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数学建模系列-预测模型（一）灰色预测模型

目前我们学习预测模型的第一类：灰色预测模型。

1 灰色预测模型

** Gray Forecast Model 是通过少量的、不完全的**信息，建立数学模型并给出预测的一种预测方法。

  1.     目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本。若样本较小，则会造成较大误差，使预测目标失效。
  3.     灰色预测模型**所需建模信息少**，运算方便，**建模精度高**，在各种预测领域都有着广泛的应用，是**处理小样本预测问题**的有效工具.

1.1 灰色系统的定义与特点

  1.     **灰色系统**是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统。
  3.     （1）用**灰色数学处理**处理不确定量，使之量化
  5.     （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律
  7.     （3）灰色系统理论能处理贫信息系统

1.2 灰色预测模型优缺点

  1.     **适用范围：**该模型使用的不是原始数据的序列， 而是**生成的数据序列**。 核心体系是** Grey Model**， 即对原始数据作累加生成（或其他处理生成） 得到**近似的指数规律**再进行建模的方法。
  2.

** 优点：在处理较少的特征值数据， 不需要数据的样本空间足够大， 就能解决历史数据少、 序列的完整性以及可靠性低的问题， 能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列**。

  1.  **   缺点：**只适用于**中短期的预测**， 只适合近似于**指数增长**的预测。需要构建**一阶常微分方程**来求解拟合函数的函数表达式。

1.3 灰色生成数列

  1.     关键在于如何选择合适的方式去挖掘和利用事物的内在规律。一切灰色序列都能通过**某种生成弱化其随机性，显现其规律**。数据生成的常用方式有**累加生成、累减生成和加权累加生成**。

（1）累加生成（AGO）

** ** 设原始数列为x_0=[x_0(1),x_0(2).....x_0(n)]，则x_1(k)=x_0(1)+x_0(2)+......+x_0(n)为原始数列的1次累加生成数列。

  1.      称为x_0的r次累加生成数列。

（2）累减生成（IAGO）

  1.     设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，则x_0(k)=x_1(1)+x_1(2)+......+x_1(n)是原始数列的1次累减生成数列。通过累加数列得到的数列可以通过累减生成还原成原始数列。

（3）加权邻值生成

  1.     设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，称任意一对相邻元素x_0(k-1),x_0(k)互为邻值。对于常数0<a<1,则

  1.      由此得到的数列称为邻值生成数，权a称为生成系数。当a=0.5时，则称数列为均值生成数。

1.4 灰色模型GM(1,1)实操步骤

1 数据检验

  1.     建模前需要对**数据进行检验**，首先计算**数列的级比**

  1.     如果所有的级比都落在**可容覆盖区间**内

  1.     则数列可以进行灰色预测，否则需要对数据进行适当的变换处理，如平移等。

以下为数据检验的matlab代码： 

  1. %数据检验
  2. function [G, params] = GM(A)
  3. % G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验
  4. % p为小误差概率p检验
  6. %建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
  7. % syms a b;
  8. % c = [a u]';
  9. n = length(A);
  10. %% 级比检验
  11. % 对原始数列 A 做累加得到数列 B
  12. B = cumsum(A);
  14. % 计算级比和光滑比
  15. sig = zeros(1,n);
  16. rho = zeros(1,n);
  17. for i = 2:n
  18.     sig(i) = B(i)/B(i-1);
  19.     rho(i) = A(i)/B(i-1);
  20. end
  22. if sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0
  23.     disp('数据满足光滑条件和指数规律')
  24. else
  25.     disp('数据不满足光滑条件和指数规律')
  26. end

2 构建灰色模型

  1.     定义x_1的灰导数为

  1.      令z_1(k)为数列x_1的邻值生成数列，即

  1.      于是定义GM(1,1)的微分方程模型为

  1.      用回归分析求得a、b的估计值，于是相应的白化模型为

  1.      解为

  1.      于是得到预测值

** 实操：**

  1.     将k=1，2，3，，，n代入式子中得：

  1.      引入矩阵向量记号

  1.      于是GM(1,1)模型可表示为Y=Bu。
  3.     那么现在的问题是求a和b的问题，我们可以用一元线性回归，也就是最小二乘法求他们的估计值为：

