3 = cc->MultipartyKeyGen(kp2.publicKey);if(!kp1.good()){
        std::cout <<"Key generation failed!"<< std::endl;exit(1);}if(!kp2.good()){
        std::cout <<"Key generation failed!"<< std::endl;exit(1);}if(!kp3.good()){
        std::cout <<"Key generation failed!"<< std::endl;exit(1);}// Encode source data
    std::vector<int64_t> vectorOfInts1 ={1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0};
    std::vector<int64_t> vectorOfInts2 ={1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0};
    std::vector<int64_t> vectorOfInts3 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0};

    Plaintext plaintext1 = cc->MakePackedPlaintext(vectorOfInts1);
    Plaintext plaintext2 = cc->MakePackedPlaintext(vectorOfInts2);
    Plaintext plaintext3 = cc->MakePackedPlaintext(vectorOfInts3);// Encryption//加密
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext1;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext2;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext3;//全部都用kp3来加密明文
    ciphertext1 = cc->Encrypt(kp3.publicKey, plaintext1);
    ciphertext2 = cc->Encrypt(kp3.publicKey, plaintext2);
    ciphertext3 = cc->Encrypt(kp3.publicKey, plaintext3);// EvalAdd Operation on Re-Encrypted Data

    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertextAdd12;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertextAdd123;

    ciphertextAdd12  = cc->EvalAdd(ciphertext1, ciphertext2);
    ciphertextAdd123 = cc->EvalAdd(ciphertextAdd12, ciphertext3);// Decryption after Accumulation Operation on Encrypted Data with Multiparty

    Plaintext plaintextAddNew1;
    Plaintext plaintextAddNew2;
    Plaintext plaintextAddNew3;

    DCRTPoly partialPlaintext1;
    DCRTPoly partialPlaintext2;
    DCRTPoly partialPlaintext3;

    Plaintext plaintextMultipartyNew;const std::shared_ptr<CryptoParametersBase<DCRTPoly>> cryptoParams = kp1.secretKey->GetCryptoParameters();const std::shared_ptr<typenameDCRTPoly::Params> elementParams     = cryptoParams->GetElementParams();//部分解密// partial decryption by first party//kp1用kp1私钥解密part1（kp1解密叫Lead，kp2\kp3解密叫Main）auto ciphertextPartial1 = cc->MultipartyDecryptLead({ciphertextAdd123}, kp1.secretKey);// partial decryption by second party//kp2用kp2私钥解密part2auto ciphertextPartial2 = cc->MultipartyDecryptMain({ciphertextAdd123}, kp2.secretKey);// partial decryption by third party//kp3用kp3私钥解密part3auto ciphertextPartial3 = cc->MultipartyDecryptMain({ciphertextAdd123}, kp3.secretKey);

    std::vector<Ciphertext<DCRTPoly>> partialCiphertextVec;
    partialCiphertextVec.push_back(ciphertextPartial1[0]);
    partialCiphertextVec.push_back(ciphertextPartial2[0]);
    partialCiphertextVec.push_back(ciphertextPartial3[0]);// partial decryptions are combined together// 合并所有的part
    cc->MultipartyDecryptFusion(partialCiphertextVec,&plaintextMultipartyNew);

    std::cout <<"\n Original Plaintext: \n"<< std::endl;
    std::cout << plaintext1 << std::endl;
    std::cout << plaintext2 << std::endl;
    std::cout << plaintext3 << std::endl;

    plaintextMultipartyNew->SetLength(plaintext1->GetLength());

    std::cout <<"\n Resulting Fused Plaintext adding 3 ciphertexts: \n"<< std::endl;
    std::cout << plaintextMultipartyNew << std::endl;

    std::cout <<"\n";}

生成密钥

加密（统一用kp3.publickey）

运算

运算（部分解密，再合并）

• kp1解密叫Lead，kp2\kp3解密叫Main）

多密钥阈值CKKS（两方）

voidRunCKKS(){
    usint batchSize =16;

    CCParams<CryptoContextCKKSRNS> parameters;
    parameters.SetMultiplicativeDepth(3);
    parameters.SetScalingModSize(50);
    parameters.SetBatchSize(batchSize);

    CryptoContext<DCRTPoly> cc =GenCryptoContext(parameters);// enable features that you wish to use//启动模块
    cc->Enable(PKE);
    cc->Enable(KEYSWITCH);
    cc->Enable(LEVELEDSHE);
    cc->Enable(ADVANCEDSHE);
    cc->Enable(MULTIPARTY);// Set-up of parameters// 设置参数// Output the generated parameters
    std::cout <<"p = "<< cc->GetCryptoParameters()->GetPlaintextModulus()<< std::endl;
    std::cout <<"n = "<< cc->GetCryptoParameters()->GetElementParams()->GetCyclotomicOrder()/2<< std::endl;
    std::cout <<"log2 q = "<<log2(cc->GetCryptoParameters()->GetElementParams()->GetModulus().ConvertToDouble())<< std::endl;// Initialize Public Key Containers
    KeyPair<DCRTPoly> kp1;
    KeyPair<DCRTPoly> kp2;

