javaScript一元四次、三次方程求根算法

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一、一元四次方程求根算法

天珩公式：https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/10721996?fr=aladdin

代码如下（示例）：

/**
 * 沈天珩简化四次方求根公式算法。
 * 返回根的数组，数组长度： 0 - 4
 * @param {*} param0 a,b,c,d 分别为四、三、二、一次项系数；e为常数项
 * @returns {Number[]}
 */
function cal_quartic_ik([a, b, c, d, e]){
    let a_Quadruple =4* a;
    let D =3*pow(b,2)-8* a * c,
        E =-pow(b,3)+ a_Quadruple * b * c -8*pow(a,2)* d,
        F =3*pow(b,4)+16*pow(a,2)*pow(c,2)-16* a *pow(b,2)* c +16*pow(a,2)* b * d -64*pow(a,3)* e;
 
    let A = D **2-3* F,
        B = D * F -9*pow(E,2),
        C = F **2-3* D *pow(E,2);
    let delta = B **2-4* A * C;//总判别式//四重实根if(isZero(D)&&isZero(E)&&isZero(F))return[-b / a_Quadruple]//两个实根，其中一个三重实根if(isZero(A)&&isZero(B)&&isZero(C)&&!isZero(D * E * F)){
        
        let m = a_Quadruple * D, n =-b * D;return[(n +9* E)/ m,(n -3* E)/ m]}//一对二重根，有可能没有根if(isZero(E)&&isZero(F)&&!isZero(D)){if(D >0)return[(-b +sqrt(D))/ a_Quadruple,(-b -sqrt(D))/ a_Quadruple]if(D <0)return[]}//四个根if(!isZero(A * B * C)&&isZero(delta)){
        
        let temp =sign(A * B * E)*sqrt(D - B / A),
            sqrt_BA =sqrt(2* B / A);//其余两根为不等实根，四个实根 if(A * B >0)return[(-b + temp + sqrt_BA)/ a_Quadruple,(-b + temp - sqrt_BA)/ a_Quadruple,(-b - temp)/ a_Quadruple
            ]//其余两根为共轭虚根if(A * B <0)return[(-b - temp)/ a_Quadruple]}//两个不等实根和一对共轭虚根if(delta >0){
        
        let z1 = A * D +3*((-B +sqrt(delta))/2.0);
        let z2 = A * D +3*((-B -sqrt(delta))/2.0);

        let z = D **2- D *(sign(z1)*pow(abs(z1), One_third)+sign(z2)*pow(abs(z2), One_third))+(sign(z1)*pow(abs(z1), One_third)+sign(z2)*pow(abs(z2), One_third))**2-3* A,
            m =(-b +sign(E)*sqrt((D +sign(z1)*pow(abs(z1), One_third)+sign(z2)*pow(abs(z2), One_third))/3.0)),
            n =sqrt((2* D -sign(z1)*pow(abs(z1), One_third)-sign(z2)*pow(abs(z2), One_third)+2*sqrt(z))/3.0);return[(m + n)/ a_Quadruple,(m - n)/ a_Quadruple]}if(delta <0){if(!(D >0)&&(F >0))return[]//四个不等实根if(isZero(E)){
            
            let sqrt_F_two =2*sqrt(F);return[(-b +sqrt(D + sqrt_F_two))/ a_Quadruple,(-b -sqrt(D + sqrt_F_two))/ a_Quadruple,(-b +sqrt(D - sqrt_F_two))/ a_Quadruple,(-b -sqrt(D - sqrt_F_two))/ a_Quadruple
            ]}//四个不等实根
        let sqrt_A =sqrt(A);
        let theta_one_third =acos((3* B -2* A * D)/(2* A * sqrt_A))/3.0,
            y1 =(D -2* sqrt_A *cos(theta_one_third))/3.0,
            y2 =(D + sqrt_A *(cos(theta_one_third)+sqrt(3)*sin(theta_one_third)))/3.0,
            y3 =(D + sqrt_A *(cos(theta_one_third)-sqrt(3)*sin(theta_one_third)))/3.0,
            y4 =sign(E)*sqrt(y1);return[(-b + y4 +(sqrt(y2)+sqrt(y3)))/ a_Quadruple,(-b + y4 -(sqrt(y2)+sqrt(y3)))/ a_Quadruple,(-b - y4 +(sqrt(y2)-sqrt(y3)))/ a_Quadruple,(-b - y4 -(sqrt(y2)-sqrt(y3)))/ a_Quadruple
        ]}return[]}

二、一元三次方程求根算法

盛金公式：https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%9B%E9%87%91%E5%85%AC%E5%BC%8F#9

/**
 * 三次方求根公式算法。
 * 返回根的数组，数组长度： 0 - 3
 * @param {*} param0 a,b,c 分别为三、二、一次项系数；d为常数项
 * @returns {Number[]}
 */
function cal_cubic_ik([a, b, c, d]){
 
    let a_Threefold =3* a;
    let A = b **2- a_Threefold * c,
        B = b * c -9* a * d,
        C = c **2-3* b * d,
        delta = B **2-4* A * C;//总判别式// 一个三重实根if(isZero(A)&&isZero(B)){return[-b /(a_Threefold)]}// 一个实根和一对共轭复根if(delta >0){
        
        let y1 = A * b + a_Threefold *((-B +sqrt(delta))/2.0),   
            y2 = A * b + a_Threefold *((-B -sqrt(delta))/2.0);return[(-b -(sign(y1)*pow(abs(y1), One_third)+sign(y2)*pow(abs(y2), One_third)))/ a_Threefold ]}//三个实根，其中有一个二重根if(isZero(delta)){
        
        let K = B /float(A);return[- b /float(a)+ K,- K /2.0]}//三个不等实根if(delta <0){
        
        let theta = math.acos((2* A * b -3* a * B)/(2* math.sqrt(pow(A,3))));
            m = math.sqrt(A),
            n = math.cos(theta /3.0),
            q = math.sqrt(3)* math.sin(theta /3.0);return[(- b -2* m * n)/ a_Threefold,(- b + m *(n + q))/ a_Threefold,(- b + m *(n - q))/ a_Threefold
        ]}}

总结

提示：以上算法均返回实数解，且去掉了重根。