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前言 - 为堆的学习做准备
二叉树的顺序存储
前面所讲的二叉树，什么孩子表示法呀，还有 孩子双亲表示法啊，都是链式存储。
而现在讲的是：顺序存储一棵二叉树。
存储方式
使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历的方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树，因为 非完全二叉树会有空间的浪费。【也就是说：如果使用顺序存储来存储一棵二叉树，那么，最好是完全二叉树，这样就不会有太多的空间被浪费】
这种方式的主要用法就是堆的表示。
下标关系
已知双亲（parent）的下标，则：
左孩子（left）下标 = 2 * parent + 1；
右孩子（right）下标 = 2 * parent + 2；
已知孩子（不区分左右）（child）下标，则：
双亲（parent）下标 = （child - 1）/ 2；
就是我在 二叉树那篇 文章 所讲的 二叉树的第五个性质
堆 【heap】
概念
1、堆在逻辑上是一棵完全二叉树
2、堆在物理上是保存在数组中。
3、满足任意节点的值 都大于 自身所在树中根结点的值，叫做小堆，或者小根堆，或者是最小堆。【每棵二叉树的根结点 都小于 左右孩子结点 - 小堆 / 小根堆 / 最小堆】
4. 满足任意节点的值 都小于 自身所在树中根结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者是最大堆。【每棵二叉树的根结点 都大于 左右孩子结点 -大堆 / 大根堆 / 最大堆】
5. 堆的基本作用是，快速找集合中的最值
无论是 大根堆还是小根堆， 它们的 最值【最大值 和 最小值】都处于 二叉树的 根结点处。要想获得 最值，直接 peek 方法，就能获得 树 的 根结点值 / 最值。
这也是为什么说： 堆 是 优先级队列。
所谓优先级队列：存入一个数据，是按照某种特殊规定来存储的。
而这种规则就是刚刚讲的 大小根堆的特性。将最值放在最容易获取的位置。
也就是说： 优先级队列 其 底层 是 一棵 完全二叉树 / 堆。
操作-向下调整
前提：左右子树必须已经是一个 堆 / 逻辑上是一棵完全二叉树。
实战 - 将一组 记录完全二叉树数据 的 数组 转换成 大根堆。
向下调整 - 结论
- 调整是从最后一棵子树触发的
2、每棵子树的调整都是向下调整。
3、之所以称为向下调整，是因为 在 调整的过程中，根结点 是 跟 左右子树 进行交换，那么根结点是不是就下来了。所以才称为 向下调整【根结点的值，向下移动 / 与左右子树的值进行交换】。
问题
1、如何找到最后一棵子树
因为 堆 在 逻辑 上 是 一 棵 完全二叉树，物理上 其数据 是由数组保存的。
两者的共同点：完全二叉树的编号 与 数组下标 一致。
也就是说：我们只要获取数组的长度 len，那么 len -1 ，不就是 最后一棵子树的下标。
此时，我们是不是得到了一个 孩子结点 的 下标【child】？
根据 下标关系,我们就可以通过 孩子结点的下标，来获取 双亲节点 / 父 节点 的下标
parent == （child - 1）/ 2 》》parent == （（len - 1） - 1）/ 2
2、如何将所有树的调整成大根堆 【遍历 每棵 树的 根结点，因为向下调整需要知道根结点的】
很简单，既然我们通过 数组的长度，间接获取到了最后一棵子树的根结点【parent】，那么，我们直接 parent - - ，就可以获取所有子树，包括整棵树的根结点。
通过 双亲节点 parent 和 下标关系，我们就可以获取 其 左右子树的下标。
【 左子树：parent * 2 + 1；右子树：parent * 2 + 2】
每棵树的调整结束的位置，如何判定？
得出结论：其实每棵树的调整结束位置 都是一样的 ：不能超过 数组长度。【细品】
如何构造一个 向下调整的函数 - 重点
// 向下调整publicvoidshiftDown(int parent,int len){int child = parent *2+1;// 左孩子// 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。while(child < len){// 获取 左右孩子的最大值if(child+1< len &&this.elements[child]<this.elements[child+1]){
child++;}// 判断 孩子最大值 是否 比 双亲节点 val 值 大// 如果大，就需要进行交换if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp = elements[child];
elements[child]= elements[parent];
elements[parent]= tmp;// 见附图
parent = child;
child = parent *2+1;}else{break;}}}
附图
模拟实现 堆 - 程序框架
