线性规划中的人工变量与松弛变量

1. 人工变量

人工变量是为了凑成单纯形表中的基变量而人工加入的单位向量，在目标函数中系数为-M，最后化简结果中基变量要为0，否则无可行解。化简单纯形表就可以解决，若用对偶单纯形表的话就直接能解单纯形表，不用添加人工变量。

1. 松弛变量

松弛变量（或者剩余变量）目的是将线性规划的不等式约束转化为等式约束，松弛变量或者剩余变量分别表示在实际问题中未被充分利用的资源和超出的资源数，均未被转化为价值和利润，因此引进模型后他们在目标函数中的系数均为零。

若所研究的线性规划模型的约束条件全是小于类型，那么可以通过标准化过程引入M个非负的松弛变量。

松弛变量的引入常常是为了便于在更大的可行域内求解。若为0，则收敛到原有状态，若大于零，则约束松弛。

具体而言，对线性规划问题的研究是基于标准型进行的。因此对于给定的非标准型线性规划问题的数学模型，则需要将其化为标准型。这也算是运筹学以及优化问题中的典型做法，即将很多问题简化和标准化为统一的形式，因此实现求解。

一般地，对于不同形式的线性规划模型，可以采用一些方法将其化为标准型。其中 当约束条件为“≤”（“≥”）类型的线性规划问题，可在不等式左边加上（或者减去）一个非负的新变量，即可化为等式。这个新增的非负变量称为松弛变量（或剩余变量），也可统称为松弛变量。在目标函数中一般认为新增的松弛变量的系数为零。

因此，可以看到松弛变量是非负数，如果松弛变量为0时，表示这是稀缺资源，若大于0则表示，资源未充分利用。

1. 两者异同点

相同点：

①都添加到约束条件上;

②取值均非负;

不同点：

①目的不同:添加松弛变量是为了将不等式约束化为等式约束，而添加人工变量是为了给单纯形算法提供初始可行基变量;

②含义不同:松弛变量有具体含义而人工变量没有具体含义;

③在解中不同:当原问题有最优解时，松弛变量取值可以非0，而人工变量取值必定为0；

④在求解过程中，松弛变量在目标函数中的系数都为零，但是人工变量在求解过中的目标函数中的系数不为零，当取得最优解时，人工变量取值必定为0。