    KeyPair<DCRTPoly> kpMultiparty;// Perform Key Generation Operation// 密钥生成

    std::cout <<"Running key generation (used for source data)..."<< std::endl;// Round 1 (party A)// 第一轮（A产生）
    std::cout <<"Round 1 (party A) started."<< std::endl;// 生成 kp1
    kp1 = cc->KeyGen();// Generate evalmult key part for A// 由kp1的secretKey生成evalMultKeyauto evalMultKey = cc->KeySwitchGen(kp1.secretKey, kp1.secretKey);// Generate evalsum key part for A// 由kp1的secretKey生成evalsum key——evalsum表示向量求后面所有值的和
    cc->EvalSumKeyGen(kp1.secretKey);auto evalSumKeys =
        std::make_shared<std::map<usint, EvalKey<DCRTPoly>>>(cc->GetEvalSumKeyMap(kp1.secretKey->GetKeyTag()));

    std::cout <<"Round 1 of key generation completed."<< std::endl;// Round 2 (party B)// 第二轮（B产生）
    std::cout <<"Round 2 (party B) started."<< std::endl;

    std::cout <<"Joint public key for (s_a + s_b) is generated..."<< std::endl;// 由kp1的publicKey生成kp2
    kp2 = cc->MultipartyKeyGen(kp1.publicKey);// 由kp2的secretKey生成 evalMultKey2auto evalMultKey2 = cc->MultiKeySwitchGen(kp2.secretKey, kp2.secretKey, evalMultKey);

    std::cout <<"Joint evaluation multiplication key for (s_a + s_b) is generated..."<< std::endl;// 由kp2的evalMultKey2和kp1的evalMultKey生成 evalMultABauto evalMultAB = cc->MultiAddEvalKeys(evalMultKey, evalMultKey2, kp2.publicKey->GetKeyTag());

    std::cout <<"Joint evaluation multiplication key (s_a + s_b) is transformed ""into s_b*(s_a + s_b)..."<< std::endl;//由kp2的secretKey和publickey把evalMultAB 转换为 evalMultBABauto evalMultBAB = cc->MultiMultEvalKey(kp2.secretKey, evalMultAB, kp2.publicKey->GetKeyTag());//由kp2的secretKey和publickey 由kp1的evalSumKeys 生成 evalSumKeysBauto evalSumKeysB = cc->MultiEvalSumKeyGen(kp2.secretKey, evalSumKeys, kp2.publicKey->GetKeyTag());

    std::cout <<"Joint evaluation summation key for (s_a + s_b) is generated..."<< std::endl;//由kp2的evalSumKeysB和publickey  以及 kp1的evalSumKeys 生成最终的 evalSumKeysJoin keyauto evalSumKeysJoin = cc->MultiAddEvalSumKeys(evalSumKeys, evalSumKeysB, kp2.publicKey->GetKeyTag());

    cc->InsertEvalSumKey(evalSumKeysJoin);

    std::cout <<"Round 2 of key generation completed."<< std::endl;// 第三轮（A产生）
    std::cout <<"Round 3 (party A) started."<< std::endl;

    std::cout <<"Joint key (s_a + s_b) is transformed into s_a*(s_a + s_b)..."<< std::endl;//由kp1的secretKey和kp2的publickey把evalMultAB 转换为 evalMultAABauto evalMultAAB = cc->MultiMultEvalKey(kp1.secretKey, evalMultAB, kp2.publicKey->GetKeyTag());

    std::cout <<"Computing the final evaluation multiplication key for (s_a + ""s_b)*(s_a + s_b)..."<< std::endl;//由kp1的evalMultAAB和kp2的evalMultBAB 以及公开的evalMultAB 转换为 evalMultFinalauto evalMultFinal = cc->MultiAddEvalMultKeys(evalMultAAB, evalMultBAB, evalMultAB->GetKeyTag());

    cc->InsertEvalMultKey({evalMultFinal});

    std::cout <<"Round 3 of key generation completed."<< std::endl;// Encode source data
    std::vector<double> vectorOfInts1 ={1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1,0};
    std::vector<double> vectorOfInts2 ={1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0};
    std::vector<double> vectorOfInts3 ={2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0};

    Plaintext plaintext1 = cc->MakeCKKSPackedPlaintext(vectorOfInts1);
    Plaintext plaintext2 = cc->MakeCKKSPackedPlaintext(vectorOfInts2);
    Plaintext plaintext3 = cc->MakeCKKSPackedPlaintext(vectorOfInts3);// Encryption

    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext1;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext2;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertext3;// 用kp2.publickey加密 
    ciphertext1 = cc->Encrypt(kp2.publicKey, plaintext1);
    ciphertext2 = cc->Encrypt(kp2.publicKey, plaintext2);
    ciphertext3 = cc->Encrypt(kp2.publicKey, plaintext3);// EvalAdd Operation on Re-Encrypted Data