importjava.util.Arrays;publicclassHeap{publicint[] elements;// 底层数组publicint usedSize;// 有效元素个数// 构造方法publicHeap(int[] elements){// 数组初始化容量this.elements =newint[10];}// 创建堆，获取 输入数组 的 数据publicvoidcreationHeap(int[] array){this.usedSize += array.length;if(isFull()){this.elements =Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);}this.elements =Arrays.copyOf(array,array.length);for(int parent =(this.usedSize -1-1)/2;parent >=0;parent--){// 向下调整shiftDown(parent,this.usedSize);}}// 向下调整publicvoidshiftDown(int parent,int len){int child = parent *2+1;// 左孩子// 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。while(child < len){// 获取 左右孩子的最大值if(child+1< len &&this.elements[child]<this.elements[child+1]){
child++;}// 判断 孩子最大值 是否 比 双亲节点 val 值 大// 如果大，就需要进行交换if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp = elements[child];
elements[child]= elements[parent];
elements[parent]= tmp;// 见附图
parent = child;
child = parent *2+1;}else{break;}}}}
模拟实现 堆 的 时间复杂度
堆的应用 - 优先级队列
概念
在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况 对待处理对象 进行处理，比如说首先处理优先级最高的对象，然后处理 次高的对象。
举个最简单的例子就是：
直接调用 优先级队列，系统默认生成是 小根堆。
下面我们就来实践。首先创建一个 优先级队列 / 堆。
按住 Ctrl ，左键点击框选部分，进入该类的内部。
按一下 alt + 7，就会弹出功能菜单，如下图所示：【现在先关注队列的功能】
利用 offer 来给 优先级队列 / 堆 提供数据。再来通过 peek 方法 来观察 队头元素 / 堆的根结点，如果为 最小值，那么说 优先级队列默认是小根堆，反之，就是大根堆。
所谓优先级队列：不管是出队，还是入队。都得保证当前是大根堆 或者 小根堆。
优先级队列 - 入队 和 出队 过程
大根堆情况 （向上调整）
1、 首先按尾插方式放入数组
2、 比较其 和 其双亲的值 的 大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束
3、 否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 2、3 步骤
4.、直到根结点
我们将其过程称为 向上调整。
向上调整：只需要一个参数【需要调整的 child 下标】
模拟实现 堆 - offer 功能 - 入队
// 入队操作publicvoidoffer(int val){if(isFull()){// 扩容this.elements =Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length *2);}
elements[usedSize++]= val;//usedSize++;shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1}privatevoidshiftUp(int child){int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp =this.elements[child];this.elements[child]=this.elements[parent];this.elements[parent]= tmp;
child = parent;
parent =(child -1)/2;}else{break;}}}publicbooleanisFull(){returnthis.usedSize >=this.elements.length;}
模拟实现 堆 - poll 功能 - 出队
分析
代码如下
// 出队操作publicintpoll(){if(isEmpty()){thrownewRuntimeException("优先级队列为空！");}int tmp =this.elements[0];this.elements[0]=this.elements[this.usedSize -1];this.elements[this.usedSize -1]= tmp;this.usedSize--;shiftDown(0,usedSize);return tmp;}// 判断队列 空不空publicbooleanisEmpty(){returnthis.usedSize ==0;}
模拟实现 堆 - peek 功能 - 返回队头元素
// 判断队列 空不空publicbooleanisEmpty(){returnthis.usedSize ==0;}publicintpeek(){if(isEmpty()){thrownewRuntimeException("优先级队列为空！");}returnthis.elements[0];}
模拟实现 堆 【总程序】