以下是matlab代码：

  1. %% 数据预测
  2. % 对数列 B 做紧邻均值生成
  3. C = zeros(n,1);
  4. for i = 2:n
  5.     C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  
  6. end
  7. C(1) = [];
  9. % 构造数据矩阵 
  10. B = [-C,ones(n-1,1)];
  11. Y = A; Y(1) = []; 
  13. % 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)
  14. c = inv(B'*B)*B'*Y;
  15. a = c(1);
  16. u = c(2);
  18. % 预测后续数据
  19. F(1) = A(1);
  20. for i = 2:n+2    % 预测两年的数据
  21.     F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;
  22. end
  24. % 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
  25. G(1) = A(1);
  26. for i = 2:n+2  
  27.     G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
  28. end
  29. G = G';

3 检验预测值

  1.    ** （一）残差检验：计算相对误差**

  1.     如果所有得相对误差都小于0.1，则认为达到较高的要求。小于0.2，则达到一般要求。
  3.     （二）关联度检验
  5.     （三）方差比C检验
  7.     （四）小误差概率p检验

以下为matlab代码：

  1. %% 精度检验
  2. H = G(1:n);
  3. % 计算残差序列
  4. epsilon = A - H;
  6. % 法一：相对残差Q检验（MAPE）
  7. % 计算相对残差
  8. delta = abs(epsilon./A);
  9. % 计算相对误差平均值Q
  10. Q = mean(delta);
  11. % 计算所对应的的绝对误差百分比
  12. MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;
  14. % 法二：关联度检验
  15. r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;
  17. % 法三：方差比C检验
  18. C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);
  20. % 法四：小误差概率P检验
  21. S1 = std(A, 1);
  22. tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
  23. P = length(tmp)/n;
  25. params = [a,u,r,C,P,MAPE];
  26. end

4 灰色预测模型实例代码

原始数据：A=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'

  1. function [G, params] = GM(A)
  2. % G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验
  3. % p为小误差概率p检验
  5. %建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
  6. % syms a b;
  7. % c = [a u]';
  8. n = length(A);
  9. %% 级比检验
  10. % 对原始数列 A 做累加得到数列 B
  11. B = cumsum(A);
  13. % 计算级比和光滑比
  14. sig = zeros(1,n);
  15. rho = zeros(1,n);
  16. for i = 2:n
  17.     sig(i) = B(i)/B(i-1);
  18.     rho(i) = A(i)/B(i-1);
  19. end
  21. if sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0
  22.     disp('数据满足光滑条件和指数规律')
  23. else
  24.     disp('数据不满足光滑条件和指数规律')
  25. end
  27. %% 数据预测
  28. % 对数列 B 做紧邻均值生成
  29. C = zeros(n,1);
  30. for i = 2:n
  31.     C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  
  32. end
  33. C(1) = [];
  35. % 构造数据矩阵 
  36. B = [-C,ones(n-1,1)];
  37. Y = A; Y(1) = []; 
  39. % 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)
  40. c = inv(B'*B)*B'*Y;
  41. a = c(1);
  42. u = c(2);
  44. % 预测后续数据
  45. F(1) = A(1);
  46. for i = 2:n+2    % 预测两年的数据
  47.     F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;
  48. end
  50. % 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
  51. G(1) = A(1);
  52. for i = 2:n+2  
  53.     G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
  54. end
  55. G = G';
  57. %% 精度检验
  58. H = G(1:n);
  59. % 计算残差序列
  60. epsilon = A - H;
  62. % 法一：相对残差Q检验（MAPE）
  63. % 计算相对残差
  64. delta = abs(epsilon./A);
  65. % 计算相对误差平均值Q
  66. Q = mean(delta);
  67. % 计算所对应的的绝对误差百分比
  68. MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;
  70. % 法二：关联度检验
  71. r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;
  73. % 法三：方差比C检验
  74. C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);
  76. % 法四：小误差概率P检验
  77. S1 = std(A, 1);
  78. tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
  79. P = length(tmp)/n;
  81. params = [a,u,r,C,P,MAPE];
  82. end
标签： 人工智能 python
本文转载自: https://blog.csdn.net/vcvvcvx/article/details/128953595
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