数学建模系列-预测模型（一）灰色预测模型

目前我们学习预测模型的第一类：灰色预测模型。

1 灰色预测模型

** Gray Forecast Model 是通过少量的、不完全的**信息，建立数学模型并给出预测的一种预测方法。

    目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本。若样本较小，则会造成较大误差，使预测目标失效。

    灰色预测模型**所需建模信息少**，运算方便，**建模精度高**，在各种预测领域都有着广泛的应用，是**处理小样本预测问题**的有效工具.

1.1 灰色系统的定义与特点

    **灰色系统**是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统。

    （1）用**灰色数学处理**处理不确定量，使之量化

    （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律

    （3）灰色系统理论能处理贫信息系统

1.2 灰色预测模型优缺点

    **适用范围：**该模型使用的不是原始数据的序列， 而是**生成的数据序列**。 核心体系是** Grey Model**， 即对原始数据作累加生成（或其他处理生成） 得到**近似的指数规律**再进行建模的方法。
    

** 优点：在处理较少的特征值数据， 不需要数据的样本空间足够大， 就能解决历史数据少、 序列的完整性以及可靠性低的问题， 能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列**。

 **   缺点：**只适用于**中短期的预测**， 只适合近似于**指数增长**的预测。需要构建**一阶常微分方程**来求解拟合函数的函数表达式。

1.3 灰色生成数列

    关键在于如何选择合适的方式去挖掘和利用事物的内在规律。一切灰色序列都能通过**某种生成弱化其随机性，显现其规律**。数据生成的常用方式有**累加生成、累减生成和加权累加生成**。

（1）累加生成（AGO）

** ** 设原始数列为x_0=[x_0(1),x_0(2).....x_0(n)]，则x_1(k)=x_0(1)+x_0(2)+......+x_0(n)为原始数列的1次累加生成数列。

     称为x_0的r次累加生成数列。

（2）累减生成（IAGO）

    设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，则x_0(k)=x_1(1)+x_1(2)+......+x_1(n)是原始数列的1次累减生成数列。通过累加数列得到的数列可以通过累减生成还原成原始数列。

（3）加权邻值生成

    设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，称任意一对相邻元素x_0(k-1),x_0(k)互为邻值。对于常数0<a<1,则

     由此得到的数列称为邻值生成数，权a称为生成系数。当a=0.5时，则称数列为均值生成数。

1.4 灰色模型GM(1,1)实操步骤

1 数据检验

    建模前需要对**数据进行检验**，首先计算**数列的级比**

    如果所有的级比都落在**可容覆盖区间**内

    则数列可以进行灰色预测，否则需要对数据进行适当的变换处理，如平移等。

以下为数据检验的matlab代码：

%数据检验
function [G, params] = GM(A)
% G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验
% p为小误差概率p检验

%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
% syms a b;
% c = [a u]';
n = length(A);
%% 级比检验
% 对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);

% 计算级比和光滑比
sig = zeros(1,n);
rho = zeros(1,n);
for i = 2:n
    sig(i) = B(i)/B(i-1);
    rho(i) = A(i)/B(i-1);
end

if sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0
    disp('数据满足光滑条件和指数规律')
else
    disp('数据不满足光滑条件和指数规律')
end

2 构建灰色模型

    定义x_1的灰导数为

     令z_1(k)为数列x_1的邻值生成数列，即

     于是定义GM(1,1)的微分方程模型为

     用回归分析求得a、b的估计值，于是相应的白化模型为

     解为

     于是得到预测值

** 实操：**

    将k=1，2，3，，，n代入式子中得：

     引入矩阵向量记号

     于是GM(1,1)模型可表示为Y=Bu。

    那么现在的问题是求a和b的问题，我们可以用一元线性回归，也就是最小二乘法求他们的估计值为：

以下是matlab代码：

%% 数据预测
% 对数列 B 做紧邻均值生成
C = zeros(n,1);
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  
end
C(1) = [];

% 构造数据矩阵 
B = [-C,ones(n-1,1)];
Y = A; Y(1) = []; 

% 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)
c = inv(B'*B)*B'*Y;
a = c(1);
u = c(2);

% 预测后续数据
F(1) = A(1);
for i = 2:n+2    % 预测两年的数据
    F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;
end

% 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G(1) = A(1);
for i = 2:n+2  
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
G = G';

3 检验预测值

   ** （一）残差检验：计算相对误差**

    如果所有得相对误差都小于0.1，则认为达到较高的要求。小于0.2，则达到一般要求。

    （二）关联度检验

    （三）方差比C检验

    （四）小误差概率p检验

以下为matlab代码：

%% 精度检验
H = G(1:n);
% 计算残差序列
epsilon = A - H;

% 法一：相对残差Q检验（MAPE）
% 计算相对残差
delta = abs(epsilon./A);
% 计算相对误差平均值Q
Q = mean(delta);
% 计算所对应的的绝对误差百分比
MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;

% 法二：关联度检验
r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;

% 法三：方差比C检验
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);

% 法四：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
P = length(tmp)/n;

params = [a,u,r,C,P,MAPE];
end

4 灰色预测模型实例代码

原始数据：A=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'

function [G, params] = GM(A)
% G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验
% p为小误差概率p检验

%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
% syms a b;
% c = [a u]';
n = length(A);
%% 级比检验
% 对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);

% 计算级比和光滑比
sig = zeros(1,n);
rho = zeros(1,n);
for i = 2:n
    sig(i) = B(i)/B(i-1);
    rho(i) = A(i)/B(i-1);
end

if sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0
    disp('数据满足光滑条件和指数规律')
else
    disp('数据不满足光滑条件和指数规律')
end

%% 数据预测
% 对数列 B 做紧邻均值生成
C = zeros(n,1);
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  
end
C(1) = [];

% 构造数据矩阵 
B = [-C,ones(n-1,1)];
Y = A; Y(1) = []; 

% 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)
c = inv(B'*B)*B'*Y;
a = c(1);
u = c(2);

% 预测后续数据
F(1) = A(1);
for i = 2:n+2    % 预测两年的数据
    F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;
end

% 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G(1) = A(1);
for i = 2:n+2  
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
G = G';

%% 精度检验
H = G(1:n);
% 计算残差序列
epsilon = A - H;

% 法一：相对残差Q检验（MAPE）
% 计算相对残差
delta = abs(epsilon./A);
% 计算相对误差平均值Q
Q = mean(delta);
% 计算所对应的的绝对误差百分比
MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;

% 法二：关联度检验
r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;

% 法三：方差比C检验
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);

% 法四：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
P = length(tmp)/n;

params = [a,u,r,C,P,MAPE];
end