    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertextAdd12;
    Ciphertext<DCRTPoly> ciphertextAdd123;

    ciphertextAdd12  = cc->EvalAdd(ciphertext1, ciphertext2);
    ciphertextAdd123 = cc->EvalAdd(ciphertextAdd12, ciphertext3);auto ciphertextMultTemp = cc->EvalMult(ciphertext1, ciphertext3);auto ciphertextMult     = cc->ModReduce(ciphertextMultTemp);auto ciphertextEvalSum  = cc->EvalSum(ciphertext3, batchSize);// Decryption after Accumulation Operation on Encrypted Data with Multiparty

    Plaintext plaintextAddNew1;
    Plaintext plaintextAddNew2;
    Plaintext plaintextAddNew3;

    DCRTPoly partialPlaintext1;
    DCRTPoly partialPlaintext2;
    DCRTPoly partialPlaintext3;

    Plaintext plaintextMultipartyNew;const std::shared_ptr<CryptoParametersBase<DCRTPoly>> cryptoParams = kp1.secretKey->GetCryptoParameters();const std::shared_ptr<typenameDCRTPoly::Params> elementParams     = cryptoParams->GetElementParams();// distributed decryption//各自用自己的secretkey解密（kp1解密叫Lead，kp2解密叫Main）auto ciphertextPartial1 = cc->MultipartyDecryptLead({ciphertextAdd123}, kp1.secretKey);auto ciphertextPartial2 = cc->MultipartyDecryptMain({ciphertextAdd123}, kp2.secretKey);

    std::vector<Ciphertext<DCRTPoly>> partialCiphertextVec;
    partialCiphertextVec.push_back(ciphertextPartial1[0]);
    partialCiphertextVec.push_back(ciphertextPartial2[0]);//合并密钥
    cc->MultipartyDecryptFusion(partialCiphertextVec,&plaintextMultipartyNew);

    std::cout <<"\n Original Plaintext: \n"<< std::endl;
    std::cout << plaintext1 << std::endl;
    std::cout << plaintext2 << std::endl;
    std::cout << plaintext3 << std::endl;

    plaintextMultipartyNew->SetLength(plaintext1->GetLength());

    std::cout <<"\n Resulting Fused Plaintext: \n"<< std::endl;
    std::cout << plaintextMultipartyNew << std::endl;

    std::cout <<"\n";

    Plaintext plaintextMultipartyMult;//（kp1解密叫Lead，kp2解密叫Main）
    ciphertextPartial1 = cc->MultipartyDecryptLead({ciphertextMult}, kp1.secretKey);

    ciphertextPartial2 = cc->MultipartyDecryptMain({ciphertextMult}, kp2.secretKey);

    std::vector<Ciphertext<DCRTPoly>> partialCiphertextVecMult;
    partialCiphertextVecMult.push_back(ciphertextPartial1[0]);
    partialCiphertextVecMult.push_back(ciphertextPartial2[0]);

    cc->MultipartyDecryptFusion(partialCiphertextVecMult,&plaintextMultipartyMult);

    plaintextMultipartyMult->SetLength(plaintext1->GetLength());

    std::cout <<"\n Resulting Fused Plaintext after Multiplication of plaintexts 1 ""and 3: \n"<< std::endl;
    std::cout << plaintextMultipartyMult << std::endl;

    std::cout <<"\n";

    Plaintext plaintextMultipartyEvalSum;

    ciphertextPartial1 = cc->MultipartyDecryptLead({ciphertextEvalSum}, kp1.secretKey);

    ciphertextPartial2 = cc->MultipartyDecryptMain({ciphertextEvalSum}, kp2.secretKey);

    std::vector<Ciphertext<DCRTPoly>> partialCiphertextVecEvalSum;
    partialCiphertextVecEvalSum.push_back(ciphertextPartial1[0]);
    partialCiphertextVecEvalSum.push_back(ciphertextPartial2[0]);

    cc->MultipartyDecryptFusion(partialCiphertextVecEvalSum,&plaintextMultipartyEvalSum);

    plaintextMultipartyEvalSum->SetLength(plaintext1->GetLength());

    std::cout <<"\n Fused result after the Summation of ciphertext 3: ""\n"<< std::endl;
    std::cout << plaintextMultipartyEvalSum << std::endl;}

生成密钥

第一轮——A 生成公钥、乘法计算密钥、加法计算密钥（A的）

第二轮——B利用A的公钥，生成公钥和乘法计算密钥，加法计算密钥

• 由kp1.publickey生成公钥：Joint public key for (s_a + s_b)
• 乘法计算密钥：Joint evaluation multiplication key for (s_a + s_b)
• 转化乘法计算密钥为：把 (s_a + s_b) 转化为 s_b*(s_a + s_b)
• 生成加法计算密钥为：Joint evaluation summation key for (s_a + s_b)

第三轮——A最后生成最终的乘法计算密钥

• 转化乘法计算密钥为：把 (s_a + s_b) 转化为 s_a*(s_a + s_b)
• 生成最终的乘法计算密钥为 (s_a + s_b) * (s_a + s_b)

加密（统一用kp2.publickey）

运算

解密（部分解密再合并）