importjava.util.Arrays;publicclassHeap{publicint[] elements;// 底层数组publicint usedSize;// 有效元素个数// 构造方法publicHeap(){// 数组初始化容量this.elements =newint[10];}// 创建堆，获取 输入数组 的 数据publicvoidcreationHeap(int[] array){this.usedSize += array.length;if(isFull()){this.elements =Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);}this.elements =Arrays.copyOf(array,array.length);for(int parent =(this.usedSize -1-1)/2;parent >=0;parent--){// 向下调整shiftDown(parent,this.usedSize);}}// 向下调整publicvoidshiftDown(int parent,int len){int child = parent *2+1;// 左孩子// 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。while(child < len){// 获取 左右孩子的最大值if(child+1< len &&this.elements[child]<this.elements[child+1]){
child++;}// 判断 孩子最大值 是否 比 双亲节点 val 值 大// 如果大，就需要进行交换if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp = elements[child];
elements[child]= elements[parent];
elements[parent]= tmp;// 见附图
parent = child;
child = parent *2+1;}else{break;}}}// 入队操作publicvoidoffer(int val){if(isFull()){// 扩容this.elements =Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length *2);}
elements[usedSize++]= val;//usedSize++;shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1}privatevoidshiftUp(int child){int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp =this.elements[child];this.elements[child]=this.elements[parent];this.elements[parent]= tmp;
child = parent;
parent =(child -1)/2;}else{break;}}}// 判断队列满没满publicbooleanisFull(){returnthis.usedSize >=this.elements.length;}// 出队操作publicintpoll(){if(isEmpty()){thrownewRuntimeException("优先级队列为空！");}int tmp =this.elements[0];this.elements[0]=this.elements[this.usedSize -1];this.elements[this.usedSize -1]= tmp;this.usedSize--;shiftDown(0,usedSize);return tmp;}// 判断队列 空不空publicbooleanisEmpty(){returnthis.usedSize ==0;}publicintpeek(){if(isEmpty()){thrownewRuntimeException("优先级队列为空！");}returnthis.elements[0];}}
堆的其他应用-TopK 问题
给我们一百万个数据，让你找到前10个最大的元素。
目前来说：我们知道堆排序时间复杂度 最快： log2 N * N；最慢： N
思路一 ：整体排序
对整体进行排序，输出前10个最大的元素。
对整体排序这不是一个非常好的思路！
99%的人都能想出来：直接对底层数组进行排序，输出前10个最大的元素。
这样做，出这题的意义就不大。
思路二 ： 利用堆来实现 【这还不是Topk 问题，这里只是打底】
用堆来解决。
思路：将数据建成大根堆。
假设，建好的大根堆如下图所示：
假设，我们要在这个堆上找到 前三个 最大值，该怎么做？
思路二 ：Topk思路
还是跟思路二一样，去求一组数据的前三个最大值。
总结：
1、如果求前K个最大的元素，要建一个小根堆。
2、如果求 前K个最小的元素，要建一个大根堆。
3、如果是求第k大的元素，建一个小堆，小根堆 堆顶的元素就是第k大的元素。
4、如果是求第k小的元素，建一个大堆，大根堆 堆顶的元素就是第k小的元素。
在做实战题之前，我们需要先学习这篇文章Java 对象 的 比较
模拟topK问题【求一组数据的前k个最小值】，并解决它
importjava.util.Arrays;importjava.util.Comparator;importjava.util.PriorityQueue;publicclassTopK{/*
* 求数组中的前 k 个 最小元素
* @param array
* @param k
* @return
* */publicstaticint[]topK(int[] array,int k){// 创建一个大小为 k 的 大根堆PriorityQueue<Integer> maxHeap =newPriorityQueue<>(k,newComparator<Integer>(){@Overridepublicintcompare(Integer o1,Integer o2){return o2 - o1;}});for(int i =0;i <array.length;i++){if(maxHeap.size()< k){
maxHeap.offer(array[i]);}else{// 从第 k + 1 个元素开始，每个元素都要和 堆顶元素进行比较。// 如果 比 堆顶元素小，则与堆顶元素交换，int top = maxHeap.peek();if(top > array[i]){
maxHeap.poll();// 先将堆顶元素弹出，优先级队列会自行调整一下
maxHeap.offer(array[i]);// 后面入队也是一样，也会自行调整一下}}}// 此时 maxHeap 堆里，存储的是 前 k 个最小的 值// 现在要做的是 将其 转换称是数组，返回int[] tmp =newint[k];for(int i =0;i < k;i++){
tmp[i]= maxHeap.poll();}return tmp;}publicstaticvoidmain(String[] args){int[] array ={18,21,8,10,34,12};int[] tmp =topK(array,3);// 求前三个最小值System.out.println(Arrays.toString(tmp));}}
实战题 - LeetCode - 373. 查找和最小的 K 对数字
题目分析
给了我们两个升序(元素顺序：从小到大)数组 num1 和 num2，让我们分别从 num1 和 num2 中，各自选取 一个 数据，让其 组成 k 个 两个数之和最小 的 组合。
选取的数可以重复利用。
解题 思维
代码如下
classSolution{publicList<List<Integer>>kSmallestPairs(int[] nums1,int[] nums2,int k){// 创建 一个大小为 k 的 大根堆PriorityQueue<List<Integer>> maxHeap =newPriorityQueue<>(k,newComparator<List<Integer>>(){@Overridepublicintcompare(List<Integer> o1,List<Integer> o2){return((o2.get(0)+ o2.get(1))-(o1.get(0)+ o1.get(1)));}});// 我们不需要将数组 num1 和 num2 遍历完// 因为 这两个数组是升序，前k个最小数对，一定是 有 num1 和 num2 前k 个元素 组成的。for(int i =0;i <Math.min(nums1.length,k);i++){for(int j =0;j <Math.min(nums2.length,k);j++){// 先放入 k 个 数对if(maxHeap.size()< k){List<Integer> tmpList =newArrayList<>();
tmpList.add(nums1[i]);
tmpList.add(nums2[j]);
maxHeap.offer(tmpList);}else{// 从 k +1 个 数对，开始判断int top = maxHeap.peek().get(0)+maxHeap.peek().get(1);if(top >(nums1[i]+ nums2[j])){// 弹出
maxHeap.poll();List<Integer> tmpList =newArrayList<>();
tmpList.add(nums1[i]);
tmpList.add(nums2[j]);// 入队
maxHeap.offer(tmpList);}}}}// 为返回值做准备List<List<Integer>> result =newArrayList<>();// 循环判断条件，需要加上 一个判断 堆是不是为空// 根据示例三：两个数组元素 可能存在 不足以构成 k 个最小数对 的情况for(int i =0; i < k &&!maxHeap.isEmpty();i++){
result.add(maxHeap.poll());}return result;}}
堆排序
总结
1、将数据调整为 大根堆、
2、0 下标 与 最后一个未排序的元素进行交换即可。
3、循环上述两个操作，直至 最后一个未排序的元素 下标为 0.。
实战 - 堆排序
publicvoidheapTraversal(){// 最后一个未排序元素的下标int last =this.elements.length -1;while(last >0){int tmp =this.elements[0];this.elements[0]=this.elements[last];this.elements[last]= tmp;shiftDown(0,last);
last--;}}// 向下调整publicvoidshiftDown(int parent,int len){int child = parent *2+1;// 左孩子// 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。while(child < len){// 获取 左右孩子的最大值if(child+1< len &&this.elements[child]<this.elements[child+1]){
child++;}// 判断 孩子最大值 是否 比 双亲节点 val 值 大// 如果大，就需要进行交换if(this.elements[child]>this.elements[parent]){int tmp = elements[child];
elements[child]= elements[parent];
elements[parent]= tmp;// 见附图
parent = child;
child = parent *2+1;}else{break;}}